畫法幾何及機械制圖

第三章立體的投影立體（幾何體）立體分平面立體和曲面立體.平面立體完全由平面構成的立體如棱柱、棱椎等.曲面立體由平面與曲面或曲面與曲面構成的立體如圓柱、圓錐、球體、圓環等。

常見的基本幾何體平面立體曲面立體第一節平面立體的投影

一、棱柱的投影

側棱垂直于底面的稱為直棱柱；側棱與底面斜交的稱為側棱柱。各側棱相互平行且相等。1、棱柱的組成由兩個底面和幾個側棱面組成。側棱面與側棱面的交線叫側棱線，側棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影如圖,為一正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實形，正面及側面投影重影為一直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱有六側棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側面投影重影為一條直線。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱的其它四個側棱面均為鉛垂面，其水平投影均重影為直線。正面投影和側面投影均為類似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三視圖作投影圖時，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據其它投影規律畫出其它的兩個投影。如圖3-2所示。六棱柱的投影

3、棱柱表面取點和取線

平面立體由若干平面構成，在其表面上取點、取線的方法與在平面上取點、取線的方法相同，一般用輔助線法。對正棱柱的各個表面都處于特殊位置，因此在表面上取點可利用重影性原理作圖。aaa棱柱表面上取點(b’)b

b’’C

C’

C’’二、棱錐的投影

1、棱錐的組成產生棱錐的平面多邊形稱為底面，其余各平面稱為側面，側面交線稱為側棱。棱錐由一個底面和幾個側棱面組成。側棱線交于有限遠的一點——錐頂特點是所有側棱相交于一點。2、棱錐的三視圖投影SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影棱錐的投影

棱錐投影特性分析（以正三棱錐為例）作圖時，先畫出底面△ABC的各個投影，再作出錐頂S的各個投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。如圖所示。

s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ3、棱錐表面取點和取線

作圖步驟如下：連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2在投影ac上求出Ⅱ點的水平投影2。連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。根據在直線上的點的投影規律，求出M點的水平投影m。再根據知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW三棱錐表面上取點1第二節曲面立體的投影

曲面立體是由曲面或曲面和平面所圍成。繪制它們的投影時，由于它們的表面沒有明顯的棱線，繪制曲面立體的投影，就是繪制組成曲面立體的所有曲面或曲面與平面的投影，也就是繪制曲面立體的輪廓線、轉向輪廓線及軸線的投影。一、圓柱圓柱投影特性分析

在圓柱表面上取點已知圓柱表面上的點M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。2、圓柱表面上取點

a’

a”

a

b’(b”)

b圓柱表面取點和取線圓錐的投影

圓錐的概念圓錐面是由一條直母線SA，繞與它相交的軸線旋轉形成的。它是由圓錐面和底面（圓形平面）組成。二、圓錐

圓錐表面由圓錐面和底圓組成。它是一母線繞與它相交的軸線回轉而成。

1、圓錐投影圖s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)（1）先繪出圓錐的對稱線、回轉軸線。（2）在水平投影面上繪出圓錐底圓，正面投影和側面投影積聚為直線。(3)作出錐頂的正面投影和側面投影并畫出正面轉向輪廓線和側面轉向輪廓線。圓錐的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圓錐表面取點和取線

如果是圓錐表面輪廓線上的點，可以直接作出點的其它兩個投影。如果在圓錐面上一般位置的點K，就只能作輔助線，才能由一已知投影，求出另外兩個投影。在圓錐表面上求點，有兩種方法：一種是素線法，一種是輔助圓法。方法一：素線法過M點及錐頂S作一條素線SⅠ,先求出素線SⅠ的投影,再求出素線上的M點。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圓錐表面的點M的正面投影m’,求出M點的其它投影。過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)圖3-14圓錐的投影及表面上的點ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素線的水平投影s1及側面投影s”1”。求出M點的水平投影和側面投影。XZY圓錐的三面投影圖HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：輔助圓法過M點作一平行與底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過m’且平行于a’b’的直線2’3’，它們的水平投影為一直徑等于2’3’的圓，m在圓周上，由此求出m及m”。mMm’m”m’圓錐的投影及表面上的點s’ss”a’ab’bc”d”mm”以s為中心，以sm為半徑畫圓，已知圓錐面上M點的水平投影m，求出其m’和m”。作出輔助圓的正面投影2’3’。232’3’求出m’及m”的投影。

球的三個投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個投影面上的圓是不同的轉向輪廓線。回車繼續1、球的投影三、圓球圓球的投影

2、圓球表面取點和取線已知M點的水平投影，求出其它兩個投影。121’m’m”過m作平行于V面的正平圓12。求正平圓的正面投影。在輔助正平圓上求出m’和m”。o’o”o球的投影及表面上的點mR球面上取點截平面截斷面截交線截平面——用以截切物體的平面。

截交線——截平面與物體表面的交線。

截斷面——因截平面的截切，在物體上形成的平面。第三節立體的截交線

截交線的性質：截交線是截平面與立體表面的共有線。截交線是一封閉的平面圖形，

求截交線的方法：。1）交點法：求出立體表面上已知直線與截平面的交點，連接交點即為所求。2）表面取點法：利用立體表面在投影面上的投影右積聚性的特點求之。3）輔助線法：在立體表面上作輔助素線及輔助圓求之。4）輔助平面法：借助輔助平面與立體表面及截平面相交來求之。一、平面立體截交線例1、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"完成后的投影圖平面立體的截交線畫法

平面立體的截交線畫法例2、作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一個正垂面和一個側平面所截切，因四棱柱的四個棱面均垂直于水平面，截平面與棱線的交點均在棱面的投影上。此題還應作出兩截平面的交線AB的投影。??BA完成后的投影圖a'(b')baa"b"??截交線的性質：

截交線是截平面和回轉體表面的共有線，截交線上任意點都是它們的共有點。

截交線是封閉的平面曲線或平面圖形。求截交線的方法和步驟：

分析截平面與投影面的相對位置，截平面與回轉體的相對位置，初步判斷截交線的形狀及其投影。

求出截交線上的點，首先找特殊點再補充中間點。

補全輪廓線，光滑地連接各點，得截交線的投影。二、曲面立體的截交線1、平面與圓柱體相交

P截平面與圓柱軸線平行截交線為矩形PHPPv截平面與圓柱軸線傾斜截交線為橢圓PPv截平面與圓柱軸線垂直截交線為圓

例求斜切圓柱體的投影，已知正面和水平面的投影，完成側面投影。1'?2'?1??2?1"2"?3'(4')?4??34"??3"a?a'(b')?b??a"b"?c'(d')??

c?d?

c"d"?

作圖過程：求特殊點即找最高、最低、最左、最右、最前、最后點可確定出橢圓長短軸的端點。求一般點從正面投影上選取A、B、C、D四點分別求出水平面和側面投影。

光滑地連接各點。例已知圓柱截斷體的正面和側面投影，求水平投影。分析：圓柱的軸線是側垂線，截斷體分別由側平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。側平面與圓柱軸線垂直，截交線為圓弧，其正面投影為直線，側面投影為圓弧。正垂面與圓柱軸線傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側面投影與圓重合。水平面與圓柱軸線平行截交線為矩形，正面、側面投影均直線。1'

·

?1?2"?2(3')?2'?33"?4'?(5')

?4?4"5"?5?6'(7')?7"6"6

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(9')?8"9"

??89?a'?(b

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b"??

ab?1"

·cdc"d"c'(d')?()()完成后的投影圖例3、求如圖所示的開槽圓柱的左視圖。分析：槽是由三個截平面形成的，左右對稱的兩個截平面是平行于圓柱軸線的側平面，它們與圓柱面的截交線均為兩條直素線，與上底面的截交線為正垂線。另一個截平面是垂直于圓柱軸線的水平面，它與圓柱面的截交線為兩段圓弧。三個截平面間產生了兩條交線，均為正垂線。1'（2'）

??1"2"??

1?

2?

3'（4'）?

3?4?

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4"5'（6'）

?56

5"?

6"?完成后的投影圖2、平面與圓錐體相交截平面與錐體的截切位置和軸線傾角不同，截交線的形狀不同。截平面垂直于圓錐軸線，傾角為θ=90ο，截交線為圓形。Pvθ截平面與圓錐軸線傾斜，傾角θ>α截交線為橢圓。PvθαθαPvαPvPv截平面與圓錐軸線傾斜面，傾角θ=α

截交線為拋物線。截平面與圓錐軸線平行或傾角θ<α，截交線為雙曲線。截平面過錐頂截交線為三角形。平面截圓錐交線情況例1、已知圓錐體的正面投影和部分水平面投影，求斜切圓錐體的水平投影和側面投影。?

aa'?

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b"?c'(d')??c"?

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?作圖：1、求特殊點最高點B最低點A；圓錐體的前后素線與截交線的正面投影的交點c'd'重影為一點，其余兩面投影根據投影關系求出；截交線的最前點K 和最后點L，正面投影重影于a'b'的中點。2、求一般點。3、光滑連接各點的同面投影。完成后的三視圖例已知頂尖被截切后的正面和側面投影，求作水平投影。分析：頂尖頭是由相連的圓錐體和圓柱體被兩個平面截切而成，軸線為側垂線，截平面分別為側平面和水平面。側平面與圓柱軸線垂直，與圓柱的截交線為圓弧，正面投影為直線，側面投影為圓弧的實形。水平面與圓柱的截交線為開口矩形，與圓角度的截交線為雙曲線，其正面和側面投影均為直線。a'??b'(c')?a

a"??b"

c"??b?Cd'e'?d"e"

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f'??f"?f

g'h'??g"?h"?g

h?3、平面與球體相交

球被平面截切，截交線均為圓。由于截平面位置不同，截交線的投影可能是圓、直線或橢圓。Ph1）、截平面為平行面截平面為正平面，正面投影為截交線圓的實形。PvPv截平面為水平面，水平投影為截交線圓的實形。截平面為正垂面，截交線的水平投影及側面為橢圓。3）、截平面為垂直面2）、截平面為水平面例1：已知圓球體被截切后的正面投影求作水平投影。a'b'?

ba

?e'(f')??ef?c'(d')??cd?g'(h')??gh?分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影為直線，水平投影為橢圓。作圖：1、求特殊點截交線的最低點A和最高點B是水平投影的最右點和最左點，也是截交線水平投影橢圓短軸的交點，水平投影a、b在其正面投影輪廓線的水平投影上。a'b'的中點c'd'是截交線水平投影橢圓長軸端點的正面投影，其水平投影cd投影在輔助緯圓上。e'f'是截交線與球的水平投影輪廓線的正面投影的交點，其水平投影ef在球的水平投影輪廓線上。2、求一般點選擇適當位置作輔助水平面，與ab的交點g、h為截交線上兩個點的正面投影，其水平投影g、h投影在輔助緯圓上。例2、已知帶通槽半球的正面投影，完成水平和側面投影。分析：半球的通槽由三個平面構成，一個水平面和兩個側平面截切圓球它們與球面的截交線都是分別平行于投影面的圓弧。關鍵是確定截交圓弧的半徑；可根據截平面位置確定。1、通槽的水平投影作圖：過槽底部作輔助水平面，水平投影為圓，并在圓周上截取與正面投影相對應的前后兩段圓弧。2、通槽側面投影的作圖：兩側平面距球心等遠，兩圓弧的半徑相等，兩段圓弧的側面投影重合。第四節立體的相貫線概念兩立體相交叫相貫，其表面產生的交線叫相貫線。★相貫線性質：

表面性——相貫線位于兩立體的表面上。

封閉性——相貫線一般是封閉的空間曲線。

共有性——相貫線是兩立體表面的共有線。★作圖實質：找兩立體表面的若干共有點的投影。1、兩圓柱相交相交兩回轉體的相互位置不同可分為正交、偏交、斜交。相貫線投影相貫線投影分析：兩圓柱體軸線垂直相交，其軸線分別為鉛垂線和側垂線，因此小圓柱的水平投影和大圓柱的側面投影都具有積聚性。相貫線的水平投影積矛在圓周上，側面投影積聚于圓周的一部分。作圖：求特殊點：a'、b'就是兩圓柱表面共有點的正面投影，也是相貫線的最高點、最左點、最右點。從側面投影輪廓線的交點求得相貫線最前點、最后點的側面投影c"、d"，由從屬關系求出其余兩面投影。求一般點：作輔助正平面，與兩圓柱的交線均為矩形，其側面投影1、2和水平面投影1、2分別在圓周與平面投影的交點上。a'?

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