學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE13學必求其心得，業必貴于專精PAGE7。3球的表面積和體積學習目標1.了解球的表面積與體積公式，并能應用它們求球的表面積及體積.2。會求解組合體的體積與表面積．知識點一球的截面思考什么叫作球的大圓與小圓?梳理用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是________,有以下性質：（1)若平面α過球心O，則截線是以________為圓心的球的大圓．（2）若平面α不過球心O，如圖，設OO′⊥α，垂足為O′,記OO′＝d，對于平面α與球面的任意一個公共點P，都滿足OO′⊥O′P,則有O′P＝eq\r（R2－d2)，即此時截線是以____為圓心，以r＝eq\r（R2－d2)為半徑的球的小圓．知識點二球的切線（1）定義：與球只有________公共點的直線叫作球的切線．如圖，l為球O的切線,M為切點．（2)性質：①球的切線垂直于過切點的半徑;②過球外一點的所有切線的長度都________．知識點三球的表面積與體積公式前提條件球的半徑為R表面積公式S＝________體積公式V＝________類型一球的表面積與體積例1(1）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為______．（2)已知球的表面積為64π，求它的體積．反思與感悟(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解．（2）半徑和球心是球的最關鍵要素，把握住了這兩點,計算球的表面積或體積的相關題目也就易如反掌了．(3)由三視圖計算球或球與其他幾何體的組合體的表面積或體積，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結構特征和三視圖中數據的含義．根據球與球的組合體的結構特征及數據計算其表面積或體積．此時要特別注意球的三視圖都是直徑相同的圓．跟蹤訓練1（1）已知球的體積為eq\f（500，3)π，則其表面積為________．(2）某器物的三視圖如圖,根據圖中數據可知該器物的體積是(）A。eq\f(4π，3) B。eq\f(\r(15)π,3)C。eq\f(4π,3）－eq\f（\r(15)π，3) D.eq\f(4π,3)＋eq\f(\r(15）π,3）類型二球的截面例2在半徑為R的球面上有A,B，C三點，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．反思與感悟(1）有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓,將問題轉化為平面中圓的問題．（2)解題時要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構成的直角三角形，即R2＝d2＋r2。跟蹤訓練2如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為()A.eq\f（500π,3）cm3B。eq\f(866π,3)cm3C.eq\f（1372π，3)cm3D。eq\f（2048π，3）cm3類型三與球有關的組合體eq\x（命題角度1球的內接或外切柱體問題）例3(1）一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為________．（2）將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球,則該球的體積為________．反思與感悟(1)正方體的內切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，若正方體的棱長為a，此時球的半徑為r1＝eq\f（a,2)。(2）長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上,稱球為長方體的外接球，根據球的定義可知,長方體的體對角線是球的直徑,若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r2＝eq\f(1,2）eq\r（a2＋b2＋c2).跟蹤訓練3設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上,則該球的表面積為()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C。eq\f（11，3)πa2D．5πa2eq\x(命題角度2球的內接錐體問題）例4若棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求球的表面積．反思與感悟將正四面體可以補成正方體．由此可得正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝eq\f(\r（6)，2)a.跟蹤訓練4球的一個內接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________．1．把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為(）A．RB．2RC．3RD．4R2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2),則此球的體積為（)A。eq\r(6)πB．4eq\r（3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r（3)π3．如圖是一個幾何體的三視圖,根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等,這時圓柱、圓錐、球的體積之比為________．5．若球的半徑由R增加為2R，則這個球的體積變為原來的________倍，表面積變為原來的________倍．1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構成直角三角形,進行相關計算．2．解決球與其他幾何體的切接問題時，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現在平面圖形中，再進行相關計算．答案精析問題導學知識點一思考平面過球心與球面形成的截線是大圓．平面不過球心與球面形成的截線是小圓．梳理圓（1)O(2)O′知識點二（1)唯一（2）②相等知識點三4πR2eq\f（4,3)πR3題型探究例1(1)3π解析由三視圖知該幾何體為半球，則其表面積為eq\f(1，2)×4π×12＋π×12＝3π。(2）解設球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的體積V＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4,3)π·43＝eq\f（256,3）π.跟蹤訓練1（1）100π（2)D例2解依題意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(3），3)×3＝eq\r(3）。由R2＝（eq\f（R,2)）2＋(eq\r(3))2，得R＝2.所以球的表面積S＝4πR2＝16π.跟蹤訓練2A[利用球的截面性質結合直角三角形求解．如圖,作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2（cm），BM＝eq\f（1,2）AB＝eq\f(1，2)×8＝4(cm)．設球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝（R－2)2＋42，∴R＝5cm，∴V球＝eq\f(4,3）π×53＝eq\f（500π，3)(cm3）．］例3（1）14π解析長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即2R＝eq\r（12＋22＋32）＝eq\r(14)，所以球的表面積S＝4πR2＝14π.(2)eq\f(4,3)π解析由題意知,此球是正方體的內切球，根據其幾何特征知,此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1,其體積是eq\f（4，3)×π×12＝eq\f（4π，3）.跟蹤訓練3B例4解把正四面體放在正方體中,設正方體棱長為x,則a＝eq\r(2)x，由題意2R＝eq\r(3）x＝eq\r（3）×eq\f（\r（2)a，2)＝eq\f(\r（6),2)a，∴S球＝4πR2＝eq\f（3,2)πa2.跟蹤訓練4eq\f(9，32)或eq\f（3，32）當堂訓練1．D2．B［如圖，設截面圓的圓心為O′,M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2），O′M＝1。∴OM＝eq\r（\r(