自動控制理論

第二章控制系統的數學模型宋瀟瀟西華大學電氣與電子信息學院目錄2.1控制系統的微分方程2.2控制系統的傳遞函數2.3動態結構圖自動控制理論以自動控制系統為研究對象，無論是對控制系統進行分析還是對校正裝置進行綜合，都需要建立控制系統的數學模型。所謂數學模型是指能夠描述系統變量之間關系的數學表達式。控制系統的數學模型不是惟一的。線性定常連續系統，常用的數學模型有微分方程和傳遞函數。2.1控制系統的微分方程2.1.1建立系統微分方程的一般步驟建立控制系統數學模型有解析法和實驗法兩種實驗法：通過實驗對系統在已知輸入信號作用下的輸出響應數據進行測量，利用模型辨識方法，來建立反映輸入量和輸出量之間關系的數學方程。解析法：通過分析控制系統的工作原理，利用系統各組成部分所遵循的物理學基本定律來建立變量之間的關系式。用解析法建立控制系統微分方程的一般步驟：1)確定系統的輸入量和輸出量；2)根據各環節在系統中的工作要求及其所遵循的基本客觀規律，分別列寫出相應的微分方程，并構成微分方程組；3)消除中間變量，并將方程標準化。例2.1確定下圖中RCL電路的微分方程。解：(1)確定輸入和輸出量(2)建立微分方程(3)消除中間變量，使方程標準化，得到這是一個二階常系數線性微分方程。例2.2確定力學系統的微分方程(1)確定輸入量和輸出量(2)創建微分方程組：根據牛二定律得到其中(3)消除中間變量得到，使方程標準化。該機械模型也是一個二階常系數線性微分方程。兩個例題屬于不同類型系統，但可具有形式相同的數學模型，這些具有形式相同數學模型的相似系統揭示了不同物理現象之間的相似關系，當這些相似系統中相似的參數取同樣的數值、輸入變量具有相同的函數形式時，這兩個系統輸出量的變化規律是相同的。我們將此類系統稱為相似系統。QUIETTIME……練習1：如圖所示由質量、彈簧和阻尼器構成得機械位移系統。其中m為物體的質量，k為彈簧的彈性系數，f為阻尼器的阻尼系數。要求確定外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量時，系統的數學模型。質量-彈簧-阻尼器系統m解：根據牛頓第二定律，可以寫出物體的受力平衡方程為消去中間變量并將所得方程整理成標準形式，有2.2控制系統的傳遞函數傳遞函數是線性定常連續系統最重要的數學模型之一，是數學模型在復頻域內的表示形式。利用傳遞函數，不必求解微分方程就可以求取零初始條件下的系統在任意形式輸入信號作用下的輸出響應，還可以研究結構和參數的變化對控制系統性能的影響。經典控制理論的重要研究方法——根軌跡分析法和頻域分析法都是建立在傳遞函數基礎上的。2.2.1傳遞函數的定義傳遞函數定義為：零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。控制系統最基本的數學模型是時域內的微分方程，n階系統微分方程的一般形式為得到例2.4求解例2.1中RLC網絡的傳遞函數。解：微分方程為：對其進行拉氏變化，得到：則傳遞函數為：傳遞函數描述了系統把輸入轉換為輸出的傳遞關系。傳遞函數和微分方程可以相互轉換。Laplace變量s可以看成是微分算子，即同理積分算子是QUIETTIME……練習2將例2.2中的微分方程轉換成傳遞函數的形式。解：對其進行拉氏變化，得到：則傳遞函數為：練習3已知控制系統的微分方程為求出控制系統的傳遞函數。解：在零初始條件下，對微分方程式兩邊同時進行拉氏變換，可求得故控制系統的傳遞函數：問題&思考系統傳遞函數的表達式為

當輸入發生變化時，系統的傳遞函數會發生變化嗎？若初始條件不為零，系統的輸出會變嗎？系統的傳遞函數會發生變化嗎？2.2.2傳遞函數的性質1)傳遞函數是復變量s的有理真分式，只適用于線性定常系統。2)傳遞函數不能反映系統內部的中間變量。3)傳遞函數描述系統的內部固有動態特性。4)傳遞函數不能反映系統的物理性質。5)傳遞函數的分母部分決定著系統的暫態響應的基本特點和動態本質。6)傳遞函數可用零-極點的方式進行表示。是傳遞函數的零點，也稱環節或系統的零點;是傳遞函數的極點，也稱環節或系統的極點。傳遞函數的極點決定了系統的穩定性，并在很大程度上決定了系統的性能。2.2.3典型環節的傳遞函數自動控制系統是由一些元件或裝置組合而成的，這些有著不同物理結構和作用原理的元件裝置卻可能具有相同的傳遞函數，也就具有了相同的動態性能。從方便研究控制系統動態性能的角度考慮，我們可以按照傳遞函數的形式去劃分環節。線性定常系統中的典型環節有比例環節、積分環節、慣性環節、二階振蕩環節、微分環節和延遲環節等。1.比例環節比例環節的輸出量與輸入量成一定比例，時域中的數學模型是一個代數方程比例環節的傳遞函數比例環節應用廣泛，實際中線性電位器，旋轉變壓器等都可以近似地認為是比例環節。比例環節不失真，輸出信號成正比的復現輸入信號。2.慣性環節一階慣性環節的輸出量和輸入量之間的關系為一階慣性環節的傳遞函數為T為慣性環節的時間常數

慣性環節的特點是具有一個儲能元件，輸出信號不能瞬時完成與輸入信號完全一致的變換。在單位階躍輸入信號，輸出信號將按照指數曲線上升。慣性環節的階躍響應是單調上升的，是非周期過程，因而也稱慣性環節為非周期環節。3.積分環節積分環節的輸出量是輸入量的積分。時域中輸出量和輸入量之間的關系表示為積分環節的傳遞函數為積分時間常數。在單位階躍輸入信號，輸出信號如圖所示：積分環節的輸出量與輸入量的積分成正比，當輸入突變時，輸入要延遲時間后才等于輸入；若輸入為零，輸出將保持輸入變成零時刻的值不變。4.微分環節純微分環節的微分方程為純微分環節的傳遞函數為

是微分時間常數。當輸入量為單位階躍響應時，理想的純微分環節是當

時，其微分環節輸出為一個面積為，幅值為無窮大，寬度為零的理想脈沖。純微分環節在實際中是得不到的，因為在實際系統或元件中慣性是普遍存在的，所以實際的微分環節常帶有慣性。其傳遞函數為實用的一階微分環節的單位階躍響應為純微分環節是輸出與輸入信號對時間的響應成正比，反映了輸入信號的變化率。5.振蕩環節振蕩環節的輸出量與輸入量之間的關系為振蕩環節的傳遞函數ξ-阻尼系數或阻尼比；T-時間常數為無阻尼自然振蕩頻率當輸入量為單位階躍響應時，振蕩環節的輸出響應具有振蕩的特點，因阻尼系數的不同，而具有不同的振蕩形式。例2.1中的RLC網絡為振蕩環節的例子。6.純滯后環節純滯后環節的輸出量在經過延遲時間后復現輸入量，其動態方程為純滯后環節的傳遞函數為

是滯后時間常數。輸入為階躍響應時，純滯后環節的響應曲線如圖純滯后環節的輸出在延遲了時間后，與輸入具有相同的波形。QUIETTIME……問題&思考微分 積分你能發現一些新的環節嗎？這些環節有何關系？2.3動態結構圖結構圖是動態系統結構圖的簡稱，也稱方框圖等。結構圖利用方框、信號線、相加點和分支點等符號直觀地反映控制系統的組成、控制系統各組成部分之間的連接關系以及系統中信號的傳遞方向和運算關系等。通過結構圖的簡化，可以獲得系統的傳遞函數，也可以求取系統在任意輸入信號作用下的輸出響應。2.3.1動態結構圖的組成與建立(1)基本圖形符號信號流線：帶箭頭的有向線段，箭頭方向表示信號的傳遞方向。方框圖：表示環節輸入與輸出之間信號傳遞關系。分支點：把一個信號分成多路進行輸出。相加點：進行兩個或多個信號的代數和運算。(2)系統動態結構圖建立的步驟利用系統各組成部分的微分方程得到，步驟一般為：1)列寫控制系統各組成部分的微分方程，零初始條件進行拉氏變換，寫出表示各環節輸出量與輸入量之間關系的方程式。2)根據上述關系繪制結構圖的基本單元。3)將各結構圖基本單元相同的信號線連接起來，即可獲得控制系統的結構圖。需要注意的是：結構圖是數學模型的圖形化表示，只反映信號的傳遞和運算關系，并不代表真實系統物理結構。建模過程中，中間變量選擇不同，將導致系統有不同的結構圖，但由結構圖簡化得到的系統輸入量輸出量之間的關系是相同的。例2.5繪制下圖所示系統的動態結構圖。解：每一個元件代表一個環節，建立各關節的方框圖：對于電阻對于電容對于電感對于電阻得到動態結構圖為：QUIETTIME……問題&思考寫出系統的傳遞函數2.3.2動態結構圖等效變換結構圖清楚地反映了控制系統中各變量之間的關系，利用結構圖求其系統傳遞函數時，總是要對結構圖進行簡化，簡化到一個輸入量和一個輸出量之間只剩一個函數方框時，方框里的傳遞函數就是對應輸入量和輸出量之間的傳遞函數。結構圖的簡化應遵循等效原則，即變換前后各變量之間的數學關系保持不變。結構圖等效變換的數學實質是在結構圖上進行運算，消去中間變量。簡化的過程表現為結構圖上是環節的合并以及相加點和分支點的消除。1.多個環節串聯結構圖中幾個環節按照信號流向首尾相連，前一環節的輸出作為后一環節的輸入，這種連接方式稱為串聯連接。由于所以，串聯連接的環節合并成為一個環節，等效的傳遞函數為此結論可以推廣到n個環節串聯的情況，等效環節的傳遞函數為各串聯環節傳遞函數的乘積。2.多個環節并聯當兩個或多個環節具有相同的輸入量，而總輸出量為各環節輸出量的代數和時，稱環節為并聯連接。因為：所以：由此可見，兩個環節并聯的等效傳遞函數等于兩個環節傳遞函數的代數和。此結論可推廣到n個環節的并聯，即n個環節并聯后的等效傳遞函數為并聯各環節傳遞函數的代數和。3.反饋連接將環節的輸出量反送到輸入端與輸入信號進行比較后作為環節的輸入量，就構成了反饋連接。環節反饋連接后，信號的傳遞形成了閉合回路。通常把信號輸入點R(s)到信號輸出點C(s)的通道稱為前向通道，前向通道上所有環節的傳遞函數之積定義為前向通道傳遞函數；把輸出信號C(s)到反饋信號B(s)的通道稱為反饋通道，反饋通道上所有環節的傳遞函數之積定義為反饋通道傳遞函數。把偏差信號E(s)到輸出信號C(s)再經反饋信號B(s)到偏差信號E(s)的封閉通道稱為回路，回路上所有環節的傳遞函數之積定義為回路傳遞函數。負反饋是自動控制系統最基本的結構形式，當反饋極性為負時，偏差信號等于輸入信號與反饋信號之差，有整理可得系統反饋后的閉環傳遞函數GB(s)為QUIETTIME……問題&思考正反饋時系統的閉環傳遞函數GB(s)是什么？這兩個系統傳遞函數相同嗎？問題&思考4.相加點和分支點的變換很多系統的結構圖中會出現環路相扣的情況，導致無法利用上述等價關系來實現結構圖的簡化。通過信號相加點、分支點的移動和互換可以使得環節之間具有典型的串聯、并聯和反饋連接形式，最終將結構圖簡化為一個輸入量和一個輸出量之間只有一個傳遞函數方框的形式，獲得系統的傳遞函數。相加點、分支點的移動和互換也必須遵循等效原則。1)信號相加點的移動相加點前移相加點后移2)信號分支點的移動分支點前移分支點后移3)相鄰的信號相加點和相鄰的信號分支點的位置交換相鄰分支點間移動相鄰相加點間移動相加點與分支點間的移動相加點與分支點間的移動QUIETTIME……例2.6求解下圖的傳遞函數

解：例2.7具有針對給定補償的控制系統結構圖如圖所示，Y(s)/R(s)。QUIETTIME……練習5：具有多反饋回路的系統結構圖如圖所示，試利用等效變換的方法簡化結構圖，求取系統的傳遞函數Y(s)/R(s)。解：結構圖具有多重反饋連接，反饋連接不存在交叉現象，可采用由內而外的辦法，逐級合并反饋連接的環節。(1)內環正反饋連接環節合并如下圖所示(2)串聯連接環節合并如下圖所示(3)并聯連接環節合并如下圖所示（4）反饋連接環節合并如下圖所示

問題&思考5.梅遜公式對于復雜的控制系統往往含有多個相互交叉的回路，對于這樣的系統可利用梅遜公式求解系統的傳遞函數，而無須進行結構圖等效變換。梅森增益公式n：從輸入節點到輸出節點前向通道的個數：從輸入節點到輸出節點的第k條前向通道的各環節傳遞函數乘積

：特征式，計算公式為：：所有回路增益之和：所有兩兩互不接觸回路的增益乘積之和：所有三個互不接觸回路的增益乘積之和：第k條前向通道的的特征余子式，即除去與第k條前向通道相接觸回路后的特征式例2.7通過梅遜公式求解傳遞函數。解：如圖所示，系統有兩條前向通道和一個閉環回路。則：回路有：前向通道有：根據梅遜公式，則有例2.8通過梅遜公式求解傳遞函數。解：系統有5個閉環回路：系統沒有兩兩不接觸的回路，因此四條前向通道：根據梅遜公式得到QUIETTIME……練習6：通過梅遜公式求解傳遞函數。解：系統有2個閉環回路：系統沒有兩兩不接觸的回路，因此兩條前向通道：根據梅遜公式得到問題&思考采用梅遜公式求系統閉環傳函問題&思考對于多輸入多輸出問題如何處理？2.3.3反饋控制系統的傳遞函數在實際控制中，控制系統通常受到兩種信號的影響：1)輸入信號，2)擾動信號(1)開環傳遞函數定義：系統反饋信號與誤差信號之比，即：注意閉環系統的開環傳遞函數，與開環系統的傳遞函數是不同的。區分開環傳遞函數和回路傳遞函數。(2)閉環傳遞函數1)輸入信號作用下的閉環傳遞函數定義：輸出信號與輸入信號的比值，即2)擾動信號作用下的閉環傳遞函數定義：輸出信號與擾動信號的比值，即3)系統的總輸出定義：同時受到輸入信號和擾動信號作用時的傳遞函數。由疊加原理可知，系統的輸出是兩種信號單獨作用時系統的輸出之和。(3)系統的誤差傳遞函數1)輸入信號作用下的誤差傳遞函數定義：誤差信號與輸入信號的比值，即2)擾動信號作用下的誤差傳遞函數定義：誤差信號與擾動信號的比值，即3)系統總誤差定義：同時受到輸入信號和擾動信號作用時的誤差。由疊加原理可知，系統的輸出是兩種信號單獨作用時系統的誤差之和。信號流圖（自學部分）信號流圖是一種表示線性代數方程組的圖示方法。用來描述線性控制系統時，信號流圖和結構圖一樣，它也是一種描述系統各部分之間信號傳遞關系的數學圖示模型，具有直觀形象的特點。但信號流圖又與結構圖不同，它只能用來描述線性系統。結構圖通過等價變換可以得到控制系統的閉環傳遞函數，但對于復雜控制系統，結構圖的簡化過程是一件很復雜的事，甚至會出現找不到有效辦法可以解除的交叉環路。對于信號流圖，可以利用梅遜（Mason）公式直接求取系統輸入輸出變量之間的傳遞函數而不必對信號流圖進行簡化。2.4.1信號流圖的概念

信號流圖是由節點和支路兩種基本元素組成的信號傳遞網絡。其中，節點代表信號或變量用符號“o”表示，節點之間用有向線段連接，稱為支路，支路具有有向性和有權性。信號流圖的基本單元與結構圖中的函數框等價，如圖所示，它們表示了同樣的變量變換關系，即1.節點的類型1)輸入節點：只有輸出支路的節點，代表自變量或外部輸入變量，也稱源節點，如圖中的節點X02)輸出節點：只有輸入支路的節點，代表被控量或輸出變量，也稱匯節點，如圖中的X6。3)

混合節點：既有輸入支路又有輸出支路的節點，代表中間變量，如圖中的節點X1~X5。混合節點兼有結構圖中信號相加點和信號分支點的功能。混合節點處的信號是所有輸入支路信號的和，而由混合節點引出的所有信號是同一個信號。任何一個混合節點都可以通過增加一條單位傳輸的輸出支路，而變成輸出節點如圖中的節點X6。2.通道及通道傳輸1)通道：從一個節點出發沿著支路箭頭方向通過各個相連支路到達另外一個節點的路徑，通道經過各支路傳輸的乘積稱為通道的傳輸或增益。2)前向通道：從輸入節點到輸出節點、且每個節點只經過一次的通道，前向通道上各支路傳輸的乘積稱為前向通道傳輸或增益。3.回路及回路增益1)回路：起點和終點為同一個節點、且每個節點只經過一次的通道，也稱回環或反饋環，回路上各支路傳輸的乘積稱為回路傳輸或回路增益。2)不接觸回路：沒有任何公共節點的回路。2.4.2信號流圖的繪制

信號流圖可以由結構圖繪制，也可以由系統的微分方程繪制。

從結構圖繪制信號流圖時，可把結構圖中的變量和函數方框分別對應為信號流圖中的節點和支路，傳遞函數就是支路的傳輸。一般應先確定節點，對應輸入變量設一個輸入節點，對應輸出變量設一個輸出節點，然后在結構圖的每個分支點處和每個相