湖北省宜昌市興山縣古夫中學2022年度高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，則實數a的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，則x2+ax=0的解為0，1，利用韋達定理，求出a的值．【解答】解：由題意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故選A．2.函數的部分圖象如右圖所示，設是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知一個簡單幾何的三視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則該幾何體的體積為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A由三視圖知對應的幾何體是底面半徑為、高為的圓錐與底面為直角邊長為等腰直角三角形，側棱垂直底面，高為的三棱錐組成的組合體，圓錐的底面半徑為，母線長為，其表面積為+++=，解得=2，所以圓錐的底面半徑為6，母線長為10，所以該幾何體的體積為=，故選A．4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是A．

B．C．

D．參考答案：D5.已知下列四個命題：，使得；

，都有；，都有；

，使得；A.,

B.,

C.,

D.,參考答案：A略6.設l，m，n表示三條直線，α，β，γ表示三個平面，則下列命題中不成立的是（）A．若m?α，n?α，m∥n，則n∥αB．若α⊥γ，α∥β，則β⊥γC．若m?β，n是l在β內的射影，若m⊥l，則m⊥nD．若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l⊥β參考答案：D【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】在A中，由線面平行的判定定理得n∥α；在B中，由面面垂直的判定定理得β⊥γ；在C中，由三垂直線定理得m⊥n；在D中，l與β相交、平行或l?β．【解答】解：由l，m，n表示三條直線，α，β，γ表示三個平面，知：在A中，若m?α，n?α，m∥n，則由線面平行的判定定理得n∥α，故A正確；在B中，若α⊥γ，α∥β，則由面面垂直的判定定理得β⊥γ，故B正確；在C中，若m?β，n是l在β內的射影，若m⊥l，則由三垂直線定理得m⊥n，故C正確；在D中，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l與β相交、平行或l?β，故D錯誤．故選：D．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．7.在下列區間中，函數的零點所在的區間為（

）A．B．

C．D．

參考答案：8.直線（）的傾斜角范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C因為所以直線的斜率，所以有．9.已知函數定義域為，且函數的圖象關于直線對稱，當時，，（其中是的導函數），若，，則的大小關系是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B10.定義集合運算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為

(

)

A．

0

B.

6

C.

12

D.

18參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）證明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求證：m2+n2≥5．參考答案：證明：（Ⅰ）因為，則，，所以，當且僅當時，取等號．

…………（Ⅱ）由柯西不等式知：，

即，所以，

當且僅當時取等號.

…………（10分）

略12.若集合，，則

參考答案：13.若復數z=（1+i）?i2（i表示虛數單位），則=

．參考答案：﹣1+i【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】先化簡，再根據共軛復數的定義即可求出【解答】解：z=（1+i）?i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案為：﹣1+i．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算以及共軛復數，是基礎的計算題．14.橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，的小大為

．參考答案：15.如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體外接球的表面積為

．參考答案：16.已知，且，求的最小值________.參考答案：3【分析】將變形為，展開，利用基本不等式解之．【詳解】解：已知，，，則，當且僅當時等號成立；故答案為：3【點睛】本題考查了利用基本不等式求代數式的最值；關鍵是變形為能夠利用基本不等式的形式．17.已知一個正六棱錐的高為10cm，底面邊長為6cm，則這個正六棱錐的體積為_______

cm3．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，為兩非零有理數列（即對任意的，均為有理數），為一無理數列（即對任意的，為無理數）.（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式.（2）若為有理數列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為.（3）已知，，對任意的，恒成立，試計算.參考答案：(1)；(2)證明見解析；(3)．試題分析：(1)直接運用題設中的條件解方程求解；(2)借助題設條件運用充分必要條件進行求解；(3)依據題設條件和三角函數的有關知識進行綜合求解（3），∴，∴或∵，∴，當時，∴當時，∴∴為有理數列，∵，∴，∴，∵為有理數列，為無理數列，∴，∴，∴當時，∴當時，∴，∴考點：數列與三角變換等知識的綜合運用．【易錯點晴】數列推證題是上海市高考常考題型之一,也是上海市高考必考的重要考點.解答這類問題的思路依據題設條件,綜合運用所學的知識和數學思想方法去分析問題和解決問題.本題的解答過程中,所有計算與求解都是推理論證能力的體現和數學思想方法的運用.如第一問中的求數列的通項公式,則是運用方程思想建立方程進行求解的;再如第二和第三問中的證明和計算求解的過程也是通過建立方程組來實現的.19.（16分）某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示，根據要求，AB至少長3米，C為AB的中點，B到D的距離比CD的長小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，將支架的總長度表示為y的函數，并寫出函數的定義域．（注：支架的總長度為圖中線段AB、BD和CD長度之和）（2）如何設計AB，CD的長，可使支架總長度最短．參考答案：【考點】：解三角形的實際應用．【專題】：應用題；不等式的解法及應用．【分析】：（1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的關系式；（2）設y﹣1=t（t≥0.5），則原式l=4t++5.5，利用基本不等式求出結果．解：（1）由CD=x，則BD=x﹣0.5，設BC=y，則支架的總長度為AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=（x﹣0.5）2，化簡得y2﹣xy+x﹣0.25=0，即x=

①…（4分）記l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由題中條件得2y≥3，即y≥1.5，設y﹣1=t（t≥0.5）則原式l=4t++5.5

…（10分）∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且僅當4t=，即t=時成立，∴y=+1，∴x=，∴當AB=，CD=時，金屬支架總長度最短．…（16分）【點評】：本題借助三角形的余弦定理建立函數解析式，考查函數的最值問題，是中檔題．20.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點，若二面角P-CD-A為，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線PC與AB所成角的大小；（Ⅲ)求點到平面的距離．參考答案：（I）證明：如圖，取的中點，連接．由已知得且，又因為E是的中點，則且，所以四邊形FAEO平行四邊形，∴又因為平面，平面平面

4分（Ⅱ）因為底面ABCD

又因為底面ABCD為矩形，，又因為AD=2，又因為AB//CD……

…9分（Ⅲ）【法一】：設平面的距離為，因，所以，，又因，是的中點所以，，．作于，因為，則,則，因所以……13分 【法二】因，所以，，又因，是的中點所以，，．作于，連結，因，則為的中點，故所以平面，所以平面平面，作于，則平面，所以線段的長為平面的距離。又，所以……………13分

略21.如圖：已知四棱錐，底面是邊長為３的正方形，面，點是的中點，點是的中點，連接、、．（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．參考答案：（1）解1：取AB中點T，連接MT、NT，

①

……

2分

②

……

4分由①②得所以

……

6分解2：分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設則得,

……

4分

……6分

（2）由（1）得，則

，…

2分解得，即.

……

3分取平面AMB的一個法向量為 ……

4分設平面AMN的法向量，又,由，取平面AMN的一個法向量，………………

5分設二面角為，則………………

7分=

……略22.在平面直角坐標系xoy中，已知點A（0，1），點B在直線l1：y=﹣1上，點M滿足，，點M的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）設直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P，且與直線l1：y=﹣1相交于點Q，試探究，在坐標平面內是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）設M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲線C關于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設N（0，n），又設點，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，利用導數的幾何意義可得切線的斜率，直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點的坐標為，由于點N在以PQ為直徑的圓上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對x0恒成立，必須有，即可得出．解法2：設點P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，利用導數的幾何意義可得切線斜率，得到直線l2的方程為，令y=﹣1得Q點的坐標為，可得以PQ為直徑的圓方程為：，由于在坐標平面內若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必為（0，1）或（0，﹣1），進一步確定即可．解答： 解：（1）設M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲線C的方程式為x2=4y．（2）解法1：由曲線C關于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設N（0，n），又設點，由直線l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點的坐標為，∴，∵點N在以PQ為直徑的圓上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）對x0恒成立，必須有，解得n=1，∴在坐標平面內存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標為（0，1）．解法2：設點P（x0，y0），由l2：y=kx+m與曲線C有唯一公共點P知，直線l2與曲線C相切，由得，∴，∴直線l2的方程為，令y=﹣1得，∴Q點的坐標為，∴以PQ為直徑的圓方程為：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分別令x0=2和x0=﹣2，由點P在曲線C上得y0=1，將x0，y0的值分別代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x