1．1集合與集合的表示方法1．集合的概念1．通過實例了解集合的含義．(難點)2．掌握集合中元素的三個特性．(重點)3．體會元素與集合的“從屬關系”，記住常用數集的表示符號并會應用．(重點、易混點)[基礎·初探]教材整理1元素與集合的相關概念閱讀教材P3～P4“第7行”的部分，完成下列問題．1．集合：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)，通常用英語大寫字母A，B，C，…來表示．2．元素：構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員)，通常用英語小寫字母a，b，c，…來表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，記作?.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)本班的“帥哥”組成集合．()(2)漂亮的花組成集合．()(3)聯合國常任理事國組成集合．()【解析】(1)不正確．因為“帥哥”沒有統一標準，即元素不確定，不能組成集合．(2)不正確．因為什么樣的花是漂亮的花不確定，不能組成集合．(3)正確．因為聯合國常任理事國是確定的，所以能組成集合．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2元素與集合的關系閱讀教材P3“最后一行”～P4“第6行”以上的內容，完成下列問題．1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.用符號“∈”或“?”填空：0__________?，－eq\f(1,2)________Z，π__________Q，eq\r(4)________Q，|－4|________N*.【解析】根據常見數集及其記法進行判斷．【答案】???∈∈教材整理3集合的特性及分類閱讀教材P4“思考與討論”以下～P4“練習A”以上的內容，完成下列問題．1．集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．2．集合的分類(1)有限集：含有有限個元素的集合．(2)無限集：含有無限個元素的集合．3．常用數集及符號表示名稱非負整數集(自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*或N＋ZQR已知集合A中含有三個元素0,1，x，且x2∈A，則實數x的值為()A．0 B．1C．－1 D．1或－1【解析】當x＝0,1，－1時，都有x2∈A，但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故x＝－1.【答案】C[小組合作型]集合的概念下列所給的對象能構成集合的是________．①所有的正三角形；②比較接近1的數的全體；③某校高一年級所有16歲以下的學生；④平面直角坐標系內到原點距離等于1的點的集合；⑤所有參加2023年里約熱內盧奧運會的年輕運動員；⑥eq\r(2)的近似值的全體.【導學號：60210000】【精彩點撥】判斷一組對象能否組成集合的關鍵是看該組對象是否具有明確的標準，即給定的對象是“模棱兩可”還是“確定無疑”．【自主解答】①能構成集合，其中的元素滿足三條邊相等；②不能構成集合，因為“比較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構成集合；③能構成集合，其中的元素是“某校高一年級16歲以下的學生”；④能構成集合，其中的元素是“平面直角坐標系內到原點的距離等于1的點”；⑤不能構成集合，因為“年輕”的標準是模糊的、不確定的，故不能構成集合；⑥不能構成集合，因為“eq\r(2)的近似值”未明確精確到什么程度，因此很難斷定一個數是不是它的近似值，所以不能構成集合．【答案】①③④判斷每個對象是否具有確定性是判斷其能否構成集合的關鍵，而判斷一個對象是不是確定的，關鍵就是要找到一個明確的衡量標準，同時還要注意集合中的元素的互異性、無序性.[再練一題]1．下列各組對象中不能構成集合的是()A．佛岡中學高一班的全體男生B．佛岡中學全校學生家長的全體C．李明的所有家人D．王明的所有好朋友【解析】A中，佛岡中學高一班的全體男生，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構成集合；B中，佛岡中學全校學生家長的全體，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構成集合；C中，李明的所有家人，滿足集合元素的確定性和互異性，故可以構成集合；D中，王明的所有好朋友，不滿足集合元素的確定性，故不可以構成集合．故選D.【答案】D元素與集合的關系給出下列6個關系：①eq\f(\r(2),2)∈R，②eq\r(3)∈Q，③0?N，④eq\r(4)∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|?Z.其中正確命題的個數為()A．4 B．3C．2 D．1【精彩點撥】首先明確字母R、Q、N、Z的意義，再判斷所給的數與集合的關系是否正確．【自主解答】R、Q、N、Z分別表示實數集、有理數集、自然數集、整數集，所以①④正確，因為0是自然數，eq\r(3)，π都是無理數，所以②③⑤⑥不正確．【答案】C1．判斷一個元素是不是某個集合中的元素，關鍵是判斷這個元素是否具有這個集合的元素的共同特性．2．解決本例及類似問題要準確記憶數集Q，N，R及Z的含義，防止因混淆其含義而出現失誤．[再練一題]2．用符號“∈”或“?”填空．若A表示第一、三象限的角平分線上的點的集合，則點(0,0)________A，(1,1)________A，(－1,1)________A.【解析】第一、三象限的角平分線上的點的集合可以用直線y＝x表示，顯然(0,0)、(1,1)都在直線y＝x上，(－1,1)不在直線上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1)?A.【答案】∈∈?[探究共研型]集合中元素的特性探究1“北京市的高樓”能否組成一個集合？“北京市高于100米的樓能否組成一個集合？集合的定義中“某些確定的”含義是什么？【提示】“北京市的高樓”不能組成一個集合，因為“高樓”沒有明確的標準，而“北京市高于100米的樓能組成一個集合，因為標準是確定的．集合的定義中“某些確定的”含義是集合中的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．探究2“小于4的自然數”構成的集合中有哪些元素？甲同學的答案是0,1,2,3；乙同學的答案是3,2,1,0，他們的回答都正確嗎？由此說明什么？【提示】兩個同學的回答都是正確的．由此說明集合中的元素是沒有先后順序的，這就是集合中元素的無序性．探究3若a和a2都是集合A中的元素，則實數a的取值范圍是什么？【提示】因為a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.若集合A中的三個元素分別是a－3,2a－1，a2－4，a∈Z且－3∈A，求實數a的值．【精彩點撥】按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三類分別求解實數a的值，注意驗證集合A中元素是否滿足互異性．【自主解答】(1)若－3＝a－3，則a＝0，此時集合A中的三個元素分別是－3，－1，－4，滿足題意；(2)若－3＝2a－1，則a＝－1，此時集合A中的三個元素分別是－4，－3，－3，不滿足題意；(3)若－3＝a2－4，則a＝±1.當a＝1時，集合A中的三個元素分別是－2,1，－3，滿足題意；當a＝－1時，由(2)知，不滿足題意．綜上可知，a＝0或a＝1.1．本題按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4為標準分類，從而做到“不重不漏”；在解含字母的問題中，常常采用分類討論的思想，注意分類標準的統一和明確．2．本題在求解的過程中，常因忽視檢驗集合中元素的互異性，導致產生增解－1.[再練一題]3．若將本例中的條件“－3∈A”換成“a∈A”，求相應問題．【解】∵a∈A且a∈Z，∴a＝a－3或a＝2a－1或a＝a2－4，解得a＝1，此時集合A中有三個元素－2,1，－3，符合題意．故所求a的值為1.1．下列對象不能構成集合的是()①我國近代著名的數學家；②所有的歐盟成員國；③空氣中密度大的氣體．A．①② B．②③C．①②③ D．①③【解析】研究一組對象能否構成集合的問題，首先要考查集合中元素的確定性．①中的“著名”沒有明確的界限；②中的研究對象顯然符合確定性；③中“密度大”沒有明確的界限．故選D.【答案】D2．下列三個關系式：①eq\r(5)∈R；②eq\f(1,4)?Q；③0∈Z.其中正確的個數是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】①正確；②因為eq\f(1,4)∈Q，錯誤；③0∈Z，正確．【答案】B3．已知集合A中只有一個元素1，若|b|∈A，則b等于()【導學號：60210001】A．1 B．－1C．±1 D．0【解析】由題意可知|b|＝1，∴b＝±1.【答案】C4．a，b，c，d為集合A的四個元素，那么以a，b，c，d為邊長構成