2022山東省煙臺市中德外國語中學高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.無論m為任何實數，直線l：y=x+m與雙曲線C:=1(b＞0)恒有公共點，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（

）

A.(1,+∞)

B.(,+∞)

C.(,+∞)

D.(2,+∞)參考答案：B略2.已知{an}是等比數列，{bn}是等差數列，若a2?a14=4a8，b8=a8，則數列{bn}的前15項和等于（）A．30 B．40 C．60 D．120參考答案：C【考點】等差數列的前n項和．【分析】由等比數列通項公式求出b8=a8=4，由此利用等差數列前n項和公式能求出數列{bn}的前15項和．【解答】解：∵{an}是等比數列，{bn}是等差數列，a2?a14=4a8，b8=a8，∴=4a8，解得b8=a8=4，∴數列{bn}的前15項和為：S15=（b1+b15）=15b8=15×4=60．故選：C．3.已知集合，i為虛數單位，，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用復數模的計算公式可得，即可判斷出結論．【詳解】，又集合，．故選：A．【點睛】本題考查了復數模的計算公式、元素與集合之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4.若實數滿足則的最小值是（

）A．0

B．

C．1

D．2參考答案：A略5.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線AC和BC1所成的角為（） A．45° B．30° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角． 【專題】計算題． 【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點A，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 【解答】解：如圖 將BC1平移至AD1處， ∠D1AC就是所求的角，又△AD1C為正三角形． ∴∠D1AC=60°． 故選C 【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題． 6.下列結論中正確的是（

）A．導數為零的點一定是極值點B．如果在附近的左側，右側，那么是極大值C．如果在附近的左側，右側，那么是極小值D．如果在附近的左側，右側，那么是極大值參考答案：B略7.設袋中有大小相同的80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D本題是一個古典概型，∵袋中有80個紅球20個白球，若從袋中任取10個球共有種不同取法，而滿足條件的事件是其中恰有6個紅球，共有種取法，由古典概型公式得到P=，本題選擇B選項.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.8.已知f（x）是定義域R上的增函數，且f（x）<0,則函數g(x)=x2f(x)的單調情況一定是(

)

(A)在(-∞，0)上遞增

（B）在(-∞，0)上遞減

（C）在R上遞增

（D）在R上遞減參考答案：A9.點在雙曲線上，為焦點，且，則其離心率為（）

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知—l—β是大小確定的一個二面角，若a、b是空間兩條直線，則能使a、b所成角的為定值的一個條件是A．a//且b//β

B．a//且b⊥β C．a⊥且b//β

D．a⊥且b⊥β參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），則x=

．參考答案：2【考點】復數相等的充要條件．【分析】化簡原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由復數相等的定義可得．【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i，∴﹣1+xi=﹣1+2i，由復數相等可得x=2故答案為：212.在區間（0，2）內任取兩數m，n（m≠n），則橢圓的離心率大于的概率是．參考答案：【考點】幾何概型；橢圓的簡單性質．【專題】計算題．【分析】由已知中在區間（0，2）內任取兩個實數，我們易求出該基本事件對應的平面區域的大小，再求了滿足條件橢圓的離心率大于對應的平面區域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．【解答】解：區間（0，2）內任取兩個實數計為（m，n），則點對應的平面區域為下圖所示的正方形，當m＞n時，橢圓的離心率e=＞，化簡得，m＞2n；當M＜n時，橢圓的離心率e=＞，化簡得，n＞2m；故其中滿足橢圓的離心率大于時，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面區域如下圖中陰影部分所示：其中正方形面積S=4，陰影部分面積S陰影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案為：．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，其中計算出總的基本事件對應的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關鍵．13.若，則

參考答案：略14.若直線（t為參數）與直線垂直，則常數k=____.參考答案：-6略15.曲線xy=1與直線y=x和x=3所圍成的平面圖形的面積為_________.參考答案：交點坐標為轉化為對y的積分，所求面積為：16.給定下列命題：①“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實數根”的逆否命題；②“若A=B，則sinA=sinB”的逆命題；③“若2”的逆否命題；④“若xy=0，則x，y中至少有一個為零”的否命題．⑤“若”的逆命題．其中真命題的序號是

．參考答案：①③④【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】轉化思想；簡易邏輯．【分析】①由方程x2+2x﹣k=0有實數根，則△=4+4k≥0，解得k的范圍，即可判斷出真假，進而判斷出其逆否命題具有相同的真假性；②原命題的逆命題為“若sinA=sinB，則A=B”，舉例：取A=2π，B=π，即可判斷出真假；③由，可得b＜a＜0，可得b2＞ab，即可判斷出真，進而其逆否命題具有相同的真假性；④原命題的逆命題為：“若x，y中至少有一個為零，則xy=0”是真命題，進而得到原命題的否命題具有相同的真假性．⑤原的逆命題為“若a＜b＜0，則＞”，舉例：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，即可判斷出真假．【解答】解：①由方程x2+2x﹣k=0有實數根，則△=4+4k≥0，解得k≥﹣1，因此“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實數根”是真命題，其逆否命題也是真命題；②“若A=B，則sinA=sinB”的逆命題為“若sinA=sinB，則A=B”，是假命題例如：取A=2π，B=π；③由，可得b＜a＜0，∴b2＞ab，因此“若2”是真命題，其逆否命題也是真命題；④“若xy=0，則x，y中至少有一個為零”的逆命題為：“若x，y中至少有一個為零，則xy=0”是真命題，因此原命題的否命題也是真命題．⑤“若”的逆命題為“若a＜b＜0，則＞”是假命題，例如：取a=﹣2，b=﹣1，﹣2＜﹣1＜0，但是＜．其中真命題的序號是①③④．故答案為：①③④．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、命題之間真假性的關系、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.第一象限內有一動點，在過點且方向向量的直線上運動，則的最大值為________________________參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(8分)用秦九韶算法計算f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2時的值．參考答案：f(x)改寫為f(x)＝(((2x＋3)x＋0)x＋5)x－4，∴v0＝2，v1＝2×2＋3＝7，v2＝7×2＋0＝14，v3＝14×2＋5＝33，v4＝33×2－4＝62，∴f(2)＝62.19.(本小題滿分12分)△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數列，.(1)求的值；

(2)設，求a+c的值.參考答案：解：(1)由，得，

……2分由b2=ac及正弦定理得，sin2B=sinAsinC，

……3分于是.

……6分(2)由，得，由，可得ca=2，b2=2，……8分由余弦定理b2=a2+c2－2ac·cosB，得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.

……10分(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9，∴a+c=3.

……12分20.已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設直線與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值.參考答案：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為

…4分（Ⅱ）設，．（1）當軸時，．…5分（2）當與軸不垂直時，設直線的方程為．由已知，得．…7分把代入橢圓方程，整理得，，．…9分．………12分

當且僅當，即時等號成立．當時，，綜上所述．…13分當最大時，面積取最大值．…………14分21.如圖，在三棱錐P-ABC中，，，且點D、E分別是BC，PB的中點.（I）求證：DE∥平面PAC；（II）求證：平面ABC⊥平面PAD.參考答案：（I）見解析；（II）見解析.試題分析：證明，利用線面平行的判定定理證明平面證明平面，即可證明平面平面解析：（I）證明：在中，因為，分別是，的中點，所以因為平面，平面所以平面.（II）證明：因為，，是的中點，所以，因為，，平面所以平面因為平面所以平面平面.22.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，﹣5），點M的極坐標為（4，）．若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑．（Ⅰ）求直線l的參數方程和圓C的極坐