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文檔簡介

潮安區庵埠中學2023學年度第二學期期中考試高二級數學(理科)試卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)(1)已知是虛數單位,則復數的共軛復數是()A、1-B、-1+C、1+D、-1-(2)由①y=2x+5是一次函數;②y=2x+5的圖象是一條直線;③一次函數的圖象是一條直線.寫一個“三段論”形式的正確推理,則作為大前提、小前提和結論的分別是()A.②①③ B.③②①C.①②③ D.③①②(3)類比平面內正三角形“三邊相等,三內角相等”的性質,可推出正四面體的下列性質,從“類比”角度看,恰當的是()①棱長相等,同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等;②各個面都是全等的正三角形,相鄰兩個面所成的二面角相等;③各個面都是全等的正三角形,同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等.A.① B.②C.③ D.①②③(4)在平面內有n(n∈N+,n≥3)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,若n條直線把平面分成f(n)個平面區域,則f(9)等于()A.18 B.22C.37 D.46(5)下列計算錯誤的是()A. B.C. D.(6)下列各函數的導數:①;②(ax)′=a2lnx;③(sin2x)′=cos2x;④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x+1)))′=eq\f(1,x+1).其中正確的有()A.0個B.1個C.2個 D.3個(7)已知函數y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數y=f′(x)的圖象如圖所示,則該函數的圖象是()(8)若f(x)=eq\f(lnx,x),0<a<b<e,則有()A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)C.f(a)<f(b) D.f(a)·f(b)>1(9)過原點作曲線y=的切線,則切點的縱坐標為()B.C.D.(10)已知函數有兩個極值點,則的取值范圍是()A. B. C. D.(11)已知函數在處取得極大值10,則的值為()A.B.C.或D.不存在(12)已知是定義在上的減函數,其導函數滿足,則下列結論正確的是()A.,B.,C.當且僅當時,D.當且僅當時,二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,請把正確的答案填寫在答題卡相應的橫線上.(13)設O是原點,向量對應的復數分別為那么向量對應的復數是_______(14)=________.(15)若函數f(x)=-x3+x2+tx+t在區間(-1,1)內是增函數,則實數t的取值范圍是___________.(16)已知曲線的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數方程是(為參數).若直線與曲線相交于、兩點,且,則直線的傾斜角的值為__________.三、解答題(解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)(本小題滿分12分)已知復數,試求為何值時,為實數?所對應的點落在第三象限?(本小題滿分12分)已知兩個函數f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.若?x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求實數c的取值范圍.(本小題滿分12分)若,,.(1)求證:;(2)令寫出的值,觀察并歸納出這個數列的通項公式,并用數學歸納法證明.(本小題滿分12分)統計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數解析式可以表示為y=eq\f(1,128000)x3-eq\f(3,80)x+8(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米.(1)當汽車以40千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(2)當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?(本小題滿分12分)已知函數.(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)當時,討論的單調性.請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一個題目計分.(22)(本小題滿分10分)選修44:坐標系與參數方程在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.(Ⅰ)直接寫出的普通方程和極坐標方程,直接寫出的普通方程;(Ⅱ)點在上,點在上,求的最小值.(23)(本小題滿分10分)選修45:不等式選講設函數.(Ⅰ)當時,解不等式;(Ⅱ)設,當時,求證:.潮安區庵埠中學2023學年度第二學期期中考試高二級數學(理科)參考答案一、選擇題123456789101112ADBDDBBCBCAB二、填空題:13.5-5i14、15.[5,+∞)16.或三、解答題17.解:(1)Z為實數,則虛部為0,即,解得或……5分(2)……………7分解得:…………………11分故………………………12分18解:f(x)≤g(x)?7x2-28x-c≤2x3+4x2-40x?c≥-2x3+3x2+12x,………2分所以原命題等價于c≥-2x3+3x2+12x在x∈[-3,3]上恒成立.令h(x)=-2x3+3x2+12x,x∈[-3,3],………4分則c≥h(x)max.………5分因為h′(x)=-6x2+6x+12=-6(x-2)(x+1),………7分當x變化時,h′(x)和h(x)在[-3,3]上的變化情況如下表:x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h′(x)-0+0-h(x)45極小值-7極大值209………10分易得h(x)max=h(-3)=45,故c≥45.………12分19.解:(1)證明:假設,即,解得………2分從而,這與題設相矛盾,………………4分所以不成立.故成立.………………5分(2)由題意得,………………6分由此猜想:.………………8分………………9分20.解:(1)當x=40時,汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,40)=小時,要耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)×403-\f(3,80)×40+8))×=(升).即當汽車以40千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油升.…4分(2)當速度為x千米/時,汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時,設耗油量為h(x)升,依題意得:h(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3-\f(3,80)x+8))·eq\f(100,x)=eq\f(1,1280)x2+eq\f(800,x)-eq\f(15,4)(0<x≤120),…7分h′(x)=eq\f(x,640)-eq\f(800,x2)=eq\f(x3-803,640x2)(0<x≤120).…8分令h′(x)=0,得x=80.當x∈(0,80)時,h′(x)<0,h(x)是減函數;當x∈(80,120)時,h′(x)>0,h(x)是增函數.…10分∴當x=80時,h(x)取到極小值h(80)=.∵h(x)在(0,120]上只有一個極值,∴它是最小值.即當汽車以80千米/時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為升.…12分21.解:(1)時,,.,,…………1分因此,即曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為1.…………2分又f(2)=ln2+2,所以切點為(2,ln2+2)………3分所以切線方程應為y-(ln2+2)=x-2,即x-y+ln2=0.………4分(2)∵,∴,…5分令,①當a=0時,g(x)=1-x,,當時,g(x)>0,,單調遞減;當時,g(x)<0,此時,單調遞增;………………6分②當a≠0時,,(ⅰ)當時,g(x)≥0恒成立,,在(0,+∞)上單調遞減;………7分(ⅱ)當時,,時,,此時,單調遞減;時,,此時,單調遞增;時,,此時,單調遞減;………………9分(ⅱⅰ)當時,由,時,,有,單調遞減時,,有,單調遞增.……11分綜上所述:當時,函數在(0,1)上單調遞減,(1,+∞)上單調遞增;當時,在(0,+∞)上單調遞減;當時,在(0,1)上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減.……12分請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一個題目計分.22、解:(Ⅰ)的普通方程是,(2分)的極坐標方程,(4分)的普通方程.(6分)(Ⅱ)方法一:是以點為圓心,半徑為2的圓;是直線.(7分)圓心到直線的距離為,直線和圓相離.(8分)所以的最小值為.(10分)方法二:設,因為是直線,(7分)所以的最小值即點到直線的距離的最小值,,(9分)所以最小值為.(10分)(23)解:(I)當時,不等式即當時,得,∴------------------------------------1分當時,得,∴----------------------2分當時,得,與矛盾,----------------------3分綜上得原不等式的解集為=----------------5分(II)-----------------------------------6分∵,∴-----------------------------------7分,---------------------------------------9分當時取“=”,得證.-----------------------------------------------------------------------10分潮安區庵埠中學2023學年度第二學期期中考試高二數學(理科)選擇填空詳細答案一、選擇題2.【答案】D【解析】該三段論應為:一次函數的圖象是一條直線(大前提),y=2x+5是一次函數(小前提),y=2x+5的圖象是一條直線(結論).3.答案:B解析:三個性質都是正確的,但從“類比”角度看,一般是“線→面”、“角→二面角”.4.答案:D解析:f(3)=7,f(4)-f(3)=4,f(5)-f(4)=5,…f(n)-f(n-1)=n.以上各式相加:∴f(n)=7+4+5+…+n∴f(9)=7+4+5+…+9=7+eq\f(6×(4+9),2)=46.5.答案:D解析:由微積分基本定理或定積分的幾何意義易得結果.6.答案:B解析:(eq\r(x))′=(xeq\s\up15(eq\f(1,2)))′=eq\f(1,2)xeq\s\up15(-eq\f(1,2)),①正確;(ax)′=axlna,②錯誤;(sin2x)′=2cos2x,③錯誤;eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x+1)))′=eq\f(x+1-x,x+12)=eq\f(1,x+12),④錯誤.7.答案:B解析:根據導函數值的大小變化情況,確定原函數的變化情況.從導函數的圖象可以看出,導函數值先增大后減小,x=0時最大,所以函數f(x)的圖象的變化率也先增大后減小,在x=0時變化率最大.A項,在x=0時變化率最小,故錯誤;C項,變化率是越來越大的,故錯誤;D項,變化率是越來越小的,故錯誤.B項正確.8.答案:C解析:f′(x)=eq\f(1-lnx,x2),在(0,e)上,f′(x)>0,∴f(x)在(0,e)上為增函數.∴f(a)<f(b).10.C11、A.12、B.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,請把正確的答案填寫在答題卡相應的橫線上.13.5-5i14、15.[5,+∞)解:f′(x)=-3x2+2x+t.因為f(x)在(-1,1)內是增函數,所以f′(x)=-3x2+2x+t≥0對x∈(-1,1)恒成立,即t≥3x2-2x對x∈(-1,1)恒成立.因為g(x)=3x2-2x的圖象是對稱軸為x=eq\f(1,3),開口向上的拋物線,所以當x∈(-1,1)時,g(x)<g(-1)=5,于是t≥3x2-2x對x∈(-1,1)恒成立?t≥5.所以t的取值范圍為[5,+∞).16.或解:由得.∵,,,∴曲線的直角坐標方程為,即……4分將代入圓的方程得,化簡得.……………5分設兩點對應的參數分別為、,則……………6分∴.……………8分∴,,或.……………10分14.已知在上是單調增函數,則的最大值是.【例2】(2023·新課標卷Ⅱ)若函數f(x)=kx-lnx在區間(1,+∞)上單調遞增,則k的取值范圍是DA.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)1.若復數z滿足i為虛數單位),則復數z=(B)A.1B.2C.iD.2i14、已知z是復數,z+2i、eq\f(z,2-i)均為實數(i為虛數單位),且復數在復平面內對應的點在第一象限,則實數a的取值范圍為________.15.15.如圖,在正方形內任取一點,取到函數的圖象與軸正半軸之間(陰影部分)的點的概率等于.16.已知函數及其導數,若存在,使得=,則稱是的一個“巧值點”,下列函數中,有“巧值點”的函數的個數有個.①,②,③,④,⑤.16.已知函數f(x)的定義域為[-1,5],部分對應值如表:x-1045f(x)1221f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示:下列關于f(x)的命題:①函數f(x)是周期函數;②函數f(x)在[0,2]上是減函數;③如果當x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4;④當1<a<2時,函數y=f(x)-a有4個零點;⑤函數y=f(x)-a的零點個數可能為0,1,2,3,4個.其中正確命題的序號是.

②⑤14、已知直線與曲線相切,則26.已知函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖1所示,則()圖1A.函數f(x)有1個極大值點,1個極小值點B.函數f(x)有2個極大值點,2個極小值點C.函數f(x)有3個極大值點,1個極小值點D.函數f(x)有1個極大值點,3個極小值點【解析】根據極值的定義及判斷方法,檢查f′(x)的零點左右的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個點處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個點處取得極小值;如果左右都是正,或者左右都是負,那么f(x)在這個點處不是極值.由此可見,x2是函數f(x)的極大值點,x3是極小值點,x1,x4不是極值點.【答案】A8.函數y=ax3-x在(-∞,+∞)上的減區間是[-1,1],則()A.a=eq\f(1,3) B.a=1C.a=2 D.a≤0解析:x∈[-1,1],y′=3ax2-1≤0,且y′|x=±1=0,∴3a=1,a=eq\f(1,3).答案:A3.觀察:eq\r(6)+eq\r(15)<2eq\r(11),eq\r+eq\r<2eq\r(11),eq\r(4-\r(2))+eq\r(17+\r(2))<2eq\r(11),…,對于任意的正實數a,b,使eq\r(a)+eq\r(b)<2eq\r(11)成立的一個條件可以是()A.a+b=22 B.a+b=21C.ab=20 D.ab=21【解析】由歸納推理可知a+b=21.故選B.【答案】B10.如圖所示的是由火柴桿拼成的一列圖形,第n個圖形由n個正方形組成,通過觀察可以發現第4個圖形中,火柴桿有________根;第n個圖形中,火柴桿有________根.15.設曲線在點處的切線與直線垂直,則.-217.(本小題滿分14分)已知函數(I)求函數的單調增區間;(II)若,求函數17.(本

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