湖南省常德市城南中學2021-2022學年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設、滿足約束條件，若目標函數的最大值為6，則的最小值為A.

B.3

C.2

D.4參考答案：C略2.已知函數f（x）=，則y=f（x）的大致圖象為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數的圖象．【分析】化簡解析式，利用函數的單調性，判斷函數的圖象即可．【解答】解：函數f（x）==1﹣，因為函數y=e2x，是增函數，所以函數f（x）=，是增函數，可知函數的圖象只有B滿足題意．故選：B．3.設函數，若是奇函數，則當x時，的最大值是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.函數（其中A>0,）的圖像如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像（

）A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度

D.向左平移個單位長度

參考答案：A5.復數z=（為虛數單位）在復平面內對應的點所在象限為

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D本題考查了復數的除法運算以及幾何意義，難度較小。，所以復數所對應的點在第四象限，故選D.6.已知，則等于A.

B.

C.

D.參考答案：C，選C.7.設隨機變量的分布列為（=0，1），則，的值分別是（

）A．0和1

B．和

C．和

D．和·參考答案：D8.已知，則A.

B.

C.

D.參考答案：A9.若一元二次不等式的解集為，則的最小值是（A）

（B）

（C）2

（D）1

參考答案：A10.如果直線l與直線3x+y－2=0平行，那么直線l的斜率是A．3 B．－3 C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的，，令⊙，下面說法錯誤的是(

)（A）若與共線，則⊙ （B）⊙⊙（C）對任意的，有⊙⊙（D）⊙

參考答案：B12.比較lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是

，最小的是

．參考答案：lg2，lg（lg2）．由lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，即可得出大小關系．解：∵lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，∴最大的是lg2，最小的是lg（lg2）．故答案分別為：lg2，lg（lg2）．13.參考答案：略14.函數的定義域為

．參考答案：(0,1]，解得定義域為。

15.對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是▲參考答案：答案：2n+1-2解析：，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n切點為（2，-2n）,所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.數列的前n項和為2+22+23+…+2n=2n+1-216.點在同一個球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則該球的表面積為

.參考答案：17.若集合，，則

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列{an}是等比數列，并且a1，a2+1，a3是公差為﹣3的等差數列．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=a2n，記Sn為數列{bn}的前n項和，證明：．參考答案：【考點】數列的求和．【專題】方程思想；轉化思想；等差數列與等比數列．【分析】（I）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；（II）利用等比數列的前n項和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：設等比數列{an}的公比為q，∵a1，a2+1，a3是公差為﹣3的等差數列，∴，即，解得．∴．

（Ⅱ）證明：∵，∴數列{bn}是以b1=a2=4為首項，為公比的等比數列．∴=．【點評】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.（本題滿分13分）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為2.(Ⅰ)求實數的值;(Ⅱ)設,討論的單調性;(Ⅲ)已知且,證明:參考答案：【知識點】導數的幾何意義；導數的應用；不等式的證明.

B11

B12

E7（Ⅰ）1；(Ⅱ)在區間和都是單調遞增的，此函數無減區間；(Ⅲ)證明：見解析.

解析：（Ⅰ）

所以……1分由題意,得……3分(Ⅱ)，所以……4分設當時，，是增函數，，所以，故在上為增函數；

……………5分當時，，是減函數，，所以，故在上為增函數；所以在區間和都是單調遞增的。

……………8分(Ⅲ)因為，由（Ⅱ）知成立，即，………9分從而，即………12分

所以。………13分【思路點撥】（Ⅰ）、由導數的幾何意義得，解得m值；(Ⅱ)、定義域上導函數大于零的x范圍是增區間，導函數小于零的x范圍是減區間；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上單調遞增，而，所以，即.【典例剖析】綜合法是證明不等式的常用方法，但尋找推證不等式的基礎不等式比較困難.本題第(Ⅲ)問的證明，采用了第(Ⅱ)問的結論：函數在上單調遞增，從而得，由此變形、拆項，再用對數函數的性質證得結論,總的來說這是一個較典型的考題.20.已知二次函數對都滿足且，設函數（，）．（1）求的表達式；（2）若，使成立，求實數的取值范圍；（3）設，，求證：對于，恒有.參考答案：解：（1）設，于是，所以

又，則．所以.

（2）當m>0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；當m=0時，對，恒成立；

當m<0時，由，列表：x－0＋遞減極小值遞增

這時

，

綜上，使成立，實數m的取值范圍．（3）由題知因為對，所以在內單調遞減.于是記，則所以函數在是單調增函數，

所以，故命題成立.略21.在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊,面積（1）求角C的大小；（2）設函數，求的最大值,及取得最大值時角B的值．參考答案：（1）；（2）時，有最大值是．試題分析：（1）由S=abs1nC及題設條件得abs1nC=abcosC,即s1nC=cosC,tanC=,根據0<<,即得．（2）首先化簡，根據C=得到，當，即時，有最大值是．試題解析：（1）由S=abs1n及題設條件得abs1n=abcos

1分即s1n=cos,tan=,

2分0<<,

4分（2）

7分，

9分∵=∴

∴

（沒討論，扣1分）

10分當，即時，有最大值是

12分考點：1．和差倍半的三角函數；2．三角形的面積；3．三角函數的圖象和性質．22.在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（參數），曲線的參數方程為（參數）。（1）化曲線的參數方程為普通方程，并指出它表示的