通信原理第3章隨機過程為什么研究隨機過程？在通信系統的研究中，輸入信號、干擾、噪聲等都不是確知信號，而是隨機信號。這些隨機信號具有一定的統計規律性。隨機過程是隨機信號的數學模型，研究它的理論就是研究隨機信號的數學工具。第3章隨機過程3.1隨機過程的基本概念隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數描述。樣本函數i(t)：隨機過程的一次實現，對應一個隨機試驗結果，是一個時間過程。隨機過程

(t)

：所有樣本函數的集合。

(t)={1(t),2

(t),…,n(t)}

第3章隨機過程0t

(t)

1(t)

2(t)

n(t)…n臺性能與工作條件完全相同的接收機的輸出噪聲波形隨機過程與隨機變量

隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數i(t)都是一個確定的數值i(t1)，但是每個i(t1)都是不可預知的。這些不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}構成一個隨機變量，記為

(t1)。隨機過程可被看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。第3章隨機過程0t

(t)

1(t)

2(t)

n(t)…3.1.1隨機過程的分布函數設

(t)表示一個隨機過程，則它在任意時刻t1的值

(t1)是一個隨機變量，其統計特性可以用分布函數或概率密度函數來描述。隨機過程

(t)的一維分布：分布函數概率密度函數：

第3章隨機過程隨機過程

(t)

的二維分布分布函數概率密度函數：隨機過程

(t)

的n維分布分布函數概率密度函數第3章隨機過程3.1.2隨機過程的數字特征-均值、方差與相關函數均值（數學期望）： 隨機變量的均值：在任意給定時刻t1的取值

(t1)是一個隨機變量，其均值

f(x1,t1)－

(t1)的概率密度函數 隨機過程的均值：

(t)的均值是時間的確定函數，常記作a(t)，它表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心:第3章隨機過程

第3章隨機過程0t

(t)

1(t)

2(t)

n(t)…a(t)方差 方差常記為2(t)，它表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。因為 所以，方差等于均方值與均值平方之差。第3章隨機過程均方值均值平方協方差函數

式中a(t1)、a(t2)

－在t1和t2時刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)－

(t)的二維概率密度函數。第3章隨機過程自相關函數

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量。自相關函數和協方差函數之間的關系 若a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)互相關函數 式中(t)和(t)分別表示兩個隨機過程。第3章隨機過程3.2平穩隨機過程3.2.1平穩隨機過程的定義定義： 若一個隨機過程(t)的任意有限維概率密度函數與時間起點無關，即對于任意正整數n和所有實數，有 則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩隨機過程，簡稱嚴平穩隨機過程。

第3章隨機過程一維與二維概率密度函數性質： 嚴平穩隨機過程的定義表明，嚴平穩隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變。一維概率密度函數與時間t無關：二維概率密度函數只與時間間隔

=t2–t1有關：第3章隨機過程均值與自相關函數的數字特征：

可見，（1）均值與時間t無關，為常數a

； （2）自相關函數只與時間間隔有關。把同時滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩隨機過程。嚴平穩隨機過程必定是廣義平穩的，反之不一定成立。

第3章隨機過程研究廣義平穩的意義在通信系統中所遇到的信號及噪聲，大多數可視為廣義平穩的隨機過程。因此，研究廣義平穩隨機過程有著很大的實際意義，后面討論隨機過程均假定平穩且是廣義平穩的。第3章隨機過程3.2.2各態歷經性“各態歷經”的含義

隨機過程中的任一次實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態。因此，在求解各種統計平均（均值或自相關函數等）時，無需作無限多次的觀察，只要獲得一次觀察，用一次實現的“時間平均”值代替整個隨機過程的“統計平均”值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。設：x(t)是平穩過程(t)的任意一個樣本，則其時間均值和時間自相關函數分別定義為：第3章隨機過程 如果平穩過程使下式成立

則稱該平穩過程具有各態歷經性。各態歷經與平穩的關系具有各態歷經的隨機過程一定是平穩過程，反之不一定成立。研究各態歷經的意義在通信系統中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態歷經條件。第3章隨機過程3.2.3平穩過程的自相關函數平穩過程自相關函數的定義：平穩過程自相關函數的性質

—的偶函數

—R()的上界

—(t)的平均功率

—(t)的直流功率

—(t)的交流功率第3章隨機過程3.2.4平穩過程的功率譜密度定義：對于任意的確知功率信號f(t)，它的功率譜密度定義為式中，FT(f)是f(t)的截短函數fT

(t)所對應的頻譜函數第3章隨機過程對于平穩隨機過程(t)

，可以把f(t)當作是(t)的一個樣本。隨機過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的功率譜的統計平均，故(t)的功率譜密度可以定義為功率譜密度的計算維納-辛欽關系

平穩隨機過程的自相關函數與其功率譜密度是一對傅里葉變換。即有第3章隨機過程在維納-辛欽關系的基礎上，我們可以得到以下結論：對功率譜密度進行積分，可得平穩過程的總功率：

第3章隨機過程3.3高斯隨機過程（正態隨機過程）高斯隨機過程的定義如果隨機過程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態分布，則稱它為正態過程或高斯過程。

n維正態概率密度函數表示式為： 式中第3章隨機過程均值方差歸一化協方差矩陣|B|－歸一化協方差矩陣的行列式，即bjk

－為歸一化協方差函數，即|B|jk

－行列式|B|中元素bjk的余因子（代數余子式），即第3章隨機過程高斯隨機過程的重要性質高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協方差。廣義平穩的高斯過程也是嚴平穩的。如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，那么它們也是統計獨立的。高斯過程經過線性變換后仍是高斯過程。第3章隨機過程高斯隨機變量定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數為

式中a

－均值

2

－方差

第3章隨機過程f(x)0ax正態分布函數

正態分布函數值無法用閉合形式計算，通常利用其他特殊函數，用查表的方法求出。誤差函數erf(x)正態分布函數可表示為

第3章隨機過程第3章隨機過程誤差函數曲線圖互補誤差函數erfc(x) 當x>2時，正態分布函數可表示為第3章隨機過程第3章隨機過程互補誤差函數曲線圖Q函數定義：Q函數和erfc函數的關系：正態分布函數可表示為第3章隨機過程第3章隨機過程3.4平穩隨機過程通過線性系統線性系統若一線性系統對應于輸入ui(t)、vi(t)的系統輸出分別為uo(t)、vo(t)，則輸入為aui(t)+bvi(t)（a、b為常數）時，系統輸出應為auo(t)+bvo(t)。系統特性單位沖激響應h(t)：系統在輸入為單位沖激信號d(t)時的輸出（響應）。頻率響應H(f)：沖激響應h(t)的傅里葉變換。確知信號通過線性系統：令vi(t)－輸入信號，h(t)－沖激響應，則系統輸出vo(t)為或卷積對應的傅里葉變換關系：vo(t)=vi(t)*h(t)

Vo(f)=Vi(f)H(f)隨機信號通過線性系統：假設：線性系統輸入平穩隨機過程i(t)，

a

－均值，

Ri()－自相關函數，

Pi()－功率譜密度；求輸出過程o(t)的統計特性均值自相關函數功率譜密度第3章隨機過程結論輸出過程o(t)的均值

H(0)：線性系統在f=0處的頻率響應。輸出過程o(t)的自相關函數由均值與自相關函數的性質可知:若線性系統的輸入是平穩的，則輸出也是平穩的。輸出過程o(t)的功率譜密度輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統頻率響應模值的平方。第3章隨機過程時間間隔

的函數常數3.5窄帶隨機過程若隨機過程(t)的功率譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f內，即滿足（1）f<<fc，（2）fc

遠離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機過程。大多數通信系統為窄帶帶通型，通過此系統的信號與噪聲必為窄帶隨機過程第3章隨機過程f0P(f)ffc-fc(a)功率譜密度一般表示式式中，a(t)－隨機包絡

(t)－隨機相位

c

－中心角頻率

波形特征：a

(t)和

(t)隨機變化，且比載波cosct的變化速度要緩慢很多。x(t)t0隨機變化的包絡頻率近似為fc(b)波形第3章隨機過程同相與正交表示式上式展開得即式中c(t)=a(t)cosj(t)

－(t)的同相分量s(t)=a(t)sinj(t)

－(t)的正交分量第3章隨機過程平穩窄帶高斯過程的統計特性窄帶高斯噪聲

假定(t)是均值為0，方差為2的窄帶平穩高斯過程3.5.1同相分量c(t)和正交分量s(t)的統計特性同相分量c(t)和正交分量s(t