§三角函數的誘導公式(一)課時目標1.借助單位圓及三角函數定義理解三組公式的推導過程.2.運用所學四組公式進行求值、化簡與證明．1．設α為任意角，則π＋α，－α，π－α的終邊與α的終邊之間的對稱關系.相關角終邊之間的對稱關系π＋α與α關于________對稱－α與α關于________對稱π－α與α關于________對稱2.誘導公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.一、選擇題1．sin585°的值為()A．－eq\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)2．若n為整數，則代數式eq\f(sinnπ＋α,cosnπ＋α)的化簡結果是()A．±tanαB．－tanαC．tanα\f(1,2)tanα3．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π<α<2π，則sin(2π＋α)等于()\f(1,2)B．±eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)4．tan(5π＋α)＝m，則eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值為()\f(m＋1,m－1)\f(m－1,m＋1)C．－1D．15．記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()\f(\r(1－k2),k)B．－eq\f(\r(1－k2),k)\f(k,\r(1－k2))D．－eq\f(k,\r(1－k2))6．若sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cos(π＋α)的值為()\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),3)C．±eq\f(\r(5),3)D．以上都不對二、填空題7．已知cos(eq\f(π,6)＋θ)＝eq\f(\r(3),3)，則cos(eq\f(5π,6)－θ)＝________.8．三角函數式eq\f(cosα＋πsin2α＋3π,tanα＋πcos3－α－π)的化簡結果是______.9．代數式eq\f(\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°)的化簡結果是______．10．設f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β為非零常數．若f(2009)＝1，則f(2010)＝____.三、解答題11．若cos(α－π)＝－eq\f(2,3)，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求證：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.能力提升13．化簡：eq\f(sin[k＋1π＋θ]·cos[k＋1π－θ],sinkπ－θ·coskπ＋θ)(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內角．1．明確各誘導公式的作用誘導公式作用公式一將角轉化為0～2π求值公式二將0～2π內的角轉化為0～π之間的角求值公式三將負角轉化為正角求值公式四將角轉化為0～eq\f(π,2)求值2.誘導公式的記憶這組誘導公式的記憶口訣是“函數名不變，符號看象限”．其含義是誘導公式兩邊的函數名稱一致，符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數值的符號．α看成銳角，只是公式記憶的方便，實際上α可以是任意角．§三角函數的誘導公式(一)答案知識梳理1．原點x軸y軸2．(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα作業設計1．A3．D[由cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝eq\f(1,2)，∴sin(2π＋α)＝sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2)(α為第四象限角)．]4．A[原式＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(m＋1,m－1).]5．B[∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2).∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k).∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).]6．B[∵sin(π－α)＝sinα＝log22－eq\f(2,3)＝－eq\f(2,3)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,9))＝－eq\f(\r(5),3).]7．－eq\f(\r(3),3)8．tanα解析原式＝eq\f(－cosα·sin2α,tanα·cos3α＋π)＝eq\f(－cosα·sin2α,－tanα·cos3α)＝eq\f(cosα·sin2α,sinα·cos2α)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.9．－1解析原式＝eq\f(\r(1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°),sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r(1－2sin110°cos70°),－sin70°＋cos70°)＝eq\f(\r(1－2sin70°cos70°),cos70°－sin70°)＝eq\f(|sin70°－cos70°|,cos70°－sin70°)＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°)＝－1.10．3解析f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asinα＋bcosβ)＝1，∴asinα＋bcosβ＝1，f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝3.11．解原式＝eq\f(－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α,－cosα－－cosαcosα)＝eq\f(sinα－sinαcosα,－cosα＋cos2α)＝eq\f(sinα1－cosα,－cosα1－cosα)＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(2,3)，∴cosα＝eq\f(2,3).∴α為第一象限角或第四象限角．當α為第一象限角時，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5),2)，∴原式＝－eq\f(\r(5),2).當α為第四象限角時，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),2)，∴原式＝eq\f(\r(5),2).綜上，原式＝±eq\f(\r(5),2).12．證明∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴α＝2kπ＋eq\f(π,2)－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－β))＋β))＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．13．解當k為偶數時，不妨設k＝2n，n∈Z，則原式＝eq\f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sin2nπ－θ·cos2nπ＋θ)＝eq\f(sinπ＋θ·cosπ－θ,－sinθ·cosθ)＝eq\f(－sinθ·－cosθ,－sinθ·cosθ)＝－1.當k為奇數時，設k＝2n＋1，n∈Z，則原式＝eq\f(sin[2n＋2π＋θ]·cos[2n＋2π－θ],sin[2n＋1π－θ]·cos[2n＋1π＋θ])＝eq\f(sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ],sinπ－θ·cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ·cosθ,sinθ·－cosθ)＝－1.∴上式的值為－1.14．解由條件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A＝1，cos