題

目：數學思想在中數學教學中的重要性及應用作

者：指導老師：師范學院

學院系數學教育專業093年制2班年4月23日主要內容簡介：“授人以魚，不如授人以漁在中學數學教學中，結合新課改要求，老師在教學中不僅要教會學生基本的數學概念、公式等知識點，更要教會學生自主解決問題的方式方法數學思想是數學知識數學技能和數學方法的本質體現是形成數學能力以及數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、技能和方法的靈魂。數學思想是數學的靈魂，數學方法是使這一靈魂得以展現的途徑。在初中數學教學過程中，要用數學思想指導基礎知識教學，在基礎知識教學中培養思想方法。因為數學思想方法的教學是學生形成良好的認知結構的紐帶是由知識轉化為能力的橋梁是培養數學意識形成優良思維素質的關鍵主要類型有轉化思想、數形結合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數學思想在解題中的應用還要結合原理性的數學解題思想，原理性的數學解題思想主要包括：系統思想、辯證思想、運動變化思想、建模思想、審美思想。

注：1.語、成績由指導老師填寫。2.語及總評意見應包括學術價值、實際意義、達到水平、學術觀點和論證有無錯誤。數學思想在中數學教中的重要性及應用摘要

授人以魚，不如授人以漁中學數學教學中，結合新課改要求，老師在教學中不僅要教會學生基本的數學概念公式等知識點更要教會學生自主解決問題的方式方法。數學想是數學知識、數學技能和數學方法的本質體現，是形成數學能力以及數學意識的橋梁靈活運用數學知識能和方法的靈魂。主要類型有：轉化思想、數形結合思想、方程思想、分類討論思想。一般的，數學思想在解題中的應用還要結合原理性的數學解題思想理性的數學解題思想主要包括：系統思想、辯證思想、運動變化思想、建模思想、審美思想。關鍵詞：數學思想；數學解題思想；數形結合；系統思想一、數學思想在教中的重性（一）新課改中的數學思想新課標提出初中數學的基礎知識主要是代數幾何中的性質概念則公式、公理定理以及由其深層次內容所反映出來的數學思想和方法”這表明數學思想和數學教學方法在本質上是相互聯結的教學中數學思想時刻都能得到體現和運用。長期以來，傳統的數學教學中，只注重知識的傳授，卻忽視知識形成過程中的數學思想方法的現象非常普遍它嚴重影響了學生的思維發展和能力培養隨著教育改革的不斷深入來越多的教育工作者是一線的教師們充分認識到中學數學教學，一方面要傳授數學知識，使學生掌握必備數學基礎知;另一方面更要通過數學知識這個載體挖掘其中蘊含的數學思想方法更好地理解數學，掌握數學，形成正確的數學觀和一定的數學意識。只有數學思想的形成，才能使學生受益終生正所謂“授之以魚不如授之以漁”不管他們將來從事什么職業和工作數學思想方法作為一種解決問題的思維策略都將隨時隨地有意無意地發揮作用。（二數學思想在教學中的重要性數學思想是數學的靈魂數學方法是使這一靈魂得以展現的途徑在初中數學教學過程中要用數學思想指導基礎知識教學在基礎知識教學中培養思想方法因為數學思想方法的教學是學生形成良好的認知結構的紐帶是由知識轉化為能力的橋梁是培養數學意識形成優良思維素質的關鍵。由于數學思想的存在使得數學知識不是孤立的學術知識點不能用刻板的套路解決各種不同的數學問題有充分理解掌握數學思想在各種問題上的運用，才能更有效地把知識運用得靈活。由此可見，要培養學生的數學能力，就必須重視數學思想和方法的訓練培養自主學習的能力得學生更容易理解和更容易記憶數學知識讓學生領會特定的事物本質屬性借助于基本的數學思想和方法理解可能遇到的其他類似問題，有效促進學生數學思維能力的展。現代數學教育理論認為學不是教出來的不是簡單地模仿出來的，而是靠學生自主探索研究出來的要讓學生掌握數學思想和方法應將數學思想和方法的訓練視作教學內容的一個有機組成部分且不能脫離內容形式去進行孤立地傳授在數學課上要充分發揮學生的主體作用讓學生自己主動地去建構數學知識。初中數學教學的目的不僅要求學生掌握數學的基礎知識和基本技能，4343更重要的是發展學生的能力使學生形成優良思維素質這對激發學生的創造思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。二、教學中常的數學解題想類型（一）轉化思想解題過程就是將要解決的問題轉化成為已經學過的知識學中的轉化思想無處不在無時不用它的基本出發點就是使陌生問題熟悉化性問題明朗化、抽象問題具體化、復雜問題簡單化、無序問題和諧化。1例：設函數f()＝3－(1＋a)x2＋4ax＋24，其中常數>1.3討論f(x)的單調性；若當x≥0時，()>0恒成立，求a的取值范圍．解析用函數方程與不等式之間的轉化與化歸求f′()＝0的根比較兩根的大小、確定區間，討論f)的單調性；(2)將f)>0成立轉化為(x的最小值大于0.(1)f′()＝x－2(1＋)＋4a＝(x－2)(x－2)．由已知a>1，∴2>2，∴令f′()>0，解得>2a或x<2，∴當x∈(－∞，2)和∈(2a，＋∞)時，f(x)調遞增，當xa)時，()單調遞減．綜上當a>1時()在區間(－∞，2)和(2a＋上是增函數在區間2,2)上是減函數．(2)由(1)知，當x≥0時，(x)在x＝2a或＝0處取得最小值．1f(2a)＝(2a)3

3

－(1＋a)(2a)

2

＋4a·2a＋24a44＝－a＋4a＋24＝－(－6)(a＋3)，33f＝24a.a>1，由題設知)>0，f(0)>0，

a>1，即(a＋3)(－6)>0，24a>0，解得1<a<6.故a取值范圍是1,6)．（二）數形結合思想所謂數形結合思想就是抓住數與形之間在本質上的聯系后以“形”直觀表達“數”以“數”精確地研究“形”它可以把抽象的數轉化為直觀的形或把復雜的形轉化具體的數從而達到簡捷解題的目的數形結合思想在解題中的起著非常重要的作用如在課堂教學時多問題一旦教師出示了圖形或教具，就會使得困難的問題簡單化學生很容易就從直觀上理解了問題和數學概念總之僅有數的分析或形的直觀都不易單獨解決的問題數形結合既具有數學學科的鮮明特點,又是數學研究的常用方法。例知向量=(2,0),=(2,2),=(

cosα,

sinα),則向量與的夾角范圍為（）0,4,,12212120,4,,1221212CMC.

A.455解析：為數配形。如圖所示點A的軌跡是以C(2,2)為圓心,為半徑的圓.過原點O作此圓的切線,切點分別為M,N.連CM、.∵||=2

,∴||=||=

||

.知∠COM==又∵∠=∴∠=

,6

4

12∠NOB=

512

π.選D三）方程思想

例題解圖方程的思想是對于一個問題用方程解決的應用，也是對方程概念本質的認識，是分析數學問題中變量間的等量關系，構建方程或方程組，或利用方程的性質去分析、轉換、解決問題。要善用方程和方程組觀點來觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。例：在水平線上一點C，測得山頂A的仰角為，向山沿直線前進20米到D處，再測山頂A的仰角為45°，求山高AB。解析：（1）在Rt△ABC和Rt△ABD中，都沒有兩個已知元素，故不能直接解一個三角形來求出AB。（2）考慮AB是兩直角三角形的直角邊，而CD是兩直角三角形的直角邊，而均不是兩個直角三角形的直角邊，但＝BD，啟以學生設AB＝X，通過

列方程來解，然后板書解題過程。（3）應用未知數，用方程的思想解決問題。解：設山高AB米在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°∵BD＝AB＝x（米）在Rt△ABC中，＝AB/BC∴BC＝AB/tgC（米）∵CD＝BC－BD∴3x－x＝20

解得x＝10米答：山高AB是米（四）分類討論思想分類思想即根據數學對象本質屬性的共同點和差異點將數學對象區分成為不同種類的思想方法在解題過程中當條件或結論不是唯一時就會產生幾種可能性，需要進行分類討論。分類要不重不漏，做到學合理。例：已知橢圓離為．（1）求橢圓C的方程；

的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距（2）設直線l與橢圓交于A兩點，坐標原O到直線l的距離為

，求

面積的最大值．解析圓錐曲線方程的確定要了解其中參數字母具有的幾何意義掌握字母間的基本關系．（1）設橢圓的半焦距為c，依題意，∴所求橢圓方程為．（2）設，．①當

軸時，．②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為．由已知，得．把

代入橢圓方程，整理得，，．．當且僅當

，即

時等號成立．當

時，，綜上所述．∴當|AB|最大時，

面積取最大值．三、原性的數學解思想類（一）系統思想從系統論來看一道數學題可構成一個系統所以在系統論中的整體意識和“黑箱方法”在數學解題中有著廣泛的應用。整體意識在數學解題上的應用，是指對于一個數學問題，應該重點著眼于問題的整體結構而不只是它的局部特征然后應通過全面而深刻的考察從宏觀上去理解和認識問題的實質，挖掘和發現出已有元素在整體結構中的地位和作用，以求找到求解問題的思路。從解題角度而言，題目就是一個“黑箱”，解題就是通過對“黑箱”進行信息輸入和輸出來探究出“黑箱”的內部性態比如待定系數法反例法歸納法等解題策略以及用于解答開放性或探索性問題的探索結論過程這些都是黑箱方法的典型運用。（二）辯證思想辨證思想的運用，往往會體現在以下幾個方面：、非線性結構與線性結構的轉換；2、已知與未知的轉換；3、常量與變量的轉換；、正面與反面的轉換；5、靜與動的轉換；6、數與形的轉換；7、有限與無限的轉換。（三）運動變化思想在數學解題過程當中，運動變化思想分為以下三種類型：、化靜為動，從運動變化中理解數學對象的變化發展過程；2、動中寓靜，從不變中把握數學對象變化的本質特征；3、動靜轉化，充分揭示運動形態間的互相聯系。（四）建模思想這是指把實際問題進行“數學化”處理，將實際問題抽象為模型化的數學問題以揭示實際問題的本質如此不僅能解決具體的實際問題還能鍛煉應用數學知識的能力因此數學建摸的思想與方法日益受到人們重視具體的建模分成以下幾種類型：1、建立代數函數模型；2、建立解析幾何模型；3、建立平面幾何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函數模型。（五）審美思想數學美具備著簡潔性對稱性一性和諧性以及奇異性從數學發展史來看，數學家往往因為追求數學美而獲取了許多新發現不斷推動數學向前發展而在數學解題中則可通過數學審美而獲得數學美的直覺促使題感經驗與審美直覺相配合，激活思維中的關聯因素