2021-2022學年湖南省永州市犁頭中學高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點A（4，4）在拋物線y2=2px（p＞0）上，該拋物線的焦點為F，過點A作該拋物線準線的垂線，垂足為E，則∠EAF的平分線所在的直線方程為（）A．2x+y﹣12=0 B．x+2y﹣12=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y+4=0參考答案：D【分析】先求出拋物線方程，再拋物線的定義可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線，從而可得結論．【解答】解：∵點A（4，4）在拋物線y2=2px（p＞0）上，∴16=8p，∴p=2∴拋物線的焦點為F（1，0），準線方程為x=﹣1，E（﹣1，4）由拋物線的定義可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線∵kEF=﹣2，∴∠EAF的平分線所在直線的方程為y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0故選D．【點評】本題考查拋物線的標準方程，考查學生的計算能力，屬于基礎題．2.已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，則函數g（x）=f（x）+1的零點的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】函數奇偶性的性質；函數零點的判定定理．【分析】根據函數奇偶性的性質求出函數f（x）的解析式，利用函數零點的定義進行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，則f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，當x≥0時，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，當x＜0時，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函數g（x）=f（x）+1的零點個數是2個，故選：B．【點評】本題主要考查函數零點個數的判斷，根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵．3.下列說法錯誤的是（

）A．自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系B．線性回歸方程對應的直線至少經過其樣本數據點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，為0.98的模型比為0.80的模型擬合的效果好參考答案：BA，C，D均正確，B錯誤，故選擇B。4.已知向量與不平行，且||=||≠0，則下列結論中正確的是（）A．向量與垂直 B．向量與垂直C．向量與垂直 D．向量與平行參考答案：A【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平行向量與共線向量．【分析】求出（）?（）=0，從而得到與垂直．【解答】解：∵向量與不平行，且||=||≠0，∴（）?（）==||2﹣||2=0，∴與垂直．故選：A．5.若則“”是“”

A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既不充分與不必要條件參考答案：A略6.拋物線y=x2的準線方程是(

)A.4y+1=0

B.4x+1=0

C.2y+1=0

D.2x+1=0參考答案：7.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，組成一個樣本的抽樣方法；在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法錯誤的是（

）A．甲應付錢 B．乙應付錢C．丙應付錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少參考答案：B由分層抽樣知識可知，，則甲應付：錢；乙應付：錢；丙應付：錢.故選：B

8.已知點P為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左右焦點，且，I為三角形的內心，若成立，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.設函數，則實數m的取值范圍是

(

）A．B．C．D．參考答案：C10.在四邊形ABCD中，，，則（

）A．5

B．－5

C．－3

D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，AA1＝2，則球O的表面積為____________．參考答案：1612.若直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，則k的值是____．參考答案：略13.等比數列{an}的前n項和為Sn，若，則公比q=______參考答案：14.已知，，且，則與夾角的余弦值為___________.參考答案：，，．15.已知sinα?cosα=，且＜α＜，則cosα﹣sinα=

．參考答案：﹣【考點】三角函數的化簡求值．【專題】三角函數的求值．【分析】利用正弦函數與余弦函數的單調性可知當＜α＜時，則cosα﹣sinα＜0，于是可對所求關系式平方后再開方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，設cosα﹣sinα=t（t＜0），則t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，著重考查正弦函數與余弦函數的單調性，判斷知cosα﹣sinα＜0是關鍵，考查分析、運算能力，屬于中檔題．16.若雙曲線的漸近線方程為y=x，則雙曲線的焦點坐標是．參考答案：（）

【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意知，m=3．由此可以求出雙曲線的焦點坐標．【解答】解：由題意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴雙曲線的焦點坐標是（）．故答案：（）．17.已知在直角三角形中，，，點是斜邊上的一個三等分點，則

．參考答案：4．試題分析：由題意可建立如圖所示的坐標系，可得，，或，所以可得或，，，所以，所以或．故應填4．考點：平面向量的數量積的運算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)坐標系與參數方程 已知曲線C1的參數方程是(φ為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ=2.正方形ABCD的頂點都在C2上，且A、B、C、D以逆時針次序排列，點A的極坐標為(2，)(Ⅰ)求點A、B、C、D的直角坐標；(Ⅱ)設P為C1上任意一點，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.參考答案：19.（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函數f（x）=（+）?﹣2．（1）求函數f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，其中A為銳角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面積S．參考答案：【考點】解三角形；平面向量數量積的運算；三角函數的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用向量數量積的坐標表示可得，結合輔助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求；（Ⅱ）由結合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，從而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面積公式可求．【解答】解：（Ⅰ）=（2分）===（4分）因為ω=2，所以（6分）（Ⅱ）因為，所以，（8分）則a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0則b=2（10分）從而（12分）【點評】本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，輔助角公式的應用，三角函數的周期公式的應用，由三角函數值求角，及三角形的面積公式．綜合的知識比較多，但試題的難度不大．20.(本小題滿分12分)已知函數(1)若求函數的單調遞減區間;(2)若關于的不等式恒成立，求整數a的最小值.參考答案：【知識點】導數的綜合運用利用導數求最值和極值利用導數研究函數的單調性【試題解析】（1）因為

此時

由

的單調遞減區間為

（2）令，

當時，，

在上是增函數．

又

關于x的不等式不能恒成立．

當時

令

在上是增函數，在上是減函數，

的最大值為．

令上是增函數，

當時，

整數a的最小值為2．21.已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）當a=2時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）設函數h（x）=f（x）+，求函數h（x）的單調區間；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求出切點（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲線f（x）在點（1，1）處的切線方程．（Ⅱ）求出函數的定義域，函數的導函數，①a＞﹣1時，②a≤﹣1時，分別求解函數的單調區間即可．（Ⅲ）轉化已知條件為函數在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）問的結果，通過①a≥e﹣1時，②a≤0時，③0＜a＜e﹣1時，分別求解函數的最小值，推出所求a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切點（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲線f（x）在點（1，1）處的切線方程為：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定義域為（0，+∞），，①當a+1＞0，即a＞﹣1時，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②當a+1≤0，即a≤﹣1時，h′（x）＞0恒成立，綜上：當a＞﹣1時，h（x）在（0，a+1）上單調遞減，在（a+1，+∞）上單調遞增．當a≤﹣1時，h（x）在（0，+∞）上單調遞增．

（Ⅲ）由題意可知，在[1，e]上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一點x0，使得h（x0）≤0，即函數在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）問，①當a+1≥e，即a≥e﹣1時，h（x）在[1，e]上單調遞減，∴，∴，∵，∴；

②當a+1≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③當1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1時，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此時不存在x0使h（x0）≤0成立．

綜上可得所求a的范圍是：或a≤﹣2．22.（12分）在甲、乙兩個批次的某產品中，分別抽出3件進行質量檢驗.已知甲、乙批次每件產品檢驗不合格的概率分別為，假設每件產品檢驗是否合格相互之間沒有影響.（Ⅰ）求至少有2件甲批次產品檢驗不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多2件的概率.參考答案：解析：（Ⅰ）解：記“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”為事件A.

----------1分由題意，事件A包括以下兩個互斥事件：1事件B：有2件甲批次產品檢驗不合格.由n次獨立重復試驗中某事件發生k次的概率公式，得；

-------------3分2事件C：3件甲批次產品檢驗都不合格.由相互獨立