學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE18學必求其心得，業必貴于專精PAGE5．1估計總體的分布5．2估計總體的數字特征[學習目標]1.學會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖.2.會用頻率分布表或頻率分布直方圖估計總體分布,并作出合理解釋.3。在解決問題過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，認識統計的實際作用，初步經歷收集數據到統計數據的全過程．知識點一頻率分布表與頻率分布直方圖1．用樣本估計總體的兩種情況(1)用樣本的頻率分布估計總體的分布．（2）用樣本的數字特征估計總體的數字特征．2．作頻率分布直方圖的步驟（1)求極差：即一組數據中最大值和最小值的差;（2）決定組距與組數：將數據分組時,組數應力求合適，以使數據的分布規律能較清楚地呈現出來．這時應注意：①一般樣本容量越大，所分組數越多；②為方便起見，組距的選擇應力求“取整"；③當樣本容量不超過120時,按照數據的多少,通常分成5～12組．（3）將數據分組：按組距將數據分組，分組時,各組均為左閉右開區間，最后一組是閉區間．(4）列頻率分布表：一般分四列：分組、頻數累計、頻數、頻率，最后一行是合計．其中頻數合計應是樣本容量，頻率合計是1.(5）畫頻率分布直方圖：畫圖時,應以橫軸表示分組，縱軸表示頻率/組距．其相應組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積．即每個小長方形的面積＝組距×eq\f（頻率,組距)＝頻率．思考為什么要對樣本數據進行分組？答不分組很難看出樣本中的數字所包含的信息，分組后，計算出頻率,從而估計總體的分布特征．知識點二頻率折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區間．從所加的左邊區間的中點開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區間的中點，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．隨著樣本量的增大，所劃分的區間數也可以隨之增多，而每個區間的長度則會相應隨之減小，相應的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線．題型一頻率分布直方圖的繪制例1調查某校高三年級男生的身高，隨機抽取40名高三男生,實測身高數據(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161（1）作出頻率分布表；（2)畫出頻率分布直方圖．解(1）最低身高151cm,最高身高180cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；確定組距為4，組數為8，列表如下:分組頻數頻率［149.5，153。5)10.025［153。5，157。5）30。075［157。5,161。5）60。15［161.5,165。5）90.225[165。5,169.5）140.35［169。5,173.5）30。075［173.5，177.5）30.075[177.5,181.5]10。025合計401（2)頻率分布直方圖如圖所示．反思與感悟1.組數的決定方法是：設數據總數目為n，一般地,當n≤50，則分為5~8組；當50≤n≤120時，則分為8～12組較為合適．2．分點數的決定方法是：若數據為整數，則分點數據減去0.5；若數據是小數點后一位的數，則分點減去0.05,以此類推．3．畫頻率分布直方圖小長方形高的方法是:假設頻數為1的小長方形的高為h，則頻數為k的小長方形高為kh.跟蹤訓練1美國歷屆總統中,就任時年紀最小的是羅斯福,他于1901年就任,當時年僅42歲；就任時年紀最大的是里根,他于1981年就任，當時69歲．下面按時間順序（從1789年的華盛頓到2009年的奧巴馬，共44任）給出了歷屆美國總統就任時的年齡：57，61，57，57,58，57,61，54，68，51,49,64，50，48,65,52，56，46，54,49，51,47,55,55，54，42,51,56,55，51，54，51,60,62,43，55,56，61，52，69，64,46，54,48（1）將數據進行適當的分組，并畫出相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖．（2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統就任時年齡的分布情況．解(1）以4為組距，列表如下：分組頻數頻率[41.5，45。5）20.0455［45.5,49.5）70。1591[49.5,53.5）80.1818[53.5，57。5）160.3636［57。5，61.5）50。1136［61。5,65.5)40。0909[65.5，69。5］20.0455合計441。00（2）從頻率分布表中可以看出60％左右的美國總統就任時的年齡在50歲至60歲之間，45歲以下以及65歲以上就任的總統所占的比例相對較小．題型二頻率分布直方圖的應用例2為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試,將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示），圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12。(1）第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少？（2)若次數在110以上(含110次）為達標，則該校全體高一年級學生的達標率約是多少？解（1）頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數據落在各小組內的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f(4，2＋4＋17＋15＋9＋3）＝0.08。因為第二小組的頻率＝eq\f(第二小組的頻數，樣本容量），所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數，第二小組的頻率）＝eq\f（12,0.08)＝150.（2)由直方圖可估計該校全體高一年級學生的達標率約為eq\f(17＋15＋9＋3，2＋4＋17＋15＋9＋3)×100％＝88％.反思與感悟1。頻率分布直方圖的性質:(1)因為小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距）＝頻率,所以各小矩形的面積表示相應各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大?。?2）在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1。（3）eq\f(頻數，相應的頻率)＝樣本容量．2．頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內的頻率，可近似地估計總體在這一范圍內的可能性．跟蹤訓練2如圖所示是總體的一個樣本頻率分布直方圖，且在[15，18）內頻數為8。（1)求樣本在［15,18）內的頻率；(2)求樣本容量；(3)若在［12,15)內的小矩形面積為0.06，求在[18,33)內的頻數．解由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.(1)由樣本頻率分布直方圖得樣本在［15，18）內的頻率等于eq\f(4,75）×3＝eq\f（4,25)。(2)樣本在[15，18)內頻數為8，由（1）可知,樣本容量為eq\f（8,\f(4，25））＝8×eq\f（25,4)＝50。（3）∵在[12，15)內的小矩形面積為0。06，∴樣本在[12,15）內的頻率為0.06，故樣本在[15，33）內的頻數為50×（1－0。06)＝47,又在[15,18）內頻數為8，故在[18,33）內的頻數為47－8＝39.題型三頻率分布與數字特征的綜合應用例3已知一組數據：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1）填寫下面的頻率分布表：分組頻數頻率［121，123）[123,125）［125，127)［127，129）［129，131]合計（2)作出頻率分布直方圖;(3)根據頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數據的眾數、中位數和平均數．解（1)分組頻數頻率[121,123)20。1［123,125）30。15[125，127）80。4[127,129）40。2［129,131］30.15合計201（2）（3)在[125,127）中的數據最多，取這個區間的中點值作為眾數的近似值，得眾數126，事實上,眾數的精確值為125.（2)圖中虛線對應的數據是125＋2×eq\f(5，8)＝126。25，事實上中位數為125。5.使用“組中值"求平均數：eq\x\to(x）＝122×0.1＋124×0.15＋126×0。4＋128×0。2＋130×0.15＝126。3，平均數的精確值為eq\x\to（x）＝125。75.反思與感悟1。利用頻率分布直方圖估計數字特征:(1)眾數是最高的矩形的底邊的中點；（2）中位數左右兩側小矩形的面積相等；(3)平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．2．利用直方圖求眾數、中位數、平均數均為估計值,與實際數據可能不一致．跟蹤訓練3某中學舉行電腦知識競賽，現將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0。40、0。15、0。10、0。05。求:（1)高一參賽學生成績的眾數、中位數．(2）高一參賽學生的平均成績．解（1）由圖可知眾數為65，又∵第一個小矩形的面積為0。3，∴設中位數為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0。5，得x＝5，∴中位數為60＋5＝65。（2)依題意,eq\x\to(x)＝55×0.3＋65×0。4＋75×0.15＋85×0。1＋95×0.05＝67，∴平均成績約為67分．1．用樣本頻率分布估計總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是(）A．總體容量越大，估計越精確B．總體容量越小，估計越精確C．樣本容量越大，估計越精確D．樣本容量越小,估計越精確答案C解析由用樣本估計總體的性質可得．2．頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于(）A．組距 B．頻率C．組數 D．頻數答案B解析根據小矩形的寬及高的意義，可知小矩形的面積為一組樣本數據的頻率．3．某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是［17。5，30］,樣本數據分組為[17.5,20），[20，22.5），[22.5，25），［25，27.5），[27。5，30］．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是(）A．56 B．60C．120 D．140答案D解析設所求人數為N,則N＝2.5×（0.16＋0.08＋0.04）×200＝140，故選D.4．某中學舉辦電腦知識競賽，滿分為100分，80分以上為優秀(含80分）．現將高一兩個班參賽學生的成績進行整理后分成5組,繪制成頻率分布直方圖如下圖所示．已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0。30、0.15、0.10、0。05，而第二小組的頻數是40,則參賽的人數是________，成績優秀的頻率是________．答案1000。15解析設參賽的人數為n,第二小組的頻率為1－(0.30＋0。15＋0.10＋0。05)＝0.4，依題意eq\f（40，n）＝0.4,∴n＝100，優秀的頻率是0.10＋0.05＝0。15.1。頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大