學業分層測評(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．(2023·廈門高二檢測)用火柴棒擺“金魚”，如圖2-1-7所示：圖2-1-7按照上面的規律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】觀察易知第1個“金魚”圖中需要火柴棒8根，而第2個“金魚”圖中比第1個“金魚”圖中多的部分需要火柴棒6根，第3個“金魚”圖中比第2個“金魚”圖中多的部分需要火柴棒6根……由此可猜測第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數比第n－1個“金魚”圖需要火柴棒的根數多6，即各個“金魚”圖需要火柴棒的根數組成以8為首項，6為公差的等差數列，易求得通項公式為an＝6n＋2.【答案】C2．數列－3,7，－11,15，…的通項公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)【解析】當數列中負項、正項交替出現時，用(－1)n來控制；若是正項、負項交替出現，則用(－1)n＋1來控制．【答案】C3．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對應下列4個圖形：圖2-1-8那么下列4個圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是()A．(1)，(2) B．(1)，(3)C．(2)，(4) D．(1)，(4)【解析】由①②③④可歸納得出：符號“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．【答案】C4．下列推理正確的是()A．把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n與(x＋y)n類比，則(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則(xy)z＝x(yz)【解析】A錯誤，因為logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B錯誤，因為sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny；C錯誤，如當n＝2時，若xy≠0，則(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≠x2＋y2；D正確，類比的是加法、乘法的結合律．【答案】D5．給出下列等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111，…猜測123456×9＋7等于()A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113【解析】由題中給出的等式猜測，應是各位數都是1的七位數，即1111111.【答案】B二、填空題6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2·eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3·eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4·eq\r(\f(4,15))，….若eq\r(8＋\f(a,t))＝8·eq\r(\f(a,t))(a，t均為正實數)，類比以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________.【解析】由所給等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.【答案】717．設n為正整數，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，觀察上述結果，可推測一般的結論為__________.【導學號：60030050】【解析】∵f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2＝eq\f(4,2)，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3＝eq\f(6,2)，∴由此可推測一般性的結論為f(2n)≥eq\f(n＋2,2).【答案】f(2n)≥eq\f(n＋2,2)8．對于命題“如果O是線段AB上一點，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0”，將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內一點，有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，將它類比到空間的情形應為：若O是四面體ABCD內一點，則有________________________________________________．【解析】根據類比的特點和規律，所得結論形式上一致，又線段類比平面，平面類比到空間，又線段長類比為三角形面積，再類比成四面體的體積，故可以類比為VO-BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO-ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO-ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO-ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.【答案】VO-BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO-ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO-ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO-ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0三、解答題9．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊．(2)三角形的面積S＝eq\f(1,2)×底×高．(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的eq\f(1,2).…請類比上述性質，寫出空間中四面體的相關結論．【解】由三角形的性質，可類比得空間四面體的相關性質為：(1)四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積．(2)四面體的體積V＝eq\f(1,3)×底面積×高．(3)四面體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4).10．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖2-1-9(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．圖2-1-9(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)的關系式，并根據你得到的關系式求f(n)的表達式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式規律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.[能力提升]1．觀察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般結論是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2【解析】觀察已知等式，第n個等式左邊都是2n－1個數相加，第1個數是n，等式右邊是(2n－1)2.由此可得一般結論為：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故選B.【答案】B2．已知x>0，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，…我們可以得出推廣結論：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，則a＝()A．2n B．n2C．3n D．nn【解析】∵x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3.…由此猜想，x＋eq\f(a,xn)＝＋eq\f(nn,xn)≥n＋1，n個eq\f(x,n)所以a＝nn，選D.【答案】D3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結論類比到空間，得到相類似的結論為：________.【導學號：60030051】【解析】利用類比推理，可把Rt△ABC類比為三棱錐P-ABC，且PA，PB，PC兩兩垂直，當PA＝a，PB＝b，PC＝c時，其外接球半徑為R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).【答案】在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)4．如圖2-1-10所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2)．圖2-1-10(1)寫出一個數列，用它表示當m分別是2,3,4,5，…時，方陣中士兵的人數；(2)若把(1)中的數列記為{an}，歸納該數列的通項公式；(3)求a10，并說明a10表示的實際意義；(4)已知an＝9900，問an是數列的第幾項？【解】(1)當m