浙江省湖州市長興縣李家巷中學2021-2022學年高一數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，，，，則，，，的大小關系是（

）．A． B． C． D．參考答案：A由于函數在上是減函數，故有．再由，，可得．故選．2.已知映射f:A→B，其中A=B=R，對應法則f:y=-x2+2x,對于實數k∈B，在集合A中不存在原象，則k的取值范圍是

（

）A．k>1

B.k≥1

C.k<1

D.k≤1參考答案：A3.已知函數，為偶函數，且當時，．記．給出下列關于函數的說法：①當時，；②函數為奇函數；③函數在上為增函數；④函數的最小值為，無最大值．

其中正確的是A．①②④

B．①③④

C．①③

D．②④參考答案：B4.直線與直線平行,則

A.－2 B.－3

C.2或－3

D.－2或－3參考答案：C5.已知平面內的向量滿足：，,且，又,那么由滿足條件的點所組成的圖形的面積是（

）A．

1

B．2

C．4

D．8參考答案：C略6.由直線y=x+1上的一點向圓引切線,則切線長的最小值為(

)A.1 B. C. D.3參考答案：C7.設函數，求（

）A．7

B．8 C．15

D．16參考答案：A8.二次函數的圖象如何移動就得到的圖象（

）A.向左移動1個單位，向上移動3個單位。B.向右移動1個單位，向上移動3個單位。C.向左移動1個單位，向下移動3個單位。D.向右移動1個單位，向下移動3個單位。參考答案：C9.直線x＝tan60°的傾斜角是()A．90°

B．60°

C．30°

D．不存在參考答案：A10.

下列函數中，值域為的是

（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則=_____．參考答案：【分析】求出角的正弦函數，然后利用兩角和的正弦函數公式求解即可.【詳解】解：由條件得，所以【點睛】本題考查兩角差的正弦函數，同角三角函數的基本關系的應用.12.將函數的圖象向左平移個單位得到函數的圖象，若在上為增函數，則的最大值是

．參考答案：213.2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則sin2θ﹣cos2θ的值等于．參考答案：﹣【考點】三角函數的化簡求值．【專題】計算題．【分析】根據題意可知每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ﹣sinθ，先利用小正方形的面積求得∴（cosθ﹣sinθ）2的值，根據θ為直角三角形中較小的銳角，判斷出cosθ＞sinθ

求得cosθ﹣sinθ的值，進而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的進而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展開后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．【解答】解：依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面積是∴（cosθ﹣sinθ）2=又θ為直角三角形中較小的銳角，∴cosθ＞sinθ

∴cosθ﹣sinθ=又∵（cosθ﹣sinθ）2=1﹣2sinθcosθ=∴2cosθsinθ=∴1+2sinθcosθ=即（cosθ+sinθ）2=∴cosθ+sinθ=∴sin2θ﹣cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）=﹣故答案為﹣．【點評】本題主要考查了三角函數的化簡求值，同角三角函數的基本關系．考查了學生綜合分析推理和基本的運算能力．14.把函數的圖象向右平移φ個單位，所得的圖象正好關于y軸對稱，則φ的最小正值為．參考答案：【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉化思想；數學模型法；三角函數的圖像與性質．【分析】若所得的圖象正好關于y軸對稱，則=+kπ，k∈Z，進而可得答案．【解答】解：把函數的圖象向右平移φ個單位可得函數y==的圖象，若所得的圖象正好關于y軸對稱，則=+kπ，k∈Z，解得：φ=+kπ，k∈Z，當k=1時，φ的最小正值為；故答案為：．【點評】本題考查的知識點是正弦型函數的圖象和性質，函數圖象的平移變換，難度中檔．15.空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．①若AC=BD，則四邊形EFGH是

；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH是

．參考答案：菱形，矩形.【考點】棱錐的結構特征．【分析】①結合圖形，由三角形的中位線定理可得EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC，由平行四邊形的定義可得四邊形EFGH是平行四邊形，再由鄰邊相等地，得到四邊形EFGH是菱形．②由①知四邊形EFGH是平行四邊形，再由鄰邊垂直得到四邊形EFGH是矩形．【解答】解：如圖所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四邊形EFGH是平行四邊形又∵AC=BD∴EF=FG∴四邊形EFGH是菱形．②由①知四邊形EFGH是平行四邊形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四邊形EFGH是矩形．故答案為：菱形，矩形16.高一（1）班共有50名學生，在數學課上全班學生一起做兩道數學試題，其中一道是關于集合的試題，一道是關于函數的試題，已知關于集合的試題做正確的有40人，關于函數的試題做正確的有31人，兩道題都做錯的有4人，則這兩道題都做對的有人．參考答案：25【考點】Venn圖表達集合的關系及運算．【分析】設這兩道題都做對的有x人，則40+31﹣x+4=50，由此可得這兩道題都做對的人數．【解答】解：設這兩道題都做對的有x人，則40+31﹣x+4=50，∴x=25．故答案為25．【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查集合知識，比較基礎．17.函數在區間上遞減，則實數的取值范圍是____

__參考答案：a≤-3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)已知函數f(x)＝(1)求f(－π)的值；(2)當x∈[0，）（，]時，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．參考答案：(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)，………………8分x∈[0，）∪（，]?2x＋∈[，]且2x＋，

………………10分∴x＝時，g(x)max＝；x＝時，g(x)min＝－1．

.………………12分

19.設函數f（x）是2x與的平均值（x≠0．且x，a∈R）．（1）當a=1時，求f（x）在[，2]上的值域；（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，試求實數a的取值范圍；（3）設g（x）=，是否存在正數a，使得對于區間[﹣，]上的任意三個實數m、n、p，都存在以f（g（m）、f（g（n））、f（g（p））為邊長的三角形？若存在，試求出這樣的a的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】函數恒成立問題；函數的值域；函數解析式的求解及常用方法．【專題】轉化思想；數學模型法；函數的性質及應用．【分析】（1）當a=1時，f（x）=x+，結合對勾函數的圖象和性質，可得f（x）在[，2]上的值域；（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，即a＜﹣2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，則t∈[1，2]，y=﹣2t2+t+1，結合二次函數的圖象和性質，求出函數的最小值，可得實數a的取值范圍；（3）換元，原問題等價于求實數a的范圍，使得函數在給定的區間上，恒有2ymin＞ymax【解答】解：（1）∵函數f（x）是2x與的平均值，∴f（x）=x+，當a=1時，f（x）=x+，在[，1]上為減函數，在[1，2]上為增函數，∴當x=，或x=2時，函數最最大值，當x=1時，函數取最小值2，故f（x）在[，2]上的值域為[2，]；（2）若不等式f（2x）＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，即2x+＜﹣2x++1在[0，1]上恒成立，即a＜﹣2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，則t∈[1，2]，y=﹣2t2+t+1，由y=﹣2t2+t+1的圖象是開口朝下，且以直線t=為對稱軸的拋物線，故當t=2，即x=1時，函數取最小值﹣5，故a＜﹣5；（3）設t=g（x）==，∵x∈[﹣，]，∴t∈[，1]，則y=t+；原問題轉化為求實數a的取值范圍，使得y在區間[，1]上，恒有2ymin＞ymax．討論：①當＜a≤時，y=t+在[，]上單調遞減，在[，1]上單調遞增，∴ymin=2，ymax=max{3a+，a+1}=a+1，由2ymin＞ymax得7﹣4＜a＜7+4，∴＜a≤；②當＜a＜1時，y=t+在[，]上單調遞減，在[，1]上單調遞增，∴ymin=2，ymax=max{3a+，a+1}=3a+，由2ymin＞ymax得＜a＜，∴＜a＜1；③當a≥1時，y=t+在[，1]上單調遞減，∴ymin=a+1，ymax=3a+，由2ymin＞ymax得a＜，∴1≤a＜；綜上，a的取值范圍是{a|＜a＜}．【點評】本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了分類討論與求最值的應用問題，是難題．20.（本小題10分）棱長為２的正方體中，．①求異面直線與所成角的余弦值；②求與平面所成角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ），21.（本小題滿分12分）

已知集合。（1）求；

（2）；（3）已知，求。參考答案：22.某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P（億元）和Q億元），它們與投資額t（億元）的關系有經驗公式其中，今該公司將5億元投資這兩個項目，其中對甲項目投資x（億元），投資這兩個項目所獲得的總利潤為y（億元），（1）求y關于x的解析式，（2）怎樣投資才能使總利潤最大，最大值為