學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE14學必求其心得，業必貴于專精PAGE1.2回歸分析（一）明目標、知重點1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關關系。2.能通過相關系數判斷兩個變量間的線性相關程度。1.回歸直線方程在回歸直線方程eq\o（y,\s\up6(^)）＝eq\o(a，\s\up6（^）)＋eq\o(b,\s\up6（^）)x中，eq\o(b,\s\up6（^)）＝eq\f(\o(∑,\s\up6（n）,\s\do4(i＝1))xi－\x\to（x)yi－\x\to(y）,\o(∑,\s\up6(n）,\s\do4（i＝1）)xi－\x\to（x)2）＝eq\f(\o（∑，\s\up6（n),\s\do4（i＝1）)xiyi－n\x\to(x）\x\to(y),\o(∑，\s\up6（n），\s\do4(i＝1)）x\o\al（2，i)－n\x\to(x)2)，eq\o（a,\s\up6(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6(^））eq\x\to（x).其中eq\x\to（x）＝eq\f（1,n）eq\o（∑，\s\up6(n)，\s\do4(i＝1)）xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n）eq\o(∑，\s\up6（n）,\s\do4（i＝1））yi。（eq\x\to(x），eq\x\to(y))稱為樣本點的中心，回歸直線過樣本點的中心.2.相關系數(1)對于變量x與y隨機抽到的n對數據（x1，y1)，（x2，y2），…，(xn,yn)，檢測統計量是樣本相關系數r＝eq\f（\o(∑，\s\up6(n），\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to（y)，\r(\o(∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1)）xi－\x\to(x）2\o（∑，\s\up6（n）,\s\do4（i＝1)）yi－\x\to（y）2）)＝eq\f(\o（∑，\s\up6（n）,\s\do4(i＝1）)xiyi－n\x\to（x）\x\to(y）,\r（\o（∑，\s\up6(n），\s\do4（i＝1))x\o\al（2，i)－n\x\to(x）2\o（∑，\s\up6(n),\s\do4(i＝1）)y\o\al(2,i)－n\x\to(y）2）).（2)相關系數r的取值范圍是[－1，1］，|r|值越大，變量之間的線性相關程度越高；|r|值越接近0,變量之間的線性相關程度越低。當|r｜>r0。05時,表明有95％的把握認為兩個變量之間有線性相關關系。［情境導學］“名師出高徒”這句諺語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學生嗎？這兩者之間是否有關？探究點一回歸直線方程思考1兩個變量之間的關系分幾類？答分兩類：①函數關系，②相關關系。函數關系是一種確定性關系，而相關關系是一種非確定性關系。上面所提的“名師"與“高徒”之間的關系就是相關關系。思考2什么叫回歸分析？答回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法。思考3對具有線性相關關系的兩個變量進行回歸分析有哪幾個步驟？答基本步驟為畫散點圖，求回歸直線方程,用回歸直線方程進行預報.例1若從某大學中隨機選取8名女大學生,其身高和體重數據如下表所示：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據女大學生的身高預報體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。解(1）畫散點圖選取身高為自變量x，體重為因變量y，畫出散點圖，展示兩個變量之間的關系，并判斷二者是否具有線性關系。由散點圖可以發現,樣本點呈條狀分布,身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用回歸直線y＝bx＋a來近似刻畫它們之間的關系。（2)建立回歸方程由計算器可得eq\o（b,\s\up6（^））＝0.849，eq\o(a,\s\up6（^）)＝－85.712。于是得到回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^）)＝0。849x－85.712.（3）預報和決策當x＝172時，eq\o(y，\s\up6(^）)＝0.849×172－85。712＝60.316(kg)。即一名身高為172cm的女大學生的體重預報值為60.316kg。反思與感悟在使用回歸直線方程進行預報時要注意：(1）回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體；(2）我們所建立的回歸直線方程一般都有時間性;(3）樣本取值的范圍會影響回歸直線方程的適用范圍；(4)不能期望回歸直線方程得到的預報值就是預報變量的精確值。跟蹤訓練1某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，得下表數據：x681012y2356（1）請畫出上表數據的散點圖（要求：點要描粗)；(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a，\s\up6（^））;（3)試根據求出的回歸直線方程，預測記憶力為9的同學的判斷力。解（1）如圖：(2）eq\o(∑,\s\up6（n），\s\do4(i＝1）)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f（6＋8＋10＋12，4）＝9，eq\x\to(y）＝eq\f（2＋3＋5＋6，4）＝4，eq\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4(i＝1）)xeq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f（158－4×9×4，344－4×92）＝eq\f（14,20）＝0.7，eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6（^）)eq\x\to（x)＝4－0。7×9＝－2.3，故線性回歸方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝0.7x－2。3。（3)由(2）中回歸直線方程,當x＝9時，eq\o（y，\s\up6(^)）＝0。7×9－2。3＝4，預測記憶力為9的同學的判斷力約為4。探究點二相關性檢驗思考1給出n對數據,按照公式求出的回歸直線方程，是否一定能反映這組成對數據的變化規律？答如果數據散點圖中的點都大致分布在這條直線附近,這條直線就能反映這組成對數據的變化規律，否則求出的方程沒有實際意義。思考2怎樣定量確定兩個變量的相關關系？答可以通過計算相關系數r來確定,若|r｜〉r0。05,可以有95％的把握認為兩個變量具有線性相關關系；若｜r|≤r0。05,則沒有理由認為兩個變量具有線性相關關系，此時尋找回歸直線方程毫無意義。例2維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標“縮醛化度”y來衡量，這個指標越高,耐熱水性能也越好,而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素,在生產中常用甲醛濃度x（g/L)去控制這一指標，為此必須找出它們之間的關系，現安排一批實驗，獲得如下數據:甲醛濃度(g/L)18202224262830縮醛化度(克分子％)26.8628.3528。7528.8729.7530。0030.36(1)畫散點圖；（2)求回歸直線方程;（3）求相關系數r，并進行相關性檢驗。解(1）散點圖如下圖：（2）可以看出，兩變量之間有近似的線性相關關系，下面用列表的方法計算eq\o(a,\s\up6（^）)，eq\o（b,\s\up6（^））。ixiyixi2xiyi11826。86324483.4822028.3540056732228。75484632。542428。87576692。8852629。75676773。562830.0078484073030。36900910。80∑168202。9441444900.16eq\x\to(x）＝eq\f（168,7)＝24,eq\x\to(y）＝eq\f（202。94，7),eq\o（b,\s\up6(^）)＝eq\f（\o（∑，\s\up6（7),\s\do4(i＝1））xiyi－7\x\to（x）\x\to（y),\o(∑，\s\up6(7),\s\do4（i＝1))xi2－7\x\to（x)2）＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202。94,7）,4144－7×242）≈0。2643，eq\o(a，\s\up6（^)）＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝eq\f（202.94，7）－0。2643×24≈22.648，∴回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6（^）)＝22。648＋0。2643x.(3）eq\o(∑,\s\up6(7）,\s\do4（i＝1))yi2≈5892，r＝eq\f(\o（∑，\s\up6(7),\s\do4(i＝1）)xiyi－7\x\to（x）\x\to(y），\r（\o（∑,\s\up6(7），\s\do4（i＝1）)xi2－7\x\to（x)2\o(∑,\s\up6(7），\s\do4（i＝1））yi2－7\x\to(y）2)）＝eq\f（4900。16－7×24×\f（202.94,7),\r（4144－7×242×[5892－7×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(202。94,7）))2]))≈0.96.∵r＝0.96〉r0.05＝0.754?！嘤?5％的把握認為“甲醛濃度與縮醛化度有關系”，求得的回歸直線方程有意義.反思與感悟根據已知數據求得回歸直線方程后，可以利用相關系數和臨界值r0。05比較，進行相關性檢驗.跟蹤訓練2為了研究3月下旬的平均氣溫(x）與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(y)的關系，某地區觀察了2007年至2012年的情況,得到了下面的數據：年份200720082009201020112012x（℃）24.429。632.928.730.328。9y（日)19611018(1）對變量x、y進行相關性檢驗；（2）據氣象預測，該地區在2013年3月下旬平均氣溫為27℃,試估計2013年4月化蛹高峰日為哪天.解由已知條件可得下表:i123456xi24。429。632。928.730.328.9yi19611018eq\x\to（x）≈29。13，eq\x\to(y）＝7。5,eq\i\su（i＝1,6，x）i2＝5130。92，eq\i\su(i＝1,6，y)i2＝563，eq\i\su（i＝1,6,x)iyi＝1222.6（1）r＝eq\f(\i\su(i＝1，6，x)iyi－6\x\to(x)\x\to(y)，\r(\i\su（i＝1,6,x）i2－6\x\to（x)2\i\su(i＝1，6，y)i2－6\x\to(y）2）)≈－0。9341.查表知：r0。05＝0。811.由|r|>r0。05，可知變量y和x存在線性相關關系.（2)eq\o(b,\s\up6(^））＝eq\f（1222。6－6×29。13×7。5,5130.92－6×29。132)≈－2。23,eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to（y）－eq\o（b，\s\up6（^）)eq\x\to（x）≈72.46。所以回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6（^))＝－2.23x＋72.46。當x＝27時，eq\o(y，\s\up6(^）)＝－2.23×27＋72。46≈12.據此,可估計該地區2013年4月12日為化蛹高峰日.1.下列各組變量之間具有線性相關關系的是()A.出租車費與行駛的里程B.學習成績與學生身高C.身高與體重D.鐵的體積與質量答案C2。對變量y和x進行相關性檢驗，已知n為數據的對數，r是相關系數，且已知①n＝3,r＝0.9950;②n＝7，r＝0。9533；③n＝15,r＝0.3012；④n＝17，r＝0。4991。則變量y和x具有線性相關關系的是(）A。①和② B。①和③C。②和④ D.③和④答案C解析①n＝3時，r0.05＝0。997，所以|r|〈r0。05，我們沒有理由拒絕原來的假設，這時尋找回歸直線方程是毫無意義的.②n＝7時，r0.05＝0.754，所以｜r|>r0。05，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關關系。③n＝15時，r0.05＝0。514,所以|r｜<r0.05，我們沒有理由拒絕原來的假設，這時尋找回歸直線方程是毫無意義的.④n＝17時，r0。05＝0.482，所以｜r｜〉r0。05,表明有95％的把握認為x與y之間具有線性相關關系.所以②和④滿足題意.3。某商品銷售量y(件)與銷售價格x（元/件）負相關，則其回歸直線方程可能是（）A。eq\o(y,\s\up6(^））＝－10