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19.3.2矩形的判定第十九章
四邊形滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊【中考·十堰】已知平行四邊形ABCD中,下列條件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能說明平行四邊形ABCD是矩形的是(
)A.①
B.②
C.③
D.④1.B基礎(chǔ)鞏固【2021·威海】如圖,在?ABCD中,AD=3,CD=2.連接AC,過點(diǎn)B作BE∥AC,交DC的延長線于點(diǎn)E,連接AE,交BC于點(diǎn)F.若∠AFC=2∠D,則四邊形ABEC的面積為(
)B2.【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,∠D=∠ABC.∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形.∴FA=FE,FB=FC.∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.∵∠AFC=∠ABF+∠FAB.
∴∠ABF=∠FAB.∴FA=FB.
∴FA=FE=FB=FC.
∴AE=BC.【中考·上海】已知平行四邊形ABCD,下列條件中,不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是(
)A.∠A=∠B
B.∠A=∠CC.AC=BD
D.AB⊥BC3.B4.C【中考·菏澤】如果順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形,那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是(
)A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分【2021·黑龍江】如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,在不添加任何輔助線的情況下,請你添加一個(gè)條件________________________,使平行四邊形ABCD是矩形.5.∠ABC=90°(答案不唯一)在一組對邊平行的四邊形中,添加下列條件中的哪一個(gè),可判定這個(gè)四邊形是矩形?(
)A.另一組對邊相等,對角線相等B.另一組對邊相等,對角線互相垂直C.另一組對邊平行,對角線相等D.另一組對邊平行,對角線互相垂直6.C【中考·遂寧】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別是線段BC,AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證:△BDE≌△FAE;7.提升訓(xùn)練證明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E是線段AD的中點(diǎn),∴AE=DE.又∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).(2)求證:四邊形ADCF為矩形.解:∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.∵D是線段BC的中點(diǎn),∴BD=CD.∴AF=CD.又∵AF∥CD,∴四邊形ADCF是平行四邊形.∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
∴四邊形ADCF為矩形.如圖,以△ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,連接DE,EF.請回答下列問題:(1)四邊形ADEF是什么四邊形?并說明理由.8.解:四邊形ADEF是平行四邊形.理由:∵△ABD,△BEC都是等邊三角形,∴BD=AB=AD,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∵∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA,∴∠DBE=∠ABC.
∴△DBE≌△ABC(SAS).∴DE=AC.∵△ACF是等邊三角形,∴AC=AF.
∴DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC,∴EF=BA=DA.∵DE=AF,DA=EF,∴四邊形ADEF為平行四邊形.(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADEF是矩形?解:若四邊形ADEF為矩形,則∠DAF=90°.易知∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360
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