第五章圖像消噪和恢復圖像的退化是指圖像在形成、傳輸和記錄過程中，由于成像系統、傳輸介質和設備的不完善，使圖像的質量變壞圖像復原就是要盡可能恢復退化圖像的本來面目，它是沿圖像退化的逆過程進行處理。典型的圖像復原是根據圖像退化的先驗知識建立一個退化模型，以此模型為基礎，采用各種逆退化處理方法進行恢復，得到質量改善的圖像。圖像復原過程如下：找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢復圖像可見，圖像復原主要取決于對圖像退化過程的先驗知識所掌握的精確程度，體現在建立的退化模型是否合適。圖像復原和圖像增強的區別：圖像增強不考慮圖像是如何退化的，而是試圖采用各種技術來增強圖像的視覺效果。因此，圖像增強可以不顧增強后的圖像是否失真，只要看得舒服就行。圖像復原就完全不同，需知道圖像退化的機制和過程等先驗知識，據此找出一種相應的逆處理方法，從而得到復原的圖像。如果圖像已退化，應先作復原處理，再作增強處理。二者的目的都是為了改善圖像的質量。

圖像退化指由場景得到的圖像沒能完全地反映場景的真實內容，產生了失真等問題。在圖像采集過程中產生的退化常被稱為模糊(blurring)在圖像記錄過程中產生的退化常被稱為噪聲(noise)模糊用頻率分析的語言來說是高頻分量得到抑制或消除的過程噪聲是一個統計過程，所以噪聲對一個特定圖像的影響是不確定的。噪聲是最常見的退化因素之一，也是圖像恢復中重點研究的內容。圖像中的噪聲可定義為圖像中不希望有的部分，或圖像中不需要的部分。噪聲既可能有一定的隨機性，也可能比較規則或有規律。很多情況下將噪聲看成不確定的隨機現象，主要采用概率論和統計的方法來處理。圖像中的噪聲并不需要與信號對立，它可以與信號有密切的聯系。如果將信號除去，噪聲也可能變化。在很多情況下，噪聲的（隨機/規則）特性不很重要，重要的是它的強度，或者說人們只關心它的強度。

信噪比SNR(signal-to-noiseratio)信噪比是一個重要的放大器或通信系統的質量指標。在圖像壓縮中，信噪比用來作為表示壓縮－解壓縮的一個客觀保真度準則。幾種常見的噪聲

1.熱噪聲

與物體的絕對溫度有關，也稱Johnson噪聲。指導電載流子由于熱擾動而產生的噪聲，它可以產生對不同波長有相同能量的頻譜，相同頻率間隔內的能量相同，也稱為高斯噪聲或白噪聲。2.閃爍(flicker)噪聲由電流運動導致的一種噪聲，也有人稱為粉色噪聲，粉色噪聲在對數頻率間隔內有相同的能量。一般具有反比于頻率的頻譜，也稱1/f噪聲。3.發射(shot)噪聲

電流非均勻流動，電子運動有隨機性的結果，在本該穩定的直流分量里實際上還保留了一個交流分量。也是一種高斯分布的噪聲。

4.有色(colored)噪聲：指具有非白色頻譜的寬帶噪聲。相對白噪聲來說，有色噪聲中低頻分量占了較大比重。白噪聲：指功率譜密度在整個頻域內均勻分布的噪聲，所有頻率具有相同能量的隨機噪聲。是指信號中包含從負無窮到正無窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號中的權值相同。白光包含各個頻率成分的光，白噪聲這個名稱是由此由此而來的。高斯噪聲、均勻噪聲及脈沖（椒鹽）噪聲的概率密度函數P190高斯白噪聲：如果一個噪聲，它的幅度分布服從高斯分布，而它的功率譜密度又是均勻分布的，則稱它為高斯白噪聲。熱噪聲和散粒噪聲是高斯白噪聲。所謂高斯白噪聲中的高斯是指概率分布是正態函數，而白噪聲是指它的二階矩不相關，一階矩為常數，是指先后信號在時間上的相關性。這是考查一個信號的兩個不同方面的問題。高斯白噪聲是指信號中包含從負無窮到正無窮之間的所有頻率分量，且各頻率分量在信號中的權值相同。白光包含各個頻率成分的光，白噪聲這個名稱是由此由此而來的。它在任意時刻的幅度是隨機的，但在整體上滿足高斯分布函數。時變信號的知識參考《信號與系統》，高斯白噪聲參考《通信原理》類書籍5.1退化模型和對角化假定成像系統是線性位移不變系統,則獲取的圖像g(x,y)表示為

g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）f(x，y)表示理想的、沒有退化的圖像，g(x，y)是退化（所觀察到）的圖像。

原始圖像f(x,y)經過一個退化算子或退化系統H(x,y)的作用，再和噪聲n(x,y)進行疊加，形成退化后的圖像g(x,y)。下圖表示退化過程的輸入和輸出的關系，其中H(x,y)概括了退化系統的物理過程，就是所要尋找的退化數學模型。圖像的退化模型g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y)數字圖像的圖像恢復問題可看作是：根據退化圖像g(x,y)和退化算子H(x,y)的形式，沿著反向過程去求解原始圖像f(x,y)，或者說是逆向地尋找原始圖像的最佳近似估計。圖像退化的過程可以用數學表達式寫成如下的形式：

g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y) 在這里，n(x,y)是一種統計性質的信息。在實際應用中，往往假設噪聲是白噪聲，即它的頻譜密度為常數，并且與圖像不相關。在圖像復原處理中，盡管非線性、時變和空間變化的系統模型更具有普遍性和準確性，更與復雜的退化環境相接近，但它給實際處理工作帶來了巨大的困難，常常找不到解或者很難用計算機來處理。因此，在圖像復原處理中，往往用線性系統和空間不變系統模型來加以近似。這種近似的優點使得線性系統中的許多理論可直接用于解決圖像復原問題，同時又不失可用性。在線性和空間不變系統的情況下，退化算子H具有如下性質:(1)線性：設f1(x,y)和f2(x,y)為兩幅輸入圖像，k1和k2為常數，則由該性質還可推出下面兩個結論：①相加性：當k1=k2=1時,式(11-5)變為②一致性：如果f2(x,y)=0，則式（11-5）變為退化系統H的4個性質(2)空間不變性:如果對任意f(x,y)以及a和b，有則對于線性空間不變系統，輸入圖像經退化后的輸出為：H是一個輪換矩陣P192塊輪換矩陣：輪換矩陣的對角化H＝WDW－1本征矢量，本征值P194

點源的概念事實上，一幅圖像可以看成由無窮多極小的像素所組成，每一個像素都可以看作為一個點源成像，因此，一幅圖像也可以看成由無窮多點源形成的。在數學上，點源可以用狄拉克δ函數來表示。二維δ函數可定義為且滿足它的一個重要特性就是采樣特性。即當α=β=0時一幅連續圖像f(x,y)可以看作是由一系列點源組成的。因此，f(x,y)可以通過點源函數的卷積來表示。即式中，δ函數為點源函數，表示空間上的點脈沖。在不考慮噪聲的一般情況下，連續圖像經過退化系統H后的輸出為把式1代入式2得線性位移不變系統的輸出等于系統的輸入和系統脈沖響應（點擴散函數）的卷積。式中，h(x-α,y-β)為該退化系統的點擴展函數，或叫系統的沖激響應函數。它表示系統對坐標為(a,β)處的沖激函數δ(x-α,y-β)的響應。也就是說，只要系統對沖激函數的響應為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。因為對于任一輸入f(a,β)的響應，都可以通過上式計算出來。此時，退化系統的輸出就是輸入圖像信號f(x,y)與點擴展函數h(x,y)的卷積，即采用線性位移不變系統模型的原由：1）由于許多種退化都可以用線性位移不變模型來近似，這樣線性系統中的許多數學工具如線性代數，能用于求解圖像復原問題，從而使運算方法簡捷和快速。2）當退化不太嚴重時，一般用線性位移不變系統模型來復原圖像，在很多應用中有較好的復原結果，且計算大為簡化。3）盡管實際非線性和位移可變的情況能更加準確而普遍地反映圖像復原問題的本質，但在數學上求解困難。只有在要求很精確的情況下才用位移可變的模型去求解，其求解也常以位移不變的解法為基礎加以修改而成。圖像退化除了受到成像系統本身的影響外，有時還要受到噪聲的影響。假設噪聲n(x,y)是加性噪聲，這時上式可寫成在頻域上，可以寫成其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分別是退化圖像g(x,y)、原圖像f(x,y)、噪聲信號n(x,y)的傅立葉變換；H(u,v)是系統的點沖激響應函數h(x,y)的傅立葉變換，稱為系統在頻率域上的傳遞函數?？梢姡瑘D像復原實際上就是已知g(x,y)求f(x,y)的問題或已知G(u,v)求F(u,v)的問題，它們的不同之處在于一個是在空域，一個是在頻域。顯然，進行圖像復原的關鍵問題是尋找降質系統在空間域上的沖激響應函數h(x,y)，或者降質系統在頻率域上的傳遞函數H(u,v)。一般來說，傳遞函數比較容易求得。因此，在進行圖像復原之前，一般應設法求得完全的或近似的降質系統傳遞函數，要想得到h(x,y),只需對H(u,v)求傅立葉逆變換即可。5.3無約束復原無約束恢復方法僅將圖像看作一個數字矩陣，從數學角度進行恢復處理而不考慮恢復后圖像應受到的物理約束。由簡單的通用圖像退化模型可得逆濾波法是指在對n沒有先驗知識的情況下，可以依據這樣的最優準則，即尋找一個，使得在最小均方誤差的意義下最接近g，即要使n的?；蚍稊担╪orm）最?。荷鲜降臉O小值為如果我們在求最小值的過程中，不做任何約束，稱這種復原為無約束恢復。由極值條件可得出一個無約束恢復公式，解出為對上式作傅立葉變換，得可見，如果知道g(x,y)和h(x,y)，也就知道了G(u,v)和H(u,v)。根據上式，即可得出F(u,v)，再經過反傅立葉變換就能求出f(x,y)。逆濾波是最早應用于數字圖像復原的一種方法。并用此方法處理過由漫游者、探索者等衛星探索發射得到的圖像。逆濾波恢復法

對于線性移不變系統而言對上式兩邊進行傅立葉變換得

H(u,v)稱為系統的傳遞函數。從頻率域角度看，它使圖像退化，因而反映了成像系統的性能。

通常在無噪聲的理想情況下，上式可簡化為則進行反傅立葉變換可得到f(x,y)。以上就是逆濾波復原的基本原理。1/H(u,v)稱為逆濾波器。

(1)對退化圖像g(x，y)作二維離散傅立葉變換，得到G(u,v)；(2)計算系統點擴散函數h(x，y)的二維傅立葉變換，得到H(u,v);(3)逆濾波計算(4)計算的逆傅立葉變換，求得。

逆濾波復原過程可歸納如下:若噪聲為零，則采用逆濾波恢復法能完全再現原圖像。若噪聲存在，而且H(u,v）很小或為零時，則噪聲被放大。這意味著退化圖像中小噪聲的干擾在H(u,v)較小時，會對逆濾波恢復的圖像產生很大的影響，有可能使恢復的圖像和f(x,y)相差很大，甚至面目全非。當u-v平面上的某引起點或區域H(u,v)很小或等于零，即出現了零點時，就會導致不穩定解。

但實際獲取的影像都有噪聲，因而只能求F(u,v)的估計值。再作傅立葉逆變換得一種改進方法是考慮到退化系統的傳遞函數H(u,v)帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，其頻率特性具有低通性質，取恢復轉移函數M(u,v)為其中，ω0的選取原則是將H(u,v)為零的點除去。這種方法的缺點是復原后的圖像的振鈴效果較明顯。消除勻速直線運動模糊：線性運動退化是由于目標于成像系統間的相對勻速直線運動形成的退化。改進的方法：維納濾波在一般情況下，圖像信號可近似地認為是平穩隨機過程，維納濾波將原始圖像f和對原始圖像的估計看作為隨機變量。假設Rf和Rn為f和n的自相關矩陣，其定義為式中，E{·}代表數學期望運算。5.4有約束恢復

Rf和Rn均為實對稱矩陣，在大多數圖像中，鄰近的像素點是高度相關的，而距離較遠的像素點的相關性卻較弱。通常，f和n的元素之間的相關不會延伸到20～30個像素的距離之外。因此，一般來說，自相關矩陣在主對角線附近有一個非零元素帶，而在右上角和左下角的區域內將為零值。如果像素之間的相關是像素之間距離的函數，而不是它們位置的函數，可將Rf和Rn近似為分塊循環矩陣。因而，用循環矩陣的對角化，可寫成W的第i,m個分塊為i,m=0,1,…,M-1其中，WN為一個N×N矩陣，其第k,n個位置的元素為k,n=0,1,…,N-1式中，A和B的元素分別為Rf和Rn中的自相關元素的傅立葉變換。這些自相關的傅立葉變換被分別定義為fe(x,y)和ne(x,y)的譜密度Sf(u,v)和Sn(u,v)。式中，W為一個MN×MN矩陣，包含M×M個N×N的塊。M、N的含義見二維離散模型部分。定義QTQ=R-1fRn，代入式(11-33)，得進一步可推導出式中，D*為D的共軛矩陣。再進行矩陣變換：假設M=N，則式中，u,v=0,1,2,…,N-1，|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)。對式作如下分析：

(1)如果γ=1，稱之為維納濾波器。注意，當γ=1時，并不是在約束條件下得到的最佳解，即并不一定滿足 若γ為變數，此式為參變維納濾波器。使用參變維納濾波法時，H(u,v)由點擴展函數確定，而當噪聲是白噪聲時，Sn(u,v)為常數，可通過計算一幅噪聲圖像的功率譜Sg(u,v)求解。由于Sg(u,v)=|H(u,v)|2Sf(u,v)+Sn(u,v)，所以Sf(u,v)可通過式求得。

(2)當無噪聲影響時，Sn(u,v)=0，稱之為理想的反向濾波器。逆濾波器可看成是維納濾波器的一種特殊情況。

(3)如果不知道噪聲的統計性質，也就是Sf(u,v)和Sn(u,v)未知時，式(11-39)可以用下式近似：式中，K表示噪聲對信號的頻譜密度之比。有約束最小平方恢復約束最小平方復原是一種以平滑度為基礎的圖像復原方法。如前所述，在進行圖像恢復計算時，由于退化算子矩陣H［·］的病態性質，多數在零點附近數值起伏過大，使得復原后的圖像產生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方復原仍然是以最小二乘方濾波復原公式為基礎，通過選擇合理的Q，并優化‖Qf‖2，從而去掉被恢復圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。我們知道，圖像增強的拉普拉斯算子，它具有突出邊緣的作用，然而則恢復了圖像的平滑性