2022年廣東省廣州市白云區第二中學高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}是等差數列，其前n項和Sn有最大值，且＜﹣1，則使得Sn＞0的n的最大值為（）A．2016 B．2017 C．4031 D．4033參考答案：C【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】利用等差數列的通項公式求和公式及其性質即可判斷出結論．【解答】解：由題意知d＜0，a2016＞0，a2016+a2017＜0，因此S4031＞0，S4032＜0．故選：C．2.定義：在區域內任取一點，則點滿足的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.為了解學生在課外活動方面的支出情況，抽取了n個同學進行調查，結果顯示這些學生的支出金額(單位：元)都在[10，50]，期中支出金額在[30，50]的學生有117人，頻率分布直方圖如圖所示，則n=A.180 B.160C.150 D.200參考答案：A4.執行如圖的程序框圖，若輸出的，則圖中①處可填的條件是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C5.已知定義域為的函數為奇函數，且當時，，則（

）．．

．0

．1

．2參考答案：A略6.若，則的定義域為

A.

B.

C.

D.參考答案：A7.已知函數的圖象如圖所示，令，則下列關于函數g(x)的說法中不正確的是（

）A．函數g(x)圖象的對稱軸方程為B．函數g(x)的最大值為C．函數g(x)的圖象上存在點P，使得在P點處的切線與直線l：平行D．方程的兩個不同的解分別為，，則最小值為參考答案：C8.雙曲線以一正方形兩頂點為焦點，另兩頂點在雙曲線上，則其離心率為（

）A.

2

B.+1

C.

D.

1參考答案：B略9.中，（分別為角A、B、C的對應邊），則的形狀為（

）A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形參考答案：B10.設數列是等差數列，。若數列的前n項和取得最小值，則n的值為

（

）

A．4

B．7

C．8

D．15參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則的定義域為

參考答案：12.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象如圖所示，則f（4）=

．參考答案：【考點】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式，從而求得f（4）的值．【解答】解：根據函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象，可得==3﹣1，∴ω=，再根據五點法作圖可得ω?1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（4）=sin（3π﹣）=sin（π﹣）=，故答案為：．13.已知是虛數單位，則復數的共軛復數是_________.參考答案：【知識點】復數的運算L41－2i因為.所以其共軛復數是1-i.【思路點撥】先對復數進行計算，再求共軛復數即可.14.若正三棱錐的底面邊長為，側棱長為1，則此三棱錐的體積為

．參考答案：略15.已知數列中，，前n項和為，且，則=_______參考答案：.略16.已知函數f（x）=則f（f（﹣2））的值

．參考答案：2【考點】對數的運算性質．【分析】利用分段函數在不同區間的解析式不同，分別代入即可得出．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）==9；∵9＞0，∴f（9）=log39=2．∴f（f（﹣2））=2．故答案為2．17.已知是定義在上的奇函數，且以3為周期，若，，則實數a的取值范圍是_______________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分） 用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，則截面與底面之間的部分叫棱臺。如圖，在四棱臺中，下底是邊長為的正方形，上底是邊長為1的正方形，側棱⊥平面，.（Ⅰ）求證：平面；（II）求平面與平面夾角的余弦值.參考答案：以D為原點，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系D—xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）.…

3分（Ⅰ）證明：設則有所以，，∴平面；………6分（II）解：設為平面的法向量，于是………8分同理可以求得平面的一個法向量，………10分∴二面角的余弦值為.………12分19.已知函數f(x)=+lnx．（a∈R）（Ⅰ）若函數在區間[，e]上單調遞減，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）試討論函數f（x）在區間（0，+∞）內極值點的個數．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）由題意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，則構造輔助函數，求導，根據函數函數的單調性即可求得最大值，即可求得實數a的取值范圍；（Ⅱ）方法1：構造輔助函數，g（x）=，求導g′（x）=，根據函數的單調性即可求得g（x）最小值，根據函數的單調性及極值的判斷求得函數的f（x）的極值點的個數；方法2：分類討論，根據當a≤1時，根據函數的單調性f（x）在區間（0，+∞）遞增，f（x）無極值，當a＞1時，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性與極值的關系，即可求得f（x）的極值個數．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：對?x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，對?x∈恒成立，令g（x）=，求導g′（x）=，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1，g′（x）＞0，∴函數g（x）在[，1]上單調遞減，在（1，e]上單調遞增，∴g（）=，g（e）=ee﹣1，由ee﹣1＞，∴在區間上g（x）max=ee﹣1，∴a≥ee﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，當x＞1時，g′（x）＞0，∴函數g（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，g（x）min=g（1）=e，當a≤e時，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函數f（x）在區間（0，+∞）單調遞增，f（x）無極值點，當a＞e時，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，當0＜x＜x1，f′（x）＞0，當x1＜x＜x2時，f′（x）＜0，當x＞x2，f′（x）＞0，∴函數f（x）在（x1，x2）單調遞減，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1為函數f（x）的極大值點，x2為函數f（x）的極小值點，綜上可知；a≤e時，函數f（x）無極值點，當a＞e時，函數f（x）有兩個極值點．方法2：f′（x）=，設h（x）=ex﹣ax（x＞0），則h（x）=ex﹣a，由x＞0，ex＞1，（1）當a≤1時，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）＞h（0）=1，則f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）在區間（0，+∞）內無極值；（2）當a＞1時，由h′（x）=ex﹣a＞0，則x＞lna，可知h（x）在（0，lna）內遞減，在（lna，+∞）單調遞增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①當1＜a≤e時，h（x）＞h（x）min≥0，則f′（x）＞0，f（x）單調遞增，f（x）在區間（0，+∞）內無極值；②當a＞e時，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大時，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1兩邊f′（x）符號相反，∴函數f（x）有兩個極值點x1，x2，綜上可知；a≤e時，函數f（x）無極值點，當a＞e時，函數f（x）有兩個極值點．20.數列滿足，且，其中（1）求證：≤1；（2）求證：．參考答案：（1）猜想：≤1，1≤k<N－1，k∈N*，接下來用數學歸納法對k進行證明：當k=1時，由，

得==1

但

∴=－1，∴成立

--------------------------------------------2分假設k=m

(1≤m<N－1，m∈)時，

則=∈[0，1]所以

所以k=m+1時結論也成立.綜上，有，1≤k<N－1，k∈

故有

----------------5分（2）當N=2時，由且

得成立假設N=m(m≥2)時，存在，使得

------------------7分則當N=m＋1時，由歸納假設，存在k，使得，則===

所以=或=所以無論N取任何大于1的正整數，都存在k使得--1021.在如圖所示的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，AA1=4．（1）求直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積；（2）求異面直線AD1與BA1所成角的大小．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角．【專題】空間角；立體幾何．【分析】（1）根據體積公式得出：菱形ABCD的面積×h即可，關鍵求面積，高．（2）根據性質得出：∠A1BC1等于異面直線AD1與BA1所成角．在△A1BC1中，由余弦定理可求解．【解答】解：（1）因菱形ABCD的面積為AB2?sin60°=故直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的體積為：S底面ABCD?