第2章平面向量向量的線性運算2.2.2向量的減法A級基礎鞏固1．若非零向量a，b互為相反向量，則下列說法錯誤的是()A．a∥b B．a≠bC．|a|≠|b| D．b＝－a解析：根據相反向量的定義：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|，C不正確．答案：C2．在平行四邊形ABCD中，設eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，eq\o(AC,\s\up13(→))＝c，eq\o(BD,\s\up13(→))＝d，則下列等式中不正確的是()A．a＋b＝c B．a－b＝dC．b－a＝d D．c－a＝b解析：根據向量加法的平行四邊形法則和三角形法則知，eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))，eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))，即a＋b＝c，b－a＝d.所以A、C、D正確，B不正確．答案：B3．在邊長為1的正三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(BC,\s\up13(→))|的值為()A．1B．2\f(\r(3),2)\r(3)解析：作出菱形ABCD(如圖所示)，則AC⊥BD，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))，故|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))|＝|eq\o(DB,\s\up13(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up13(→))|＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：D4.如圖所示，已知D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＝0\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝0\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(FC,\s\up13(→))＝0解析：因為D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))，eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(DE,\s\up13(→))，eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→)).所以eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))＝0，故A成立；eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(BF,\s\up13(→))＋eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))≠0，故B不成立；eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))≠0，故C不成立；eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))－eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))≠0，故D不成立．答案：A5．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(CA,\s\up13(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))|的值為______．解析：eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))，則|eq\o(CB,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝2.答案：26．化簡(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→)))＋(eq\o(BA,\s\up13(→))－eq\o(QC,\s\up13(→)))＝________．解析：(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(PC,\s\up13(→)))＋(eq\o(BA,\s\up13(→))－eq\o(QC,\s\up13(→)))＝(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→)))＋(eq\o(PC,\s\up13(→))＋eq\o(CQ,\s\up13(→)))＝0＋eq\o(PQ,\s\up13(→))＝eq\o(PQ,\s\up13(→)).答案：eq\o(PQ,\s\up13(→))7．在平行四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，且|a＋b|＝|a－b|，則四邊形ABCD的形狀是________．解析：由平行四邊形法則知，|a＋b|，|a－b|分別表示對角線AC，BD的長，當|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|時，平行四邊形ABCD為矩形．答案：矩形8．在△ABC中，D是BC的中點，設eq\o(AB,\s\up13(→))＝c，eq\o(AC,\s\up13(→))＝b，eq\o(BD,\s\up13(→))＝a；eq\o(AD,\s\up13(→))＝d，則d－a＝________，d＋a＝________．解析：根據題意畫出圖形，如圖所示，d－a＝eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＝c；d＋a＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＝b.答案：cb9．若|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up13(→))|的取值范圍是()A．[3，8] B．(3，8)C．[3，13] D．(3，13)解析：因為|eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))|，又因為|eq\o(AB,\s\up13(→))|－|eq\o(AC,\s\up13(→))|≤|eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))|≤|eq\o(AB,\s\up13(→))|＋|eq\o(AC,\s\up13(→))|，所以3≤|eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))|≤13，即3≤|eq\o(BC,\s\up13(→))|≤13.答案：C10．如圖所示，四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，eq\o(BC,\s\up13(→))＝a，則eq\o(DC,\s\up13(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝－b＋a＋c＝a－b＋c.答案：a－b＋cB級能力提升11.如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對角線AC，BD的交點，設eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(DA,\s\up13(→))＝b，eq\o(OC,\s\up13(→))＝c，求證：b＋c－a＝eq\o(OA,\s\up13(→)).證明：法一：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(DA,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→)).所以b＋c＝eq\o(DA,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→)).所以b＋c－a＝eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→)).法二：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(DC,\s\up13(→)).所以c－a＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(DC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→)).因為eq\o(DA,\s\up13(→))＝b，所以b＋c－a＝b＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(DA,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→)).12．如圖所示，?ABCD中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b.(1)當a，b滿足什么條件時，a＋b與a－b所在直線互相垂直？(2)當a，b滿足什么條件時，|a＋b|＝|a－b|?(3)a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？解：(1)由平行四邊形法則，知a＋b＝eq\o(AC,\s\up13(→))，a－b＝eq\o(DB,\s\up13(→)).因為a＋b與a－b所在直線垂直，所以AC⊥BD.又因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD為菱形，所以|a|＝|b|.所以當|a|＝|b|時，a＋b與a－b所在直線互相垂直．(2)假設|a＋b|＝|a－b|，即|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|.因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以四邊形ABCD是矩形．所以a⊥b，所以當a與b垂直時，|a＋b|＝|a－b|.(3)不可能．因為?ABCD的兩條對角線不可能平行，所以a＋b與a－b不可能為共線向量，更不可能為相等向量．13．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.解：設eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，如圖所示．則eq\o(AC,\s\up13(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s