系統的數學模型是描述系統輸入、輸出變量以及內部各個變量之間關系的數學表達式。描述各變量動態關系的表達式稱為動態數學模型。常用的數學模型為微分方程。第二章控制系統的數學模型時域分析法的基礎，以拉普拉斯變換為工具1第一節控制系統的微分方程第三節傳遞函數第四節動態結構圖第二章自動控制系統的數學模型第二節數學模型的線性化2第一節控制系統的微分方程一、建立微分方程的一般步驟二、常見環節和系統的微分方程的建立三、線性微分方程式的求解第二章自動控制系統的數學模型3建立系統數學模型，一般采用解析法和實驗法。解析法:依據系統及元部件各變量之間所遵循的物理、化學定律列寫出變量間的數學表達式，并經實驗驗證，從而建立系統的數學模型。

實驗法:對系統或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據系統或元件的輸出響應，經過數據處理而辨識出系統的數學模型。4控制系統微分方程的建立首先了解系統的組成、工作原理，然后根據支配各組成元件的物理定律，列寫整個系統輸入變量與輸出變量之間的動態關系式，即微分方程。列寫微分方程的一般步驟：①分析系統和各個元件的工作原理，找出各物理量（變量）之間的關系，確定系統和各元件的輸入、輸出變量。5②從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據各變量所遵循的物理（或化學）定律，列寫動態關系式，一般為一個微分方程組。③對已建立的原始方程進行處理，忽略次要因素，簡化原始方程，如對原始方程進行線性化等。④消除中間變量，寫出關于輸入、輸出變量之間關系的數學表達式，即微分方程。6根據電路理論中的基爾霍夫定理，建立RC無源網絡的微分方程。輸入量為電壓ur(t),輸出量為電壓uc(t)i(t)為流經電阻R和電容C的電流，消去中間變量i(t)7令RC=T，則上式又可寫為式中：T稱為無源網絡的時間常數,單位為秒(s)通常把輸出變量寫在等式的左邊,輸入變量寫在等式的右邊。8系統微分方程由輸出量各階導數和輸入量各階導數以及系統的一些參數構成。第一節控制系統的微分方程系統微分方程的一般表達式為：+dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1b1+···dmr(t)+dr(t)dtbm-1anc(t)+···dnc(t)dtna0+dn-1c(t)dt

n-1a1+dc(t)dtan-1+9拉氏變換拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換，它是一種函數之間的積分變換。拉氏變換是研究控制系統的一個重要數學工具,把時域中的微分方程變換成復域中的代數方程，使微分方程的求解簡化。同時還引出了傳遞函數、頻率特性等概念。10用拉氏變換解微分方程示意圖11r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一個例子來說明采用拉氏變換法解線性定常微分方程的方法。三、線性微分方程式的求解例

已知系統的微分方程式，求系統的輸出響應。第一節控制系統的微分方程12

解：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)將方程兩邊求拉氏變換得：R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反變換得：c(t)=e–t

sint13輸出響應曲線第一節控制系統的微分方程c(t)r(t)r(t)t0c(t)142－2非線性微分方程的線性化在工程實際中，構成的系統都具有不同程度的非線性，如下圖所示15非線性微分方程求解非常困難，通常首先考慮線性化方案。

對弱非線性的線性化如圖（a），當輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當死區或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。

平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關系為緩慢變化曲線的非線性16在平衡點A（x0，y0）處，當系統受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關系函數進行泰勒展開，由數學關系可知，當很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。17可得，簡記為y=kx。若非線性函數有兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點處可展成（忽略高次項）線性化后，把非線性關系變成了線性關系，使問題大大簡化。如果圖（d）所示的非線性為強非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。對于線性系統，可采用疊加原理來分析系統。18疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例：設線性微分方程式為若時，方程有解，而時，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當＋時，必存在解為，即為可疊加性。19

上述結果表明，兩個外作用同時加于系統產生的響應等于各個外作用單獨作用于系統產生的響應之和，而且外作用增強若干倍，系統響應也增強若干倍，這就是疊加原理。若時，為實數，則方程解為，這就是齊次性。20第三節傳遞函數一、傳遞函數的定義及求取二、典型環節的傳遞函數及其動態響應

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉換為復數S域內的數學模型—傳遞函數。第二章自動控制系統的數學模型21第三節傳遞函數輸出拉氏變換一、傳遞函數的定義及求取系統的結構圖輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數的定義：零初始條件下，系統輸出量拉氏變換與系統輸入量拉氏變換之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=22傳遞函數性質：（1）傳遞函數只適用于線性定常系統。（2）傳遞函數取決于系統的結構和參數，與外施信號的大小和形式無關。（3）傳遞函數一般為復變量S的有理分式。（4）傳遞函數是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統的運動過程。將傳遞函數中的分子與分母多項式分別用因式連乘的形式來表示，即第三節傳遞函數23第三節傳遞函數式中：K0—為放大系數S=S1,S2···,Sn—傳遞函數的極點S=Z1,Z2···,Zm—傳遞函數的零點傳遞函數分母多項式就是相應微分方程的特征多項式，傳遞函數的極點就是微分方程的特征根。G(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)n>=m24這里，“初始條件為零”有兩方面意思：一指輸入作用是t＝0后才加于系統的，因此輸入量及其各階導數，在t=時的值為零。二指輸入信號作用于系統之前系統是靜止的，即t=，系統的輸出量及各階導數為零。許多情況下傳遞函數是能完全反映系統的動態性能的。25傳遞函數的概念與定義G(s)Ur(s)Uc(s)26傳遞函數是關于復變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次是：二、關于傳遞函數的幾點說明傳遞函數僅適用于線性定常系統，否則無法用拉氏變換導出；傳遞函數完全取決于系統內部的結構、參數，而與輸入、輸出無關；傳遞函數只表明一個特定的輸入、輸出關系，對于多輸入、多輸出系統來說沒有統一的傳遞函數；（可定義傳遞函數矩陣，見第九章。）27傳遞函數的拉氏反變換為該系統的脈沖響應函數，因為當時，，所以一定的傳遞函數有一定的零、極點分布圖與之對應。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統的零狀態模型，有一定的局限性，但它有現實意義，而且容易實現。28可將自動控制系統的數學模型看作由若干個典型環節所組成。研究和掌握這些典型環節的特性將有助于對系統性能的了解。二、典型環節的傳遞函數及其動態響應第三節傳遞函數29C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例環節系數拉氏變換:比例環節的傳遞函數:1．比例環節微分方程:KR(s)C(s)G(s)==K第三節傳遞函數30第三節傳遞函數

比例環節方框圖

KR(S)C(S)特點:輸出不失真,不延遲,成比例地復現輸入信號的變化.31K=-R1R2比例環節實例(a)-∞++urR1ucR2由運算放大器構成的比例環節(b)線性電位器構成的比例環節K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)r(t)c(t)iK=i(c)傳動齒輪構成的比例環節第三節傳遞函數322．慣性環節慣性環節的微分方程:

+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—時間常數—比例系數式中KT慣性環節的傳遞函數:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=第三節傳遞函數拉氏變換：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)33

第三節傳遞函數單位階躍信號作用下的響應:慣性環節方框圖R(S)C(S)1+Ts1c(t)=K(1–e)tT-拉氏反變換得:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=34單位階躍響應曲線特點:輸出量不能瞬時完成與輸入量完全一致的變化.第三節傳遞函數r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.63235-∞++R1R2urucC慣性環節實例(a)運算放大器構成的慣性環節R1CS+1R1/R2G(s)=–第三節傳遞函數36

第三節傳遞函數(b)RC電路構成的慣性環節R+-u(t)CuC(t)RRCS

+1G(s)=–37R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)

=r(t)dc(t)dtT微分方程：—積分時間常數3．積分環節傳遞函數：拉氏變換：第三節傳遞函數38

第三節傳遞函數積分環節方框圖R(S)C(S)Ts1積分環節的單位階躍響應：R(s)=1S1TS1S·C(s)=1TS2=1TC(t)=t39單位階躍響應曲線輸出量與輸入量對時間的積分成正比，具有滯后作用和記憶功能.特點:第三節傳遞函數r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T40積分環節實例(a)由運算放大器構成的積分環節-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–第三節傳遞函數41

(b)電機構成的積分環節+-UdMθSKG(s)=第三節傳遞函數424．微分環節R(S)C(S)Ts理想微分環節數學模型：—微分時間常數微分環節方框圖單位階躍響應函數：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)第三節傳遞函數43單位階躍響應曲線理想脈沖實際中是不可能實現的，實際的物理裝置中常用近似理想微分環節。第三節傳遞函數r(t)t0c(t)c(t)r(t)44G(s)=RCs(a)近似理想微分環節實例-Δ∞++RucCur運算放大器構成的微分環節第三節傳遞函數45

第三節傳遞函數(b)RC電路構成的微分環節+-uc+-CRurRCsRCS+1

G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts46實用微分環節的單位階躍響應:

C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-第三節傳遞函數47

第三節傳遞函數輸出量反映了輸入量的變化率，不反映輸入量本身的大小.特點:單位階躍響應曲線r(t)t0c(t)48采用運算放大器構成的比例微分環節：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分環節的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，常采用比例微分環節。

傳遞函數：單位階躍響應：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)第三節傳遞函數49單位階躍響應曲線第三節傳遞函數1c(t)r(t)r(t)t0c(t)505.振蕩環節微分方程：

+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數—阻尼比ζT傳遞函數：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζ第三節傳遞函數51

第三節傳遞函數G(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=

—無阻尼自然振蕩頻率單位階躍響應：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e振蕩環節方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)52單位階躍響應曲線第三節傳遞函數1c(t)r(t)r(t)t0c(t)531

ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環節的實例：（1）彈簧-質量-阻尼器組成的機械位移系統

（2）他激直流電動機

1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=第三節傳遞函數54

第三節傳遞函數（3）RLC電路1

LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=55R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-as6．時滯環節—延時時間數學模型：時滯環節方框圖傳遞函數：第三節傳遞函數56

時滯環節作近似處理得第三節傳遞函數G(s)=es1=1+τS+2!2S2+···1τ1+τs157階躍響應曲線返回第三節傳遞函數1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ58第四節動態結構圖一、建立動態結構圖的一般方法二、動態結構圖的等效變換與化簡動態結構圖是系統數學模型的另一種形式，它表示出系統中各變量之間的數學關系及信號的傳遞過程。第二章自動控制系統的數學模型59一、建立動態結構圖的一般方法例2-3設一RC電路如圖所示。畫出系統的動態結構圖。+-uruc+-CiR

RC電路解：初始微分方程組：ur=Ri+ucduci=dtc第四節動態結構圖60

第四節動態結構圖取拉氏變換：即Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS用方框表示各變量間關系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CSUc(s)I(s)1CS61

第四節動態結構圖根據信號的流向，將各方框依次連接起來，即得系統的動態結構圖。

由圖可見，系統的動態結構圖一般由四種基本符號構成：信號線、綜合點、方框和引出點。

62（1）確定系統中各元件或環節的傳遞函數。（2）繪出各環節的方框，方框中標出其傳遞函數、輸入量和輸出量。（3）根據信號在系統中的流向，依次將各方框連接起來。第四節動態結構圖繪制動態結構圖的一般步驟為:63

繪制動態結構圖64二、動態結構圖的等效變換與化簡系統的動態結構圖直觀地反映了系統內部各變量之間的動態關系。將復雜的動態結構圖進行化簡可求出傳遞函數。1．動態結構圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數學關系，在變換前后保持不變。第四節動態結構圖65（1）串聯兩個環節串聯的變換如圖：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n個環節的串聯

G

(s)=Σ

Gi

(s)ni=1第四節動態結構圖66R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并聯兩個環節的并聯等效變換如圖：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)n個環節的并聯

G

(s)=Σ

Gi

(s)ni=1第四節動態結構圖67

E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)C(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±環節的反饋連接等效變換：根據框圖則另：得：R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)第四節動態結構圖68（4）綜合點和引出點的移動1)

綜合點之間或引出點之間的位置交換引出點之間的交換：b綜合點之間交換：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa第四節動態結構圖692）綜合點相對方框的移動前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)±C(s)G(s)F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±第四節動態結構圖70

3)引出點相對方框的移動C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)第四節動態結構圖71G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移動aG2(s)+_G2(s)H(s)例

化簡系統的結構圖，求傳遞函數。先移動引出點和綜合點，消除交叉連接，進行等效變換，最后求得系統的傳遞函數。解：a第四節動態結構圖72

第四節動態結構圖G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交換比較點73

等效變換后系統的結構圖：第四節動態結構圖G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)求得系統的傳遞函數:R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)74

例：系統動態結構圖如下圖所示，試求系統傳遞函數C(s)/R(s)。解題思路：消除交叉連接，由內向外逐步化簡。75

解題方法一將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)±C(s)G(s)F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±76例

（解題方法一之步驟4）內反饋環節等效變換77例（解題方法一之步驟5）內反饋環節等效變換結果78例2（解題方法一之步驟6）串聯環節等效變換79例

（解題方法一之步驟7）串聯環節等效變換結果80例

（解題方法一之步驟8）內反饋環節等效變換81例

（解題方法一之步驟9）內反饋環節等效變換結果82例

（解題方法一之步驟10）反饋環節等效變換83例

（解題方法一之步驟11）等效變換化簡結果84解題方法285結構圖化簡步驟小結確定輸入量與輸出量。如果作用在系統上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進行結構圖化簡，求得各自的傳遞函數。若結構圖中有交叉聯系，應運用移動規則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結構。對多回路結構，可由里向外進行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數。86結構圖化簡注意事項：有效輸入信號所對應的綜合點盡量不要移動；盡量避免綜合點和引出點之間的移動。87梅遜公式參數解釋：五、用梅遜（S.J.Mason）

公式求傳遞函數88注意事項：“回路傳遞函數”是指反饋回路的前向通路和反饋回路的傳遞函數的乘積，并且包含代表反饋極性的正、負號。89例

系統的動態結構圖如圖所示，求閉環傳遞函數。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系統有5個回路，各回路的傳遞函數為L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj

=0ΣLiLj

Lz

=0Δ

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1將△、Pk

、△k代入梅遜公式得傳遞函數：G1G2G3+G1G41+G