張貴杰Tel-Mail：zhguijie@河北聯合大學金屬材料及加工工程系金屬塑性變形理論

第21講2/4/20231第十章應力狀態分析主要內容MainContent應力狀態基本概念斜面上任一點應力狀態分析求和約定和應力張量主應力及主切應力球應力及偏差應力2/4/2023210.2斜面上任一點應力狀態分析要想了解一點的應力狀態必須知道過該點任意截面上的應力分布。但是過該點的截面有無窮多個，我們沒有辦法一一列舉。為此必須采用其他方式進行描述。2/4/20233一點的應力向量不僅取決于該點的位置，還取決于截面的方位。2/4/20234通過變形體內任意點垂直坐標軸截取三個相互垂直的截面和與坐標軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面構成一個四面體素2/4/20235zxyosxs

ysztxytyztyxtxztzytzxSnnSnxSnySnzsntnBACdsExAoE2009-11-11-32/4/20236該微分斜面面積為ds，外法線方向的方向余弦為：cos(n,x)=l、cos(n,y)=m、cos(n,z)=n

三個垂直坐標面的面積可以表示為：

xzagn方向余弦有：2/4/20237由于變形體處于平衡狀態，對于任意體素都有三個方向的受力平衡，即

在x方向：在y方向：在z方向：2/4/20238整理后可得方程用矩陣表示為（※）2/4/20239把微分斜面上的合應力Sn，向法線n方向投影，便可求出微分斜面上的正應力，或將Snx、Sny、Snz分別投影到法線n上，也同樣得到微分斜面上的正應力，即將Snx、Sny、Snz帶入上式得微分面上的剪應力為2/4/202310若坐標軸為主軸，則與坐標軸垂直的截面上的切應力為零，則由可得而所以2/4/202311綜上可知，變形體內任意點的應力狀態可以通過該點且平行于坐標面的三個微分面上的九個應力分量來表示?；蛘哒f，通過變形體內任意點垂直于坐標軸所截取的三個相互垂直的微分面上各應力已知時，便可確定該點的應力狀態。

2/4/202312應力邊界條件方程如果該四面體素的斜面恰好為變形體的外表面上的微面素，并假定此面素單位面積上的作用力在坐標軸方向的分力分別為px、py、pz，則2/4/202313應力邊界條件方程的物理意義：建立了過外表面上任意點，單位表面力與過該點垂直坐標軸截面上應力分量的關系。2/4/202314課堂練習已知變形體某點應力狀態如圖所示，當斜面法線方向與三個坐標軸夾角余弦時，求該斜面上的全應力S，全應力在坐標軸上的分量Sx、Sy、Sz，，及斜面上的法線應力sn和切應力tn。2/4/202315解：首先確定各應力分量sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、tyz=tzy=0（單位MPa）。由2/4/2023162/4/202317應力坐標變換公式其中li、mi、ni為新坐標軸在原坐標系下的方向余弦。xyzx'l1m1n1y'l2m2n2z'l3m3n32/4/202318yx'y'uuxuyux'u