帶有等式約束的最優化問題及其經濟學應用第一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.1

帶有等式約束的函數求

極值的必要和充分條件一、二元函數帶等數約束的極值問題二、多元函數帶多個等數約束的極值問題第二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數一、擬凹函數與擬凸函數的定義MNMNyyxxOOvuvu第三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數1.一元擬凹函數和擬凸函數的定義對于一元函數y=f(x)的定義域（凸集）中的任意點u

和v

，假設f(v)≥

f(u)。如果對于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，則稱f

為擬凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，則稱f

為擬凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴格>或<，則稱f

為嚴格擬凹的或嚴格擬凸的。第四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數2.多元擬凹函數和擬凸函數的定義設F

是定義在凸集U

Rn

上的n

元函數，如果對于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F擬凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F擬凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴格>或<，則稱F

為嚴格擬凹的或嚴格擬凸的。第五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數二、可微函數擬凹和擬凸性判斷1.一階微分判別準則對于一元可微函數f(x)，任取其定義域內兩個不同的點u

和v

，假設f(v)≥

f(u)，則：f(x)擬凹的充要條件為f'(u)(v–u)≥0f(x)擬凸的充要條件為f'(v)(v–u)≥0當≥

變為>時，即嚴格擬凹或擬凸。第六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數對于多元可微函數F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函數F(x)定義域內兩個不同的點u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假設F(v)≥

F(u)。F(x)擬凹的充要條件為uF(x)擬凸的充要條件為v

其中：，。uxx=uvxx=v第七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數2.二階微分判別準則設F

是定義在開凸集U

Rn

上的二階可微函數，令：第八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數

F

是擬凹的必要條件為(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

擬凹的充分條件為(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是擬凸的必要條件為∣Ck(x)∣≤

0擬凸的充分條件為∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，對于嚴格擬凹和嚴格擬凸成立。第九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數三、擬凹函數和擬凸函數的性質1.若f(x)為擬凹函數，則–f(x)為擬凸函數；若f(x)為擬凸函數，則–f(x)為擬凹函數。2.任意的凹（凸）函數均為擬凹（擬凸）函數，但反之不一定成立。3.若f(x)為線性函數，則它既是擬凹又是擬凸的。第十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數4.對于任意常數k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}為凸集，則f(x)是擬凹函數；若S={x∣f(x)≤

k}為凸集，則f(x)是擬凸函數。證明：f(x,y)=xy（x>0,y>0）為擬凹函數。第十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.2

擬凹函數與擬凸函數四、擬凹函數和擬凸函數的最優化maxz=f(x1,x2,…,xn)

s.t.gi(x1,x2,…,xn)=ci，i=1,2,…,m假設(x1*,x2*,…,xn*)滿足等式約束極值的一階充分條件，若z

是嚴格擬凹函數且約束集為凸集，則z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目標函數的整體最大值；若z

是嚴格擬凸函數且約束集為凸集，則z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目標函數的整體最小值。第十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析一、均衡解的比較靜態分析maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——內生變量

a=(a1,a2,…,am)——外生變量等式約束最優化問題的比較靜態分析就是分析均衡解x*的各個分量x1*,x2*,…,xn*關于ai

的偏導數。考慮等式約束的最優化問題：第十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析

如何分析呢？

——假設二階充分條件得到滿足首先，建立Lagrange

函數：L=f(x,a)+λg(x,a)然后，求其一階必要條件：……第十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析假定隱函數定理成立，求解上述方程組可得均衡解：x1*=x1*(a)，……，xn*=xn*(a)，λ*=λ*(a)將這些均衡解代回上述一階必要條件方程組，有：……第十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析對上面這個方程組中的每一個式子對ai

求偏導數。我們以第一個式子為例，利用鏈式求導法則有：第十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析上式可整理為：簡寫為：第十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析同樣道理，方程組中其他式子對ai

求偏導數，有：……第十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析寫成矩陣的形式，有：第十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析假定二階充分條件得到滿足，那么，系數矩陣的行列式不等于0

（記為或）。于是，根據克萊姆法則，可解得：第二十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析二、最優值函數的比較靜態分析考慮等式約束的最優化問題maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——內生變量

a=(a1,a2,…,am)——外生變量第二十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析→關于最優值函數的比較靜態分析問題，可以采用傳統的方法來解決，即：

首先，構造Lagrange

函數，利用一階必要條件和二階充分條件，求解出均衡解x*然后，將x*代入目標函數，得最優值函數f[x*(a);a)]最后，計算?f[x*(a);a)]/?ai

。→也可以用包絡定理。第二十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析

前述帶有等式約束的最優化問題的包絡定理：最優化問題的Lagrange

函數為L=f(x,a)+λg(x,a)

則有：——包絡定理。x*,λ*axa第二十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析

包絡定理的證明：最優化問題的一階必要條件為：可求解出：xi*=xi*(a)，λ*=λ*(a)。將xi*和λ*代入到目標函數，可得最優值函數：V(a)=f[x*(a);a)]第二十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析對上述最優值函數兩端對ai

求偏導，有：a又由于（前證），兩邊乘以λ第二十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析兩式相加，可得：a由前面一階必要條件可知：0，所以：axa得證。第二十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日舉兩個例子：包絡定理1.效用函數maxU=x10.25x20.25s.t.

P1x1+P2x2=10試分析兩商品價格P1和P2變化對總效用的影響。2.記w1*=[x1*(a),y1*(a),z1*(a)]和w2*=[x2*(a),y2*(a),z2*(a)]為極大值（或極小值）問題：max(ormin)f(x,y,z)=x+y+a3zs.t.

x2+a2y2+z2=a1第二十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日舉兩個例子（續）：包絡定理（接第2題）的均衡解。對應的Lagrange

乘子分別為λ1*(a)和λ2*(a)，對應的最優值分別為f1*(a)和f2*(a)。⑴求f1*(a)和f2*(a)在a=(3,1,1)處關于a1、a2、a3

的偏導數；⑵當目標函數變為f(x,y,z)=x+y+1.03z、等式約束變為x2+1.02y2+z2=3.01時，極大化和極小化問題目標函數的最優值的改變量分別為多少？新的極大化和極小化問題目標函數的最優值分別為？第二十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析三、Lagrange

乘子的經濟學意義在等式約束的最優化問題中：maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=b其中：x=(x1,x2,…,xn)，a=(a1,a2,…,am)和b外生。

Lagrange

函數為：L=f(x,a)+λ[b–g(x,a)]。根據包絡定理，有：axax*,λ*第二十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.3

極值問題的比較靜態分析即：λ*——表示約束條件右端變動引起目標函數最優值的變化情況。假設b增加一個單位，約束變松，從而目標函數的最優值會增加，增加的部分（λ*）就是單位b

的價值——在經濟學上，稱為資源的邊際價值；或稱為資源的影子價格。它反映了系統內部資源的緊缺程度（與外部市場因素無關），λ*

越大，說明這種資源越是相對緊缺，反之則說明這種資源相對不緊缺。（特例說明）第三十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題一、效用極大化問題的靜態分析令消費者對兩種商品x

和y

的消費量均大于0，且是在競爭市場上以Px

和Py

的恒定價格購得，消費者貨幣收入為M。在消費者偏好具有非飽和性的假設下，消費者會將所有的收入用來購買x

和y。在既定收入水平下的效用極大化模型為：maxU=U(x,y)s.t.

Px·

x+Py·

y=M第三十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題構建上述效用極大化問題的Lagrange

函數為：

L(x,y,λ)=U(x,y)+λ(M–Px·

x–Py·

y)一階必要條件為：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0第三十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題由前兩個方程可推出：所以，一階必要條件實際上是要求在預算約束下滿足上式。為使效用最大化，消費者必須分配其預算，以使每一物品的邊際效用與價格之比相等。按照無差異曲線的概念，可對這一階必要條件進行幾何解釋。在一條無差異曲線上必然有：

dU=U’x

dx+U’y

dy=0第三十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題整理可得，這是無差異曲線切線的斜率；另外，預算線是一條直線，其斜率為；由于，因此，若使效用最大化，消費者必須對其預算進行分配，使預算線的斜率等于無差異曲線切線的斜率，即預算線與無差異曲線相切，滿足一階必要條件。第三十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題xyOE斜率=斜率=第三十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題對效用極大化問題的充分條件的幾何解釋：由一階必要條件，可求得均衡解(x*,y*)

[駐點]；進一步，二階充分條件判斷的海賽加邊行列式為：若>0，則駐點(x*,y*)

必然是極大值點。第三十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題對于無差異曲線來講，在滿足一階必要條件的基礎上，若使其達到極大值，必須滿足二階充分條件大于0，即：d2y/dx2>0。由前面的分析可知，，所以：第三十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題由于無差異曲線本身就是y

關于x

的函數，因此：，其中，dy/dx

是無差異曲線切線的斜率。根據前面的分析可知，若使效用極大化，無差異曲線切線的斜率等于預算線斜率，即：dy/dx=–Px/Py

。于是：，第三十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題將其代入到前述二階導數式，有：又由于，所以，于是：第三十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題顯然，當>0時，d2y/dx2>0，可知，無差異曲線在切點處嚴格凸。值得注意的是，無差異曲線嚴格凸性的實質并非效用極大化的必要條件。具體而言，即使無差異曲線為非嚴格凸的（右圖），在最大值處盡管有d2y/dx2=0，但效用仍可能最大化。E1E2E3第四十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題在效用函數一階必要條件和二階充分條件的基礎上，我們就可推導得到兩種商品的需求函數。由前面的分析可知，效用最大化的一階條件：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0事實上，一階必要條件方程組的一階偏導數所構成的雅可比行列式即為二階充分條件的海賽加邊行列式。第四十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題根據隱函數定理，如果雅可比行列式≠0，則方程組可求解。由前面的分析可知，二階充分條件確保了海賽加邊行列式≠0，因此，可利用克萊姆法則求解一階必要條件的方程組，其解為：

x*=x*(Px,Py,M)y*=y*(Px,Py,M)

λ*=λ*(Px,Py,M)所求的均衡解是關于商品價格和貨幣收入的函數。第四十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題稱x*和y*為馬歇爾需求函數，記為：xM=xM(Px,Py,M)yM=yM(Px,Py,M)這兩個式子表明了，消費者對于任一給定的商品價格和貨幣收入所作出的消費決策。第四十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題如果把馬歇爾需求函數代入到效用函數U(x,y)或相應的Lagrange

函數，則可得到效用最大值：U*(Px,Py,M)=U*[xM(Px,Py,M),yM(Px,Py,M)]由于效用最大值是商品價格和收入的函數，所以也將效用最大值稱為效用最大值函數或間接效用函數，記為：V(Px,Py,M)=U*(Px,Py,M)第四十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題二、效用極大化問題的比較靜態分析由前面的效用最大化問題的模型可知，內生變量為x

和y

，外生變量為Px、Py和M

。引入馬歇爾需求函數，則效用最大化一階條件：

U’x(xM,yM)–λMPx=0U’y(xM,yM)–λMPy=0M–Px·

xM–Py·

yM=0一般的傳統方法如何進行比較靜態分析？第四十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題

1.商品價格Px和Py

不變，貨幣收入M

變化對一階必要條件中的等式兩邊對M

求偏導：第四十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題寫成矩陣形式為：根據克萊姆法則，可解得：第四十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題盡管根據二階充分條件可知，海賽加邊行列式大于0，但分子的符號仍無法判定。然而，根據經濟學理論可以推斷，完全可能出現?xM/?M<0或?yM/?M<0的情況，即這時的商品為劣等品（或低檔品）。（何為劣等品？）不過，一般來講，?xM/?M<0和?yM/?M<0同時出現的情況不會存在，因為這意味著隨著消費者收入的增加反而同時減少兩種商品的購買，這與經濟學中“多總比少好”的假設矛盾。第四十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題

2.商品價格Py

和M

不變，商品價格Px變化對一階必要條件中的等式兩邊對Px

求偏導：第四十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題寫成矩陣形式為：根據克萊姆法則，可解得：第五十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題三、間接目標函數比較靜態分析與羅伊恒等式將均衡解

xM

、yM

和λM

代入

Lagrange

函數，可得到間接目標函數：V(Px,Py,M)=U(xM,yM)+λM(M–xMPx–yMPy)上式兩端分別對

Px

求偏導，有：第五十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題由一階必要條件可知偏導系數為零，故：

同樣道理，間接目標函數對M

求偏導，有：同樣，由一階必要條件有：第五十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題將兩偏導數相除有：羅伊恒等式羅伊恒等式說明：商品x

的馬歇爾需求函數等于間接目標函數分別對Px和M

偏導數比率相反數。當然，同樣道理，也可得到：羅伊恒等式提供了一個求馬歇爾需求函數的有效途徑，如果知道間接效用函數，通過求關于商品價格和收入的偏導數就可以求得馬歇爾需求函數。第五十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.4

效用極大化問題

舉個例子：利用效用極大化模型maxU=xys.t.

Px·

x+Py·

y=M檢驗羅伊恒等式的有效性。第五十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日羅伊恒等式的有效性檢驗首先，構造Lagrange

函數：L(x,y,λ)=xy+λ(M–Px·

x–Py·

y)然后，計算一階必要條件：第五十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日羅伊恒等式的有效性檢驗然后，檢驗二階充分條件：第五十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日羅伊恒等式的有效性檢驗將xM

和yM

代回目標函數：分別對Px、Py和M

求偏導，有：于是，有：第五十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題一、支出極小化問題的靜態分析令U=U(x,y)，假設消費者對兩種商品x

和y

的消費量均大于0，且是在競爭市場上以Px

和Py

的恒定價格購得，那么，在既定效用水平U0條件下，消費者如何進行商品選擇使其支出最小化呢？既定效用水平下的支出極小化模型為：minE=xPx+yPys.t.

U(x,y)=U0第五十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題構造Lagrange

函數：L=xPx+yPy

+μ[U0–U(x,y)]

一階必要條件為：二階充分條件為：Lx=Px–μU

’x=0Ly=Py–μU

’y=0Lμ=U0–U(x,y)=0第五十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題在支出極小化的一階必要條件和二階充分條件成立的基礎上，可求得均衡解：x=xH(Px,Py,U0)y=yH(Px,Py,U0)

μ=μH(Px,Py,U0)其中：x=xH(Px,Py,U0)和y=yH(Px,Py,U0)稱為希克斯需求函數，表示了消費者對于任一給定的商品價格和效用水平下所作出的消費決策。第六十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題二、支出極小化問題的比較靜態分析由支出極小化問題的模型可知，內生變量為x

和y

，外生變量為Px、Py和U0

。引入希克斯需求函數，則支出極小化一階條件：

Px–μHU

’x(xH,yH)=0Py–μHU

’y(xH,yH)=0U0–U(xH,yH)=0一般的傳統方法如何進行比較靜態分析？第六十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題

1.商品價格Px和Py

不變，效用水平

U0

變化對一階必要條件中的等式兩邊對U0

求偏導：第六十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題寫成矩陣形式為：根據克萊姆法則，可解得：分子符號無法判定第六十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題

2.商品價格Py

和U0

不變，商品價格Px變化對一階必要條件中的等式兩邊對Px

求偏導：第六十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題寫成矩陣形式：根據克萊姆法則，可解得：第六十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題三、間接目標函數比較靜態分析與謝潑德引理將均衡解

xH

、yH

和μH

代入Lagrange

函數，可得到間接目標函數（或支出函數）：E(Px,Py,U0)=xHPx+yHPy

+μH[U0–U(xH,yH)]上式兩端分別對

Px

求偏導，有：第六十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題由一階必要條件可知偏導系數為零，故：

同樣道理，間接目標函數對Px

和U0

求偏導，有：由此可知，和在均衡處的值是消費者的希克斯需求。，，謝潑德引理第六十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.5

支出極小化問題

謝潑德引理用于在給定支出函數（或間接目標函數）的情況下，求希克斯需求函數的方法。舉個例子：利用支出極小化模型minE=xPx+yPys.t.

xy=U0檢驗謝潑德引理的有效性。第六十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日謝潑德引理的有效性檢驗首先，構造Lagrange

函數：L(x,y,μ)=Px·

x+Py·

y+μ(U0–xy)然后，計算一階必要條件：第六十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日謝潑德引理的有效性檢驗然后，檢驗二階充分條件：第七十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日謝潑德引理的有效性檢驗將xH

和yH

代回目標函數：分別對Px、Py

和U0

求偏導，有：第七十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統推導在效用極大化問題中，由一階必要條件可知：且二階充分條件為：第七十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統推導而在支出極小化問題中，由一階必要條件可知：且二階充分條件為：第七十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統推導由兩個問題的二階充分條件和一階必要條件可知：且在效用極大化問題中，我們得到了如下四個等式：($)(*)第七十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統推導在支出極小化問題中，我們得到了如下等式：將($)和(#)代入(*)，可得：(#)第七十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統推導以上兩個等式即為馬歇爾需求函數和希克斯需求函數之間的關系，亦即斯勒茨基等式，表示在貨幣收入固定不變的條件下，需求曲線對于價格變化作出的反應。如果Py

發生變化，也可得到：第七十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.6

斯勒茨基等式的傳統推導更一般地，n

種商品的情況下，可得一般性結論：斯勒茨基等式表明，一個追求效用極大化的消費者對于價格變化作出的反應，在理論上可以分為兩部分：一部分是純替代效應，即消費者在保持原有的效用水平下，對于相對價格變化作出的反應；另一部分是純收入效應，即在相對價格保持不變的前提下，消費者通過變化收入使得預算線在新的效用曲線上達到切點，即相對于購買力變化作出的反應。第七十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日斯勒茨基等式檢驗

舉個例子：利用效用函數U=xy檢驗斯勒茨基等式的有效性。

效用極大化模型可寫為：支出極小化模型可寫為：maxU=xyminE=Px·

x+Py·

ys.t.

Px·

x+Py·

y=M

s.t.

xy=U0由§4.4的例子可知：第七十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日斯勒茨基等式檢驗由§4.5的例子可知：所以：，，又由，代入Px·

x+Py·

y=M

，有：第七十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日斯勒茨基等式檢驗所以：即：，得證。

試利用柯布—道格拉斯效用函數U=xay1-a

檢驗斯勒茨基等式的有效性。第八十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題一、企業利潤極大化利潤最大化等價于收益最大或成本最小，但是這種最優化是以一定生產成本或資源約束為條件的。考慮一個廠商，其生產函數為y=f(x1,x2)。如果廠商以價格p

銷售產品；以價格w1使用生產要素x1；企業家投入生產要素x2固定在x20水平上。

maxπ=p

f(x1,x2)–w1x1

s.t.

x2=x20于是企業利潤最大化模型可寫為：第八十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題構造Lagrange

函數：

L(x1,λ)=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)

一階必要條件為：二階充分條件為：解釋第八十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題將二階充分條件的海賽加邊行列式展開，有：由此可知，。這一結果說明，實際上只有x1

是變量，廠商唯一可控制的就是x1的使用量，存在極大值的唯一要求就是x1的邊際產值遞減。通過對以上條件求解，可得到利潤極大化水平下的兩種要素投入量和企業家投入的邊際產值：第八十三頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題將上述均衡解代入目標函數，可得最大利潤：

π*(w1,p,x20)=p

f(x1*,x2*)–w1x1*式中，π*(w1,p,x20)被稱為利潤函數，它是該模型的間接目標函數。將一階必要條件的前兩個等式分別乘以x1*和x2*，然后兩式相加，得：第八十四頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題若生產函數是一次齊次的（規模收益不變），那么，根據歐拉定理，有：于是，這個式子表明，“總收入=總成本”，其中x2的總要素成本是它的機會成本λ*x2*。因此，由于規模收益不變，產品被耗盡，即廠商收入剛好等于總要素成本。（注意：這種關系成立的前提是一、二階條件均滿足）第八十五頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題二、比較靜態分析由前面的分析可知，企業利潤極大化問題的內生變量為x1

、x2

和λ，外生變量為w1

、p

和x20。首先，分析w1

變化對均衡解的影響。對一階必要條件的各等式兩邊對

w1求偏導，可得：第八十六頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題根據克萊姆法則，解得：這三個結果表明了要素x1價格w1的變化對兩種要素最佳投入量x1*和x2*以及企業家投入的邊際產值λ*的影響。第八十七頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題下面，分析x20

變化對均衡解的影響。對一階必要條件的各等式兩邊對

x20求偏導，可得：根據克萊姆法則，解得：第八十八頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題同理，我們還可以分析p

變化對均衡解的影響。已知該利潤極大化問題的均衡解存在，就可以利用包絡定理來分析外生變量變化對目標函數最優值的影響。由前面的分析可知，Lagrange

函數為：L=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)那么，根據包絡定理有：x*,λ*第八十九頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.7

企業利潤極大化問題

舉個例子：設某壟斷廠商生產兩種商品x

和y

，并在有關市場上銷售。這兩種商品的反需求函數分別為Px=100–4x–y

和Py=50–x–y

，該廠商的總成本為C(x,y)=10x+5y

，成本不超過100。試求利潤極大化時的產出水平和利潤。廠商的利潤函數為：π=xPx+yPy–(10x+5y)=90x+45y–4x2–2xy–y2故利潤極大化模型：maxπ=90x+45y–4x2–2xy–y2

s.t.

10x+5y=100第九十頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.8

生產成本極小化問題一、（總）成本函數給定生產函數f(x)，產出為y，要素價格為w

時的最小成本記為

c(w,y)=min{w

·x|f(x)≥

y,x

≥0}根據成本函數的定義，成本函數有如下性質：⑴在y

不變的條件下，①

c(w,y)關于w是一次齊次的；②c(w,y)關于w是凹的；③c(w,y)關于w是遞增的。⑵在w>0且不變的條件下，c(w,y)關于y是遞增的。第九十一頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.8

生產成本極小化問題二、成本極小化問題在給定產出水平下，企業成本極小化行為與利潤極大化行為是一致的，即可以將成本最小化問題看做是滿足等式約束的最優化問題。

那么，能否直接利用利潤極大化模型推導成本極小化模型呢？考慮利潤極大化模型：maxπ=pf(x1,…,xn)–(w1x1+…+wnxn)

s.t.

f(x1,…,xn)=y第九十二頁，共一百零九頁，2022年，8月28日§4.8

生產成本極小化問題根據成本函數的定義，產出y

是一個參數，即外生變量。由企業追求利潤極大化行為可知，在企業追求利潤極大化時，y

是決策變量，意味著當產出改變、要素價格不變時，可以觀測成本的變化。但是，實際上，追求利潤極大化企業不會主動改變產出，只有當某個要素價格發生變化變化時，產出y才會改變。故上述利潤極大化模型