振動與波動振動簡諧振動阻尼振動、受迫振動和共振振動的合成波動機械波及其波動方程機械波的能量與能流波動反射折射與衍射波的疊加、干涉與駐波多普勒效應（物理量隨時間在某一固定值附近作周期性變化）（振動在空間的傳播現象）振動與波動機械振動：物體在一特定的位置（平衡位置）

附近做周期性運動。廣義振動：任一物理量在某固定值附近作

周期性的變化。振動振動在空間的傳播。振動是產生波動的根源波動是振動這種運動形式和能量在空間的傳播波動是相互聯系著的一系列振動。各種振動和波動運動有著很多共同的特征。波動第4章機械振動4.1簡諧振動4.2簡諧振動的案例分析4.3諧振動的合成4.4阻尼振動，受迫振動和共振§4.1簡諧振動1.簡諧振動的運動學描述2.簡諧振動的動力學描述3.簡諧振動振動的旋轉矢量表述4.諧振動振動的能量4.1.1簡諧振動運動學描述

定義:

特點:(1)等幅振動(2)周期振動x是描述位置的物理量,如

y,z或

等.m

研究簡諧振動的意義:mxO§4.1簡諧振動mxO§4.1簡諧振動1.簡諧振動的代數表達——諧振方程利用歐拉方程表達成復數形式：諧振方程諧振方程由A、T、三個參量確定。諧振方程中各量的物理意義：位移x：振子在時刻t相對平衡位置的位移，單位為m。振幅A：振子相對平衡位置的最大位移，單位為m。周期T：振動一次所用的時間，單位為s?！?.1簡諧振動若令：稱為頻率振子單位時間振動的次數，單位為1/s=Hz（赫茲）再令：稱為角頻率振子在2秒時間振動的次數，單位為rad/s§4.1簡諧振動頻率：角頻率：簡諧振子的運動狀態由（t+）唯一決定。

表征了簡諧振子t時刻的振動狀態。也稱為相角，它是時間的函數，單位為rad（弧度）。簡諧振子在0時刻的相位值，由振子的初始狀態決定。相位（t+）：初相位：§4.1簡諧振動相位（t+）的性質：①當特征參量給定后，振子的運動狀態由相位唯一決定。②相位是時間的函數，規定了振子運動狀態的變化趨勢。③相位也反映了簡諧振子振動的周期性。相位每改變2振動重復一次,相位2范圍內變化,狀態不重復.txOA-A

=2§4.1簡諧振動

相位差若若兩振動步調相同,稱同相。兩振動步調相反,稱反相。

m2x2Ok2m1

k1x1

xtoA1A2-A2x1x2T-A1x2TxoA1-A1A2-A2x1t§4.1簡諧振動2.簡諧振動的圖形表達——振動曲線振動曲線t（s）x（m）A1-A1TTA1cos1A2-A2A2cos2§4.1簡諧振動t（s）x（m）A-A曲線1曲線2tt振動2比振動1落后§4.1簡諧振動t（s）x（m）A-A曲線1曲線2tt振動2比振動1超前§4.1簡諧振動例1.如圖的諧振動x-t曲線，試求其諧振方程解：由圖知振動表達式為由t=0時：§4.1簡諧振動又由：即：§4.1簡諧振動例2.如圖的諧振動x-t曲線，試求其諧振方程解：由圖知由t=1時：振動表達式為§4.1簡諧振動即：§4.1簡諧振動4.1.2簡諧運動動力學描述1.受力特點機械振動的力學特點線性恢復力

Okxl0xm§4.1簡諧振動其中為

固有角頻率§4.1簡諧振動2.動力學方程運動微分方程其中4.振幅和初相位的確定注意:如何確定最后的.§4.1簡諧振動3.速度和加速度4.1.3諧振動旋轉矢量表示法t+oxxtt=0va特點:直觀方便.··§4.1簡諧振動M

4.1.4諧振動的能量(以水平彈簧振子為例)1.動能2.勢能3.機械能（簡諧振動系統機械能守恒）mxOExOA?A§4.1簡諧振動x（m）At（s）Tt（s）E（J）1/2kA2EpEkE簡諧振動的能量特征：①動能和勢能周期性變化，其周期為振動周期的一半，二者彼此反相。②勢能的極大值與位移的極值同步，極小值與位移的零點同步，動能正好相反。③無論勢能和動能如何變化，其總能量保持不變。普遍特征：諧振系統的能量不隨時間變化，其大小與振幅A的平方成正比，與頻率的平方成正比。④諧振系統是無能量損耗的系統。這是一個理想的系統-無阻尼自由振動。⑤諧振系統能量時間平均值表示：例如圖所示，一質點作簡諧振動，在一個周期內相繼通過距離為12cm的兩點A和B，歷時2s，并且在A，B兩點處具有相同的速率；再經過2s后，質點又從另一方向通過B點。AB解Ox質點運動的周期和振幅。求由題意可知，AB的中點為平衡位置，周期為T=

42=8

(s)設平衡位置為坐標原點，則設t=0時，質點位于平衡位置，則振動方程可寫為t=1時,質點位于B點,所以§4.1簡諧振動§4.2簡諧振動的實例分析1.單擺2.復擺3.扭擺4.弦振動5.U形管中液體無粘滯振蕩6.LC諧振電路（1）單擺以小球為研究對象，作受力分析.設角沿逆時針方向為正.P重力,T繩的拉力.沿切向方向的分量方程為（小角度時）令

結論:小角度擺動時，單擺的運動是諧振動.周期和角頻率為：（牛頓第二定律）§4.2簡諧振動的實例分析（2）復擺（物理擺）以物體為研究對象設角沿逆時針方向為正（剛體繞定軸轉動定律）小角度時令

結論:小角度擺動時，復擺的運動是諧振動.周期和角頻率為：§4.2簡諧振動的實例分析（3）扭擺以圓盤為研究對象在（扭轉角）不太大時，（剛體繞定軸轉動定律）令

結論:在扭轉角不太大時，扭擺的運動是諧振動.周期和角頻率為：金屬絲xyz（D為金屬絲的扭轉系數）圓盤的力矩為§4.2簡諧振動的實例分析（4）弦振動T為弦對振子的恒定張力，m為振子的質量。

動力學方程為：

諧振方程為：TxmT2l§4.2簡諧振動的實例分析設（5）U形管中液體無粘滯振蕩為管內液體密度，l為液體在管內的長度。

動力學方程為：

諧振方程為：lxx§4.2簡諧振動的實例分析（6）LC諧振電路C為電容，L為電感。

電容電量滿足的方程為：

諧振方程為：CLq§4.2簡諧振動的實例分析1.同方向同頻率諧振動的合成2.同方向不同頻率諧振動的合成拍3.相互垂直諧振動的合成§4.3諧振動的合成4.3.1同方向同頻率諧振動的合成1.解析法分振動:合振動:

結論：合振動x

仍是簡諧振動§4.3諧振動的合成2.旋轉矢量法分振動合振動

結論：與解析法求得的結果一致，方法直觀、簡捷.§4.3諧振動的合成

討論:(1)若兩分振動同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若兩分振動反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)當A1=A2時,A=0兩分振動相互加強，兩分振動相互減弱，當A1=A2時,A=2A1§4.3諧振動的合成例：兩個簡諧振動的振動方程分別為：求合成振動的振動方程解：同方向同頻率簡諧振動后仍為簡諧振動，根據合成公式，確定三個特征參量?！?.3諧振動的合成§4.3諧振動的合成例：將兩個振動方向、振幅、周期均相同的簡諧振動合成后，若合振幅和分振動的振幅相同，則這兩個分振動的相位差為多少？4.3.2同方向不同頻率諧振動的合成拍分振動:合振動:當時,A有最大值:當時，A有最小值:

結論：合振動x不再是簡諧振動,合振動振幅的頻率為§4.3諧振動的合成當21時,

2-12+1，令其中隨

t緩變隨t快變

振幅相同不同頻率的簡諧振動的合成合振動:分振動:

結論：合振動x

可看作是振幅緩變的簡諧振動?！?.3諧振動的合成xx2x1ttt

拍的現象:振動的振幅隨時間周期性變化的現象

OOO拍頻:

單位時間內合振動振幅強弱變化的次數即:拍原理的應用§4.3諧振動的合成例：為了測定音叉c的振動頻率，另選兩個和c頻率相近的音叉a和b，其頻率已知νa=500Hz,νb=495Hz,先使音叉a和c同時振動，測出每秒鐘聲響加強兩次，然后是音叉b和c同時振動，測出每秒鐘聲響加強3次，則音叉c的振動頻率§4.3諧振動的合成解：根據題意，a,b,c三個音叉之間出現拍現象。根據拍頻定義：所以4.3.3兩個相互垂直諧振動的合成李薩如圖1.兩個同頻率相互垂直的諧振動的合成分振動合運動

討論

當=2?1=k(k為整數)時:當=(2k+1)/2(k為整數)時：xy§4.3諧振動的合成=0(第一象限)=/2==3/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)§4.3諧振動的合成2.兩個不同頻率、相互垂直的諧振動的合成分振動

結論：(1)ω1、ω2

之比為整數時:合成運動仍是周期運動,軌跡是穩定的閉合曲線(李薩如圖)。(2)ω1、ω2

之比不為整數時:合成運動為非周期運動;運動的軌跡為永不閉合的。§4.3諧振動的合成::李薩如曲線1.阻尼振動2.受迫振動§4.4阻尼振動和受迫振動簡介4.4.1阻尼振動阻尼力振動的微分方程式中，ω02=k/m,

n=/(2

m)

(阻尼系數)

幾種阻尼振動模式小阻尼大阻尼臨界阻尼

Okxl0xm§4.4阻尼振動和受迫振動簡介1.小阻尼(n2<02)XtO§4.4阻尼振動和受迫振動簡介①

阻尼振動不是周期運動，稱其為

準周期運動。阻尼使振動變慢了②阻尼振幅減幅振動：阻尼系數越大振幅衰減越快。③可以證明，阻尼振動的能量不再是常數：能量也按指數規律衰減。反映了振蕩持續的時間的長短。系統能量在耗散，耗散速率與時刻t的能量成正比?！?.4阻尼振動和受迫振動簡介2.臨界阻尼(n2=02)在過阻尼和臨界阻尼時無振動3.大阻尼(n2>02)XtO大阻尼臨界阻尼§4.4阻尼振動和受迫振動簡介應用：①.各類機器，防振、減振，加大摩擦阻尼。各種弦樂器、聲源，希望它輻射足夠大的聲能，加大輻射阻尼。②.大型建筑彈簧門安裝消振油缸，使其工作于大阻尼狀態。③.指針式測量儀表（電流計，精密天平）采用臨界阻尼系統，快速逼近正確讀數或返回平衡位置。4.4.2受迫振動受力分析

彈性力阻尼力周期性驅動力受迫振動的微分方程l0x其解為§4.4阻尼振動和受迫振動簡介受迫振動微分方程的穩態解為:§4.4阻尼振動和受迫振動簡介t（s）ox（m）其中，振幅A

及受迫振動與干擾力之間的相位差分別為：

受迫振動特征①在驅動力開始作用時，可以看成兩個振動的合成。

減幅振動+簡諧振動②減幅振動逐漸減弱，以至于可以忽略不計。穩態簡諧振動③受迫振動達到簡諧振動，稱之為穩態。④從能量角度看：振動因驅動力作功而獲得能量，同時也因阻尼的作用而消耗能量?！?.4阻尼振動和受迫振動簡介1.位移共振(振幅取極值)（振幅共振曲線）共振頻率:共振振幅:2.速度共振(速度振幅取極值)共振頻率:共振速度振幅:（速度共振曲線）§4.4阻尼振動和受迫振動簡介4.4.3共振共振破壞：1940年,美塔科馬海峽大橋因微風引起共振斷塌§4.4阻尼振動和受迫振動簡介本章