湖南省益陽(yáng)市東山鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，如果x1+x2=6，那么|AB|=A．8 B．10 C．6

D．4參考答案：A2.已知高為5的四棱錐的俯視圖是如圖所示的矩形，則該四棱錐的體積為（）A．24 B．80 C．64 D．240參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)已知中四棱錐的俯視圖，得到底面的長(zhǎng)和寬，代入棱錐體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的棱錐的俯視圖，可得：該四棱錐的體積V=×6×8×5=80，故選：B3.某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響．部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

使用智能手機(jī)不使用智能手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀16218合計(jì)201030

附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

經(jīng)計(jì)算，則下列選項(xiàng)正確的是A．有99.5%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響B(tài)．有99.5%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響C．有99.9%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響D．有99.9%的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響參考答案：A根據(jù)附表可得k=10>7.879,所以有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響，選A4.直線與圓的位置關(guān)系是(

)

A、相交

B、相切

C、相離

D、與值有關(guān)參考答案：A5.下列說(shuō)法中正確的是(

)

A．平面α和平面β可以只有一個(gè)公共點(diǎn)

B．相交于同一點(diǎn)的三直線一定在同一平面內(nèi)C．過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

D．沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線一定是異面直線

參考答案：C略6.已知ab＜0，bc＜0，則直線ax+by=c通過(guò)（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限參考答案：C略7.已知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng).x∈[0，]時(shí)，f(x)=xsinx,若a=f(cos1)，b=f(cos2),c=f(cos3)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.b<c<a參考答案：B略8.按如圖所示的程序框圖，在運(yùn)行后輸出的結(jié)果為

A.36

B.45

C.55

D.56參考答案：C9.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是(

)A.

0

B.

C.

D.

參考答案：D略10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋8i

B．8＋2i

C．2＋4i

D．4＋i參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且直線過(guò)點(diǎn)，則直線的

一般式方程是

.參考答案：（不是一般式或者漏答都不給分）12.在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別a,b,c，且a=5,b=6,c=4,角A的平分線交BC于D，則線段AD長(zhǎng)度為______▲_____.參考答案：

13.設(shè)已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足，且，若f(x)在區(qū)間上的最大值為2，則=

▲

．參考答案：根據(jù)題意可知，并且可以知道函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，且有，又，由題的條件，可知，可以解得，所以，則有.

14.甲乙丙三人代表班級(jí)參加校運(yùn)會(huì)的跑步，跳遠(yuǎn)，鉛球比賽，每人參加一項(xiàng)，每項(xiàng)都要有人參加，他們的身高各不同，現(xiàn)了解到已下情況：（1）甲不是最高的；（2）最高的是沒(méi)報(bào)鉛球；（3）最矮的參加了跳遠(yuǎn)；（4）乙不是最矮的，也沒(méi)參加跑步．可以判斷丙參加的比賽項(xiàng)目是________．參考答案：跑步由題意得，由（4）可知，乙參加了鉛球比賽，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，丙是最高的，參加了跑步比賽。

15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問(wèn)題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，而北鄉(xiāng)需遣一百零八人，問(wèn)北鄉(xiāng)人數(shù)幾何？”其意思為：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調(diào)300人，而北面征調(diào)108人（用分層抽樣的方法），則北面共有__________人．”參考答案：8100因?yàn)楣渤檎{(diào)300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽樣比為，所以北面共有人，故填8100.16.若雙曲線的離心率為2，則m的值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的離心率為2，建立等式，即可求實(shí)數(shù)m的值．【解答】解：雙曲線∵雙曲線的離心率為2，∴1+m=4∴m=3故答案為：3．17.在橢圓中,左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,短軸上方端點(diǎn)為，若,則該橢圓的離心率為___________．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的離心率．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，，B＝．（Ⅰ）當(dāng)a＝4時(shí)，求A∩B和A∪B；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：19.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=．（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】（Ⅰ）根據(jù)底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，以及勾股定理，證明PA⊥AD，再根據(jù)PA⊥CD，AD∩CD=D，即可證明PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）根據(jù)四棱錐P﹣ABCD的底面積為1，高為PA，即可求出四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】證明：（Ⅰ）因?yàn)樗睦忮FP﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD又PA⊥CD，AD∩CD=D所以PA⊥平面ABCD（Ⅱ）解：四棱錐P﹣ABCD的底面積為1，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以四棱錐P﹣ABCD的高為1，所以四棱錐P﹣ABCD的體積為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20.數(shù)列滿足，（）.（1）求證是等差數(shù)列；(要指出首項(xiàng)與公差);(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（3）若Tn=…，求證:.參考答案：解：（1）由可得：

即

所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，（2）由（1）可得

∴

（3）∵

∴Tn=

∴.

略21.在平面直角坐標(biāo)系中xOy，已知橢圓E：=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)，且橢圓E的離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在以A（0，﹣b）為直角頂點(diǎn)且內(nèi)接于橢圓E的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）通過(guò)離心率與a、b、c三者的關(guān)系可得橢圓E方程為x2+4y2=a2，代入點(diǎn)計(jì)算即可；（2）假設(shè)存在，可設(shè)直線AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0），并與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算可得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得|AB|的表達(dá)式，討論可得|AC|的表達(dá)式，利用△BAC是等腰直角三角形，計(jì)算即得結(jié)論．解答： 解：（1）由得，又．

故橢圓E方程為x2+4y2=a2，橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．

所以a2=4，b2=1，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）結(jié)論：存在3個(gè)滿足條件的直角三角形．理由如下：假設(shè)存在這樣的等腰直角三角形BAC，明顯直線AB的斜率存在，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，﹣1），設(shè)直線AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0），則直線AC的方程為．

由得：（1+4k2）x2﹣8kx=0，所以x=0，或，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以．

同理，因?yàn)椤鰾AC是等腰直角三角形，所以|AB|=|AC|，即，即，所以k3+4k=1+4k2，即k3﹣4k2+4k﹣1=0，所以（k3﹣1）﹣4k（k﹣1）=0，即（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，所以k=1，或k2﹣3k+1=0，所以k=1，或．

所以這樣的直角三角形有三個(gè)．點(diǎn)評(píng)：本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．22.現(xiàn)有一只不透明的袋子里面裝有6個(gè)小球，其中3個(gè)為紅球，3個(gè)為黑球，這些小球除顏色外無(wú)任何差異，現(xiàn)從袋中一次性地隨機(jī)摸出2個(gè)小球．（1）求這兩個(gè)小球都是紅球的概率；（2）記摸出的小球中紅球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布及其均值E（X）．參考答案：（1）記“取得兩個(gè)小球都為紅球”為事件A，利用排列組合知識(shí)能求出這兩個(gè)小球都是紅球的概率．（2）隨機(jī)變量X的可能取值為：0、1、2，