工程力學第五章桿件基本變形橫截面上的應力1第五章桿件基本變形橫截面上的應力§5-1拉伸與壓縮變形橫截面上的應力

§5-3純彎曲橫截面上的應力§5-2扭轉變形橫截面上的應力§5-4橫力彎曲橫截面上的應力2變形現象變形現象：平面假設平面假設：橫截面上只有，無。FN靜力學關系橫線在變形前后均為直線，且都垂直于桿的軸線，只是橫線間距增大，縱線間距減小；變形前的橫截面，變形后仍為平面，僅沿軸線產生了相對平移，并與桿的軸線垂直。§5-1拉伸與壓縮變形橫截面上的應力3a.變形幾何條件：任意兩個橫截面之間的所有縱向線段的伸長(縮短)量相同，即變形相同。b.物理關系：變形相等，各點受力相等，(<P)，各點應力相等。c.靜力學關系：該式為橫截面上的正應力s計算公式。正應力s和軸力FN同號。即拉應力為正，壓應力為負。4討論：b.變截面桿：c.在集中力作用點的附近區域（1~1.5倍的橫向尺寸。

），應力不是均勻分布，不能用上式計算應力；但越過這一區域則符合實際情況。d.壓縮時的壓應力計算仍可用此式,所得為壓應力。一般規定拉應力為正，壓應力為負。a.使用條件：，與A成反比），圣維南原理5常見的油孔、溝槽等均有構件尺寸突變，突變處將產生應力集中現象。1、形狀尺寸的影響：2、材料的影響：應力集中對塑性材料的影響不大；應力集中對脆性材料的影響嚴重，應特別注意。稱為理論應力集中因數尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應力集中的程度越嚴重。6ABCDFFF討論題：圖示階梯桿AD受三個集中力F作用，設AB，BC，CD段的橫截面面積分別為A，2A，3A，則三段桿的橫截面上()。軸力不等，應力相等；(b)軸力相等，應力不等；(c)軸力和應力都相等；(d)軸力和應力都不等。a7例5-1、圖示結構，試求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。解：1、計算各桿件的軸力用截面法取與節點B相連的部分為研究對象ABCF1245°45°FN1FN2xy82、計算各桿件的應力9推斷應力-應變關系§5-2

扭轉變形橫截面上的應力一、圓軸扭轉橫截面上的應力表面變形情況橫截面的變形情況(幾何關系)橫截面上應變的變化規律橫截面上應力變化規律(物理關系)內力與變形的關系橫截面上應力的計算公式(靜力平衡)10圓軸扭轉變形11表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個角度g

。平面假設——等直圓桿扭轉時橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有切應力。1、幾何關系12橫截面上一點處的切應變隨點的位置的變化規律：即13

式中——相對扭轉角j沿桿長的變化率，常用j'

來表示，對于給定的橫截面為常量。可見，在橫截面的同一半徑

r

的圓周上各點處的切應變gr

均相同；gr與r

成正比，且發生在與半徑垂直的平面內。切應變垂直于半徑。142、物理關系:這表明，橫截面上各點的剪應力與該點到截面中心的距離成正比，其方向垂直于半徑。即剪應力沿截面的半徑呈線性分布。由上述兩方程可得：...

(1)tg153、靜力平衡其中

稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是橫截面的幾何性質。從而得等直圓桿在線彈性范圍內扭轉時，橫截面上任一點處切應力計算公式以

代入上式得：rOdAdArrTtt16式中Wt稱為抗扭截面系數(模量)，其單位為m3。橫截面周邊各點即處的切應力最大,為：17二、極慣性矩

IP

與抗扭截面模量

Wt

的常用值：(1)實心圓截面：(2)空心圓截面：其中，為內外徑之比。dD18(三)薄壁圓截面Or三、強度計算橫截面上最大切應力：所有橫截面上最大應力：強度條件：19ABCD12345例5－2、圖示為某組合機床主軸箱第4軸示意圖。試求截面Ⅱ上距軸線40mm處的點的剪應力及最大剪應力。ⅡⅡMA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmABCD4MAMBⅡⅡMCMD20解：1、內力分析4.789.566.37xT(kNm)ABCD4MAMBⅡⅡMCMD1133+_

由扭矩圖得知T2=9.56kN.m危險橫截面在AC段，2、應力計算MA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmTmax=9.56kN.m21xdydzdxyz二、切應力互等定理ττ在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應力，其方向于y軸平行.

可知，兩側面的內力元素dydz大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(dydz)dx22要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數量相等而轉向相反，從而可得(dydz)dxxdydzdxyzττ剪應力互等定理：在相互垂直的兩個平面上，剪應力成對存在且數值相等，兩者都垂直于這兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離該交線。23梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－－純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－－橫力彎曲§5-3純彎曲橫截面上的應力FSxxMFaFaF+FFACDBFFFF一、基本概念24凹入一側纖維縮短凸出一側纖維伸長中間一層纖維長度不變－－中性層中間層與橫截面的交線－－中性軸縱向對稱面中性層中性軸梁的彎曲實驗25

橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變為曲線，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發生轉動，距中性軸等高處，變形相等。

橫截面上只有正應力。

單向受力假設：縱向纖維互不擠壓，只受單向拉壓。26二、正應力公式推導abcdABOO1xyA1B1O1Odqrxy))))1、幾何關系27

2、物理關系

縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單向應力狀態。??MyzOx直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比應力分布規律283、靜力關系中性層的曲率半徑r中性軸的位置待解決問題MyzOx橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系這一力系簡化，得到三個內力分量FNMzMydAzysdA(1)(2)(3)29將應力表達式代入(1)式，得將應力表達式代入(2)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足(1)(2)30純彎曲時橫截面上正應力的計算公式:將應力表達式代入(3)式，得(3)MM為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩31討論

MM

(1)應用公式時,一般將M,y

以絕對值代入.根據梁變形的情況直接判斷

的正負號.以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應力為拉應力(

為正號).凹入邊的應力為壓應力(為負號).(2)最大正應力發生在橫截面上離中性軸最遠的點處引用記號——抗彎截面系數(3)當中性軸為對稱軸時則公式改寫為32常見截面的抗彎截面系數矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdy33(4)對于中性軸不是對稱軸的橫截面zyM應分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式求得相應的最大正應力34§5-4橫力彎曲時橫截面上的應力彈性力學精確分析表明，當跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應力一、橫力彎曲正應力彎曲正應力ABlFFSxFxMFl35彎曲正應力公式適用范圍彎曲正應力：純彎曲或細長梁的橫力彎曲橫截面慣性積Iyz=0彈性變形階段抗拉與抗壓的彈性模量相同36例5-3、矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，yk=50mm，[s]=10MPa，求危險截面上K點的正應力sk，及最大正應力。ABlFAFB解：1、外力分析zbKyKh2、內力分析(M圖)：xMl/2+危險截面在l/2處3)應力分析：37例5－4、槽形截面鑄鐵外伸梁，已知：q=10kN/m，F=20kN，Iz=4.0×107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危險截面最大應力。zyy1y2（中性軸）2mqAE2m2mFBD解：2、內力分析(M圖)可能的危險截面B、D。xMO20kN.m10kN.m+_1、外力分析FBFE38可能的危險截面B、D。B截面D截面3、應力分析39二、橫力彎曲切（剪）應力1、矩形截面梁的切應力切應力t的兩個假設：FSxABmm1nn1dx1）t//FS,方向相同