學業分層測評(四)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1．(2023·寧波高二檢測)將“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”()A．存在a0，b0∈R，使aeq\o\al(2,0)＋beq\o\al(2,0)＋2a0b0＝(a0＋b0)2B．存在a0＜0，b0＞0，使aeq\o\al(2,0)＋beq\o\al(2,0)＋2a0b0＝(a0＋b0)2C．存在a0＞0，b0＞0，有aeq\o\al(2,0)＋beq\o\al(2,0)＋2a0b0＝(a0＋b0)2D．對所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2【解析】a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全稱命題，隱藏了“對所有a，b∈R”．【答案】D2．下列命題中的真命題是()A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．對任意x∈R,2x＞x2D．對任意x∈R，x2＋2＞0【解析】當x∈R時，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0【答案】D3．已知命題p：?x0∈R，sinx0＜eq\f(1,2)x0，則綈p為()A．?x0∈R，sinx0＝eq\f(1,2)x0 B．?x∈R，sinx＜eq\f(1,2)xC．?x0∈R，sinx0≥eq\f(1,2)x0 D．?x∈R，sinx≥eq\f(1,2)x【解析】原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即綈p：?x∈R，sinx≥eq\f(1,2)x.【答案】D4．非空集合A、B滿足AB，下面四個命題中正確的個數是()①對任意x∈A，都有x∈B；②存在x0?A，使x0∈B；③存在x0?B，使x0∈A；④對任意x?B，都有x?A.A．1 B．2C．3 D．4【解析】根據AB知，①②④正確，③錯誤．【答案】C5．(2023·廣東梅州一模)下列命題中的假命題是()A．對任意x∈R,2x－1＞0B．對任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，tanx＝2【解析】A項，∵x∈R，∴x－1∈R，由指數函數性質得2x－1＞0；B項，∵x∈N*，∴當x＝1時，(x－1)2＝0，與(x－1)2＞0矛盾；C項，當x＝eq\f(1,10)時，lgeq\f(1,10)＝－1＜1；顯然D正確．【答案】B二、填空題6．下列命題，是全稱命題的是________；是特稱命題的是________．【導學號：32550011】①正方形的四條邊相等；②有兩個角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正數的平方根不等于0；④至少有一個正整數是偶數．【解析】①②③都是省略了全稱量詞的全稱命題．④是特稱命題．【答案】①②③④7．“所有的自然數都大于零”的否定是________．【解析】改變量詞并否定判斷詞．【答案】存在一個自然數小于或等于零8．若命題“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3＜0”為假命題，則實數m的取值范圍是________．【解析】由題意可知，命題“對任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”為真命題，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答題9．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷真假．(1)對任意的實數a、b，關于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；(2)存在實數x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4).【解】(1)該命題是全稱命題．當a＝0，b≠0時方程無解，故該命題為假命題．(2)該命題是特稱命題．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)＜eq\f(3,4).故該命題是假命題．10．寫出下列全稱命題或特稱命題的否定：(1)所有能被3整除的整數都是奇數；(2)每一個四邊形的四個頂點共圓；(3)有的三角形是等邊三角形．【解】(1)該命題的否定是：至少存在一個能被3整除的整數不是奇數．(2)該命題的否定是：至少存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓．(3)該命題的否定是：所有三角形都不是等邊三角形．[能力提升]1．以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A．每一個銳角三角形的內角都是銳角B．至少有一個實數x，使x2≤0C．兩個無理數的和必是無理數D．存在一個負數x0，使eq\f(1,x0)＞2【解析】B，D是特稱命題，D是假命題，B是真命題．【答案】B2．“關于x的不等式f(x)＞0有解”等價于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．對任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．對任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“關于x的不等式f(x)＞0有解”等價于“存在實數x，使得f(x)＞0成立”，故選A.【答案】A3．命題“偶函數的圖像關于y軸對稱”的否定是________．【解析】本題中的命題是全稱命題，省略了全稱量詞，加上全稱量詞后該命題可以敘述為：所有偶函數的圖像關于y軸對稱．將命題中的全稱量詞“所有”改為存在量詞“有些”，結論“關于y軸對稱”改為“關于y軸不對稱”，所以該命題的否定是“有些偶函數的圖像關于y軸不對稱”．【答案】有些偶函數的圖像關于y軸不對稱4．已知對任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范圍．【導學號：32550012】【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，∴a2－a＜eq\f(t＋1,t2).要使上式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)＝eq\f(t＋1,t2)在t∈(0,2]上的最小值即可．∵f(t)＝eq\f(t＋1,t2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2＋eq\f(1,t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，且eq\f(1,t)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2