第三章3.一、選擇題1．函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x的反函數為eq\x(導學號65164972)(C)A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x B．y＝eqlog\s\do8(\f(3,2))xC．y＝eqlog\s\do8(\f(2,3))x D．y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x[解析]函數y＝logax(a>0，a≠1)與函數y＝ax(a>0，a≠1)互為反函數，∴函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x的反函數是y＝eqlog\s\do8(\f(2,3))x，故選C．2．若f(10x)＝x，則f(5)＝eq\x(導學號65164973)(B)A．log510 B．lg5C．105 D．510[解析]解法一：令u＝10x，則x＝lgu，∴f(u)＝lgu，∴f(5)＝lg5.解法二：令10x＝5，∴x＝lg5，∴f(5)＝lg5.3．若函數y＝eq\f(ax,1＋x)的圖象關于直線y＝x對稱，則a的值為eq\x(導學號65164974)(B)A．1 B．－1C．±1 D．任意實數[解析]因為函數圖象本身關于直線y＝x對稱，故可知原函數與反函數是同一函數，所以先求反函數，再與原函數作比較即可得出答案；或利用反函數的性質求解，依題意，知點(1，eq\f(a,2))與(eq\f(a,2)，1)均在原函數圖象上，故可得a＝－1.4．已知函數y＝f(x)與y＝ex互為反函數，函數y＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關于x軸對稱，若g(a)＝1，則實數a的值為eq\x(導學號65164975)(C)A．－e B．－eq\f(1,e)C．eq\f(1,e) D．e[解析]∵函數y＝f(x)與y＝ex互為反函數，∴f(x)＝lnx，又∵函數y＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關于x軸對稱，∴g(x)＝－lnx，∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝eq\f(1,e).5．函數y＝10x2－1(0<x≤1)的反函數是eq\x(導學號65164976)(D)A．y＝－eq\r(1＋lgx)(x>eq\f(1,10))B．y＝eq\r(1＋lgx)(x>eq\f(1,10))C．y＝－eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)<x≤1)D．y＝eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)<x≤1)[解析]由y＝10x2－1(0<x≤1)，得x2－1＝lgy，即x＝eq\r(lgy＋1).又∵0<x≤1，即－1<x2－1≤0，∴eq\f(1,10)<10x2－1≤1，即原函數的值域為(eq\f(1,10)，1]．∴原函數的反函數為y＝eq\r(lgx＋1)(eq\f(1,10)<x≤1)．6．已知函數f(x)＝loga(x－k)的圖象過點(4,0)，而且其反函數f－1(x)的圖象過點(1,7)，則f(x)是eq\x(導學號65164977)(A)A．增函數 B．減函數C．奇函數 D．偶函數[解析]∵函數f(x)＝loga(x－k)的圖象過點(4,0)，∴loga(4－k)＝0，∴k＝3.∴f(x)＝loga(x－3)，又反函數f－1(x)的圖象過點(1,7)，∴f(x)過點(7,1)．∴loga4＝1，∴a＝4，∴f(x)為增函數．7．若點(1,2)既在y＝eq\r(ax＋b)的圖象上，又在其反函數的圖象上，則a＝__－3__，b＝\x(導學號65164978)[解析]由題意可知點(1,2)和點(2,1)都在y＝eq\r(ax＋b)的圖象上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\r(a＋b),1＝\r(2a＋b)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝7)).8．已知函數f(x)的反函數g(x)＝1＋2lgx(x>0)，則f(1)＋g(1)＝\x(導學號65164979)[解析]令g(x)＝1，則2lgx＝0，∴x＝1.∵f(x)與g(x)互為反函數，∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.三、解答題9．已知y＝eq\f(1,2)x＋a與y＝3－bx互為反函數，求a、b的值.eq\x(導學號65164980)[解析]由y＝eq\f(1,2)x＋a，得x＝2y－2a，∴y＝2x－2a即函數y＝eq\f(1,2)x＋a的反函數為y＝2x－2a，由已知得函數y＝2x－2ay＝3－bx為同一函數，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝2,－2a＝3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2),b＝－2)).10．已知函數f(x)＝loga(2－x)(a>1).eq\x(導學號65164981)(1)求函數f(x)的定義域、值域；(2)求函數f(x)的反函數f－1(x)；(3)判斷f－1(x)的單調性．[解析](1)要使函數f(x)有意義，需滿足2－x>0，即x<2，故原函數的定義域為(－∞，2)，值域為R.(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是減函數．證