第三章不等式不等關系與不等式第1課時不等關系與不等式的性質(zhì)A級基礎鞏固一、選擇題1．下列命題正確的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x＜2000B．小明的身高x，小華的身高y，則小明比小華矮表示為“x＞y”C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”解析：對于A，x應滿足x≤2000，故A錯；對于B，x，y應滿足x＜y，故B不正確；C正確；對于D，y與a的關系可表示為y≤a，故D錯誤．答案：C2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A、B的大小關系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B或A＞B D．A＞B解析：因為A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝(a－eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2≥0，所以A≥B.答案：B3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關系為()A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)C．f(x)＜g(x) D．隨x值變化而變化解析：因為f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以f(x)＞g(x)．答案：A4．如果a＞b＞0，則下列不等式中，成立的是()①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)②a3＞b3③lg(a2＋1)＞lg(b2＋1)④2a＞2A．①②③④ B．①②③C．①② D．③④解析：因為a＞b＞0，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，即①正確，否定D.因為A、B、C中均含②，故不用論證②，故選④論證，若④正確，則選A.因為a＞b＞0，利用指數(shù)函數(shù)y＝2x的性質(zhì)，2a＞2b所以④正確，選A.答案：A5．設0＜a＜b，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＜b＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜bC．a(chǎn)＜eq\r(ab)＜b＜eq\f(a＋b,2) \r(ab)＜a＜eq\f(a＋b,2)＜b答案：B二、填空題6．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，則M與N的大小關系是________．解析：M－N＝(x2＋y2－4x＋2y)－(－5)＝(x2－4x＋4)＋(y2＋2y＋1)＝(x－2)2＋(y＋1)2.①因為(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，所以(x－2)2＋(y＋1)2≥0，又因為x≠2或y≠－1，所以(x－2)2與(y＋1)2不會同時為0.②所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，所以M＞N.答案：M＞N7．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示)．解析：因為z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，所以3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，所以z的取值范圍是[3，8]．答案：[3，8]8．某校高一年級的213名同學去科技館參觀，租用了某公交公司的幾輛公共汽車．如果每輛車坐30人，則最后一輛車不空也不滿，則題目中所包含的不等關系為________．解析：設租車x輛，根據(jù)題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30（x－1）＜213，,30x＞213.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30（x－1）＜213,30x＞213))三、解答題9．(1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，試比較eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．因為x≤1，所以x－1≤0，又3x2＋1＞0，所以(x－1)(3x2＋1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.(2)因為－1＜a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以a2＞b2＞0.因為a＜b＜0，所以a·eq\f(1,ab)＜b·eq\f(1,ab)＜0，即0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，所以a2＞b2＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).10．設a＞0，且a≠1，比較loga(a3＋1)與loga(a2＋1)的大小．解：(a3＋1)－(a2＋1)＝a2(a－1)，當0＜a＜1時a3＋1＜a2＋1.所以loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．當a＞1時a3＋1＞a2＋1，所以loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．所以總有l(wèi)oga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．B級能力提升1．設a＞b＞1，c＜0，給出下列三個結論：①eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正確結論的序號是 ()A．①B．①③C．②③D．①②③解析：由a＞b＞1，得0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，又c＜0，所以eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)，①正確；冪函數(shù)y＝xc(c＜0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以ac＜bc，②正確；因為a－c＞b－c＞0，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，③正確．故①②③正確．答案：D2．已知－1＜a＜1，則eq\f(1,a＋1)與1－a的大小關系為________．解析：因為－1＜a＜1，所以1＋a＞0，1－a＞0，即eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)，因為0＜1－a2≤1.所以eq\f(1,1－a2)≥1，所以eq\f(1,a＋1)≥1－a.答案：eq\f(1,a＋1)≥1－a3．已知a＞0，b＞0，且m，n∈N*，1≤m≤n，比較an＋bn與an－mbm＋ambn－m的大小．解：an＋bn－(an－mbm＋ambn－m)＝an－m(am－bm)＋bn－m(bm－am)＝(am－bm)(an－m－bn－m)．因為a＞0，b＞0，m，n∈N*，1≤m≤n，當a＝b＞0時，an＋bn－(an－mbm＋a