第三章動量與角動量

§1動量定理與動量守恒定律一.沖量二.動量定理三.質點系四.質點系動量定理五.動量守恒定律

§2質心與質心運動定理一.質心二.質心運動方程

作業：3.1，3.3，3.6，3.9，3.13牛頓運動定律告訴：力作用在質點上，質點獲得加速度，質點的運動狀態發生變化，這個變化是力作用的效果牛頓第二定律給出了力和它的作用效果之間的定量關系，這一關系是瞬時關系，即某一時刻物體獲得的加速度與該時刻所受外力的關系實際上力作用是一個過程，衡量力作用過程可以利用一段時間，也可以利用力作用下質點移動的位移。效果？設作用于物體一變力§2沖量動量定理

一.沖量

定義力與作用時間的乘積沖量記作中學：注意：力是一個恒力元沖量如果一般情況下沖量的計算公式物理意義：表示力在時間內累積量沖量是一個過程量關于“平均力”與“沖力”力的平均值：尤其當：Δt

非常短時，對應于有限大的沖量，會得到非常大的力——沖力說明：二.動量定理表明：質點在一段時間內受到的力的沖量，等于這段時間內動量的增量討論

力對時間的累積效果是使質點的動量獲得增量

由方程左邊可知，使質點獲得同樣的動量增量取決于兩個因素——力和力作用的時間。

動量定理牛頓第二定律的一種積分形式

在方程中，力為質點所受的合外力。

由方程右邊可知，力在一段時間內的沖量。只與質點的始末運動狀態有關，與作用過程無關。

上述方程為矢量方程，應用時可直接用矢量作圖法分析。還可以寫成坐標系的投影式求解。直角坐標系下，動量定理投影式判斷題：

沖量的方向就是合外力的方向。（）

沖量的方向就是動量的方向。

沖量的方向就是動量增量的方向。（）（）√××例1.一長為l的細繩一端系一質量為m

的小球，另一端固定在o點，現小球以角速度ω

在水平面內作圓周運動，繩與豎直方向夾角為θ。o計算：從P點開始轉一周的P解：oP由動量定理例2.一質量為m質點開始處于靜止狀態，試計算在力作用下，t秒后的速度解：由動量定理解：考慮任一元過程dt內，落于皮帶的沙子在水平方向上所受的力。dm在水平方向上的動量增量為：加料斗靠皮帶輸送沙子，平均每秒鐘有質量為m0的沙子被運走，已知皮帶的傳動速率為v。求：沙子在水平方向對皮帶的作用力？例3.——由動量定理，此即dm在水平方向上所受的沖量大小：又：上面研究了牛頓運動定律的微分形式和時間積分形式，研究對象為一個質點，下面將目標對向質點系統——簡稱質點系三.質點系定義:

由有相互作用的若干質點組成的系統內力:系統內質點之間的相互作用力外力:系統以外的其它物體對系統內任一質點的作用力內力記作由于內力總是成對出現的，并且互為作用力和反作用力，由牛頓第三定律有外力記作表示第i個質點所受外力的合力稱作質點系所受合外力類似質點，也需要定義動量、動能等物理量來描述質點系運動狀態，質點系的動量力對質點系的沖量力對質點系的時間累積——質點系所受力的沖量關系？四.質點系動量定理考慮兩個質點1和2組成的系統質量分別為m1，

m2

和分別是質點1和2之間的相互作用力和分別是質點1和2所受的合外力●●質點1和2分別運用動量定理質點1：質點2：等式相加，左邊是？●●力對系統的沖量表明：力對質點系的沖量等于各個質點所受外力的合力的沖量，即質點系所受合外力的沖量而所有內力的沖量的矢量合等于零上式可推廣到多個質點質點1：質點2：等式右邊相加是？系統動量的增量合外力對系統的沖量等于系統動量的增量，系統的動量變化與內力無關推廣到多個質點——質點系動量定理五.動量守恒定律由質點系動量定理可以得到一條重要的守恒定律質點系動量定理當或動量守恒定律意味：當系統所受合外力等于零時，系統的動量為常矢量，即保持不變。討論

動量守恒的條件不是當或oP說明

動量守恒的條件不是當或如果但系統動量近似守恒

如果系統在某方向不受外力或合外力在此方向上的分量為零，則系統動量在該方向上的分量守恒，即為常數。當當或

系統動量守恒是指系統總的動量守恒，具體某一質點的動量不一定是常量。

比牛頓定律更普遍、更基本的定律；同樣只適用于慣性系系統的內力對系統的總動量沒有影響內力對系統中的某一個質點的動量有影響解：對于質點的彈性碰撞，應滿足：例1m2m1m1m2動量守恒：動能守恒：由第二式：兩個小球的質量分別為m1和m2，開始m2靜止，此后

m1以速度與m2發生彈性碰撞。試討論：碰后兩物體運動方向間的夾角與質量的關系m2m1m1m2由第一式：得：由：得：故一般可分為3種情況：（1）——銳角（2）——直角（3）——鈍角m2m1m1m2例2.一個質量為M，半徑為R的四分之一圓弧光滑槽，停在光滑的水平面上，另一質量為m的滑塊，自圓弧頂端A由靜止下滑，求：當滑塊滑到底B

時，M

在水平方向上移動的距離。MABm解：選M和m這為一系統，受力分析如圖RMABmR為系統內力為系統外力，方向均沿豎直方向水平方向系統不受外力，建立如圖坐標系yxo由動量守恒定律MABmRyxo滑塊自圓弧頂端A由靜止下滑滑到C有

設M的速度為m的速度為兩邊同乘對時間

dtCMABmRyxo

分別是M和m相對桌面的位移在水平方向投影，負號表示二者方向相反

m相對M的位移在水平方向投影為MABmRyxo例4.火箭運動的基本原理ROCKETMxyzodm相對地面相對火箭t+dt

時刻系統總動量t+dt

時刻t時刻t

時刻系統總動量ROCKETMdm忽略重力和空氣阻力，系統動量守恒ROCKETMdmROCKETMdm假設火箭噴出燃料氣體的相對速度u

恒定，火箭點火時的質量為M0

，初速度為0，燃料噴完后火箭質量為M

f（火箭的有效載荷），火箭所能達到的末速度為v

f

上式積分ROCKETMdm這就是燃料噴射完以后火箭所能達到的速度其中比值稱作質量比記作ROCKETMdm要使提高有兩個途徑：一是增大，二是提高質量比要提高需要提高質量比通過化學燃燒，所能達到的理論值，實際ROCKETMdm當顯然對于單級火箭要達到這樣的質量比是不可能的實際中采用的解決辦法是采用多級火箭為各級火箭的質量比要使在討論一個質點系的運動時，常常引入質量中心的概念，簡稱質心§2質心與質心運動定理(自學）一.質心設一個質點系由N個質點組成，則質點系質心的矢徑以分別表示各質點的質量。以分別表示各質點對某一參考點的矢徑

定義o●●●●●●●說明：

質心是相對質點系本身的一個特定位置，實際上可能在質心位置處無質量，當質點系運動時質心的位置也隨之變動。質點系的總質量

質心的位置矢量與參照系的選擇有關，但可以證明質心相對于質點系內各質點的相對位置是不會隨參照系的選擇而變化的，

在坐標系下質心的表示（直角坐標系）●●●●●●●oxyz

在坐標系下質心的表示（直角坐標系）●●●●●●●oxyz注意：要與重心區別開重心是一個物體各部分所受重力的合力作用點，可以證明尺寸不十分大的物體，它的質心和重心的位置重合

連續質量分布的物體的質心對質量連續分布的物體，可以認為是由許多質點（通常稱作質元）組成的，

以表示其中任一質元的質量，以表示其矢徑，則物體的質心的矢徑可由積分法得到●dm有一任意三角形，每個頂點有一質量為m的質點，求質心的坐標。（x1，y1）x2

質心的計算例7.xyo解：建立如圖坐標系質點的坐標分別為（x1，y1），（x2，0），（0，0）例8.求：長度為L，質量為m的均勻直棒的質心。解：建立ox坐標系在直棒上坐標為x處，取一長度為dx質元，xo例9.求：半徑為R，質量為m

的均勻半圓環的質心。解：建立xoy坐標系xy在半圓環上取一線元oxyo●C二.質心運動方程表示：質點系的總動量等于它的總質量與它的質心的運動速度的乘積將上式對時間求導數，可得質心的運動速度這一總動量對時間的變化率質心運動的加速度——質心運動方程質點系所受合外力等于質點系的質量乘以質點系質心的加速度？設想：

一個質點系的質心的運動，就如同這樣一個質點的運動，該質點質量等于整個質點系的質量并且集中在質心，而此質點所受的力是質點系所受合外力注意：實際上可能在質心位置處既無質量，又未受力——質心運動方程質心運動方程表明了質心這一概念的重要性這一定理告訴，一個質點系內各個質點由于內力和外力的作用，它們的運動情況可能很復雜。但相對于此質點系有一個特殊的點，即質心，它的運動可能相當簡單，只由質點系所受的合外力決定——質心運動方程例如：高臺跳水運動員離開跳臺后，他的身體可以做各種優美的翻滾伸縮動作，但他的質心卻只能沿著一條拋物線運動——質心運動方程例10一段長度為l

的均勻繩子，總質量為m，其一端固定于o點，在光滑水平面內沿逆時針方向圍繞o

點以角速度ω作整體轉動，求：繩子內部距o

點為x處的張力T

。ω●解