第八章離散控制系統前面各章分析了連續控制系統，這些系統中的變量是時間上連續的；隨著被控系統復雜性的提高，對控制器的要求也越來越高，控制的成本隨著數學模型的復雜化而急劇上升—模擬實現；隨著數字元件,特別是數字計算機技術的迅速發展，采樣控制系統得到了廣泛的應用；在采樣控制系統中,有一處或多處的信號不是連續信號,而在時間上是離散的脈沖序列或數碼,這種信號稱為采樣信號。第8章離散控制系統8-1離散控制系統的基本概念基本內容8-2信號的采樣與恢復8-3離散系統的數學模型8-4離散系統的穩定性分析8-5離散系統的穩態誤差分析8-6離散系統的動態分析8-7離散系統的校正基本要求正確理解采樣過程，采樣定理，信號復觀和零階保持器的作用,了解采樣系統與連續系統的區別與聯系。Z變換和Z反變換，熟練掌握幾種典型信號的Z變換和通過部分分式分解進行反變換,了解用Z變換法解差分方程的主要步驟和方法。正確理解脈沖傳遞函數的概念，熟練掌握簡單采樣系統開環脈沖傳遞函數和閉環脈沖傳遞函數的計算方法,掌握典型閉環采樣系統輸出的Z變換表達式。熟練掌握Z域穩定性的判別方法。熟練掌握采樣瞬時的穩態誤差的計算方法，正確理解終值定理的使用條件、積分環節與系統的型別的關系。二、數字控制系統一、采樣控制系統8.1離散控制系統的基本概念計算機控制系統的優點：1、有利于實現系統的高精度控制；2、數字信號傳輸有利于抗干擾；3、可以完成復雜的控制算法，而且參數修改容易；4、除了采用計算機進行控制外，還可以進行顯示，報警等其它功能；5、易于實現遠程或網絡控制。采樣控制系統也是一類動態系統；該系統的性能也和連續系統一樣可以分為動態和穩態兩部分；這類系統的分析也可以借鑒連續系統中的一些方法，但要注意其本身的特殊性；采樣系統的分析可以采用Z變換方法，也可以采用狀態空間分析方法。1、采樣：把連續信號變成脈沖或數字序列的過程叫做采樣；2、采樣器：實現采樣的裝置，又名采樣開關；3、復現：將采樣后的采樣信號恢復為原來的連續信號的過程；4、采樣方式：（1）等周期采樣：（2）多階采樣：采樣是周期性重復的（3）多速采樣：有兩個以上不同采樣周期的采樣開關對信號同時進行采樣（4）隨機采樣：采樣是隨機進行的,沒有固定的規律8.2信號的采樣與復現一、采樣過程——將連續信號轉換成離散信號的過程實現上述采樣過程的裝置稱為采樣開關一個連續信號經采樣開關變成了采樣信號采樣脈沖的持續時間遠小于采樣周期T和系統的時間常數可以將窄脈沖看成是理想脈沖，從而可得采樣后的采樣信號采樣信號只在脈沖出現的瞬間才有數值，采樣過程可以看做是一個調制過程。二、信號的頻譜時域信號的傅立葉級數各次諧波的幅值在頻率軸上的分布譜。其中周期為T的時域函數f(t)=f(t-KT)的傅立葉級數展開為周期函數的傅立葉級數為拉氏變換將jω代替s得到采樣函數的傅立葉變換采樣后信號頻譜是以s為周期的。三、采樣定理采樣時間滿足什么條件？才能復現原信號！連續信號在時域上是連續的，但頻域中的頻譜是孤立的；連續信號采樣之后，具有以采樣角頻率為周期的無限多個頻譜。采樣信號的頻譜采樣定理：為使采樣后的脈沖序列頻譜互不重疊，采樣頻率必須大于或等于原連續信號所含的最高頻率的兩倍，這樣方可通過適當的理想濾波器把原信號毫無畸變的復現出來。

香農定理的物理意義是：滿足香農定理的采樣信號中含有連續信號的信息，該信息可以通過具有低通濾波特性的濾波器復現出來。信號的恢復是指將采樣信號恢復為連續信號的過程四、信號的復現（零階保持器）理想濾波器可以將采樣信號恢復成連續信號；理想濾波器是物理上不可實現的，因此要尋找一種物理上可實現，特性上又接近于理想濾波器的設備——保持器。采樣信號只在采樣點上有定義,f*(KT)和f*((K+1)T)都是有定義的,但是在這兩者之間的時間段上連續信號應該是什么樣子呢?這就是保持器要解決的問題.可將展成如下泰勒級數時，各階導數的近似值

由此類推，計算n階導數的近似值需已知n+1個采樣時刻的瞬時值。若上式的右邊只取前n+1項，便得到n階保持器的數學表達式。信號的采樣與保持過程零階保持器的數學表達式為零階保持器:把采樣時刻KT的采樣值不增不減地保持到下一個采樣時刻（K＋1）T。零階保持器的輸入和輸出信號理想采樣開關的輸出Laplace變換為零階保持器的輸出為由上式可知零階保持器的傳遞函數零階保持器的頻率特性為相頻特性為其幅頻特性為其中零階保持器的頻率特性曲線如圖所示，可知零階保持器是一個低通濾波器，但不是理想的低通濾波器，它除了允許信號的主頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。零階保持器的頻率特性如圖所示零階除了允許主頻譜分量通過之外，還允許一部分附加高頻分量通過。因此復現出的信號與原信號是有差別的。線性連續控制系統可用線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換分析它的暫態性能及穩態性能。對于線性采樣控制系統則可用線性差分方程來描述，用Z變換來分析它的暫態性能及穩態性能。Z變換是研究采樣系統主要的數學工具，由拉普拉斯變換引導出來，是采樣信號的拉普拉斯變換。8.3離散系統的數學模型一、z變換對上式進行Laplace變換，得連續信號經采樣后得到的脈沖序列為1.Z變換的定義引入一個新的復變量代入上式可得z變換的定義式如下稱為的z變換，記作或由此可看出是關于復變量的冪級數。例8-1

求單位脈沖信號的z變換。

解：設，則由于在時刻的脈沖強度為1，其余時刻的脈沖強度均為零，所以有2.Z變換的求解方法1）級數求和法例8-2

求單位階躍信號的z變換。

解：設，則

該級數的收斂域為，在該收斂域內，上式可以寫成如下閉合形式例8-3

求單位斜坡信號的z變換。

設，則上式兩邊對z求導數，并將和式與導數交換，得上式兩邊同乘，便得單位斜坡信號的z變換解：例8-4求指數函數的z變換。解：設，則例8-5設，求的z變換。解：上式兩邊求Laplace反變換，得再由例8-2和例8-4有2）部分分式法注意：不能直接將代入來求，因為是針對采樣信號進行z變換。3、z變換的基本性質其中和為任意實數。1．線性性質：若和z變換為和，則證明：2．時域滯后性質若的z變換為，則證明：證明由于當時，，所以有3．時域超前性質若的z變換為，則證明4．復位移性質已知的z變換函數為，則證明：

例8－6試用復位移性質求的Z變換。

解5.初值定理和終值定理1初值定理：

設的z變換為，并且有極限存在，則

2終值定理：

設的z變換為，且的極點均在z平面的單位圓內，則

例8－7設的Z變換為，試計算的終值。

解

四、z反變換z反變換是z變換的逆運算。其目的是由象函數求出所對應的采樣脈沖序列（或），記作

z反變換只能給出采樣信號，而不能給出連續信號。注意1部分分式法若象函數是復變量z的有理分式，且的極點互異，則可展成如下形式：上式兩邊同乘z，再取z反變換得（8-36）（8-37）（8-38）例8-8已知z變換函數求其z反變換。解：首先將展成部分分式2長除法對比式可知若z變換函數是復變量z的有理函數，則可將展成的無窮級數，即例8-9已知z變換函數為求其z反變換。解：由運用長除法得由此得于是脈沖序列可以寫成3留數計算法由z變換的定義可知（8-43）設的極點為，則包圍了的所有極點

（8-48）例8-8已知z變換函數為試用圍線積分方法求z反變換。解：上式有兩個極點和，且所以五、用z變換法解線性常系數差分方程1差分的定義假設在圖8-3所示的采樣系統中，模擬—數字轉換器在離散時間對誤差信號進行采樣，并將瞬時值記為或，則的一階前項差分定義為二階前向差分定義為n階前向差分定義為n階后向差分定義為2.差分方程的解法1）迭代法例8－10

試用迭代法確定，當輸入序列為，初始條件時的直到的解序列。解

時，時，時，時，時，2）Z變換法例8－11

試用Z變換法求解，離散函數差分方程的解已知輸入函數為解四、脈沖傳遞函數線性采樣系統初始條件為零時,系統輸出信號的z變換與輸入信號的z變換之比,稱為線性采樣系統的脈沖傳遞函數,或簡稱為z傳遞函數。實際采樣系統的輸出信號通常是連續信號,為了應用脈沖傳遞函數概念,可在系統的輸出端虛設一個同步采樣開關,使輸出成為采樣信號。

實際采樣系統設輸入脈沖序列為由疊加原理可求出系統對脈沖序列的響應為

根據z變換的卷積定理，上式的z變換為

式中：G(z)、R(z)、C(z)分別為g(t)、r(t)、c(t)的z變換。

即采樣系統脈沖傳遞函數為采樣脈沖傳函為連續系統的脈沖響應的Z變換系統輸出的采樣信號為經虛設采樣開關得到的脈沖序列反映的是連續輸出在采樣時刻的瞬時值。脈沖傳遞函數和連續系統的傳遞函數一樣表征了采樣系統的固有特性；它除了與系統的結構、參數有關系，還與采樣開關在系統中的具體位置有關。2、開環脈沖傳遞函數1)開環脈沖傳遞函數的推導由此求該開環系統的脈沖傳遞函數。例8-12系統結構如圖所示，其中連續部分的傳遞函數為解：連續部分的脈沖響應函數為脈沖傳遞函數為或由得查表得2)串聯環節的脈沖傳遞函數（1）串聯環節間無采樣開關時的脈沖傳遞函數圖8-15例8-13系統結構如圖8-15所示，其中求開環脈沖傳遞函數。解：(2)串聯環節間有采樣開關時的脈沖傳遞函數如圖8-16所示，其脈沖傳遞函數為各個連續環節z變換的乘積，記為圖8-16串聯環節間有采樣開關的開環系統例8-14系統結構如圖8-16所示，其中求開環脈沖傳遞函數。解：所以由于（3）有零階保持器時的脈沖傳遞函數開環脈沖傳遞函數為

圖8-17帶零階保持器的開環采樣系統例8-15系統結構如圖8-17所示，其中采樣周期s求其開環脈沖傳遞函數。解：由于所以3、閉環脈沖傳遞函數圖8-18閉環采樣系統采樣開關的輸入和系統的輸出分別為整理得于是閉環系統的脈沖傳遞函數為例8-16閉環采樣系統的結構如圖8-18所示，其中采樣周期秒，求閉環脈沖傳遞函數，若，求。解：對于階躍輸入函數有則輸出信號的z變換為于是注意有些閉環采樣系統不可能求出形式的閉環脈沖傳遞函數，而只能求出輸出信號的表達式。如圖8-19所示的閉環采樣系統（8-19）8.4離散控制系統的穩定性分析一、從s平面到z平面的影射關系由Z變換的定義若令則有S平面的左半平面，z的幅值在0和1之間變化，對應z平面單位圓內；S平面的虛軸，對應z平面的單位圓；當由變到時，圖8-19從s平面到z平面的影射2Z域的穩定條件和穩定性判據在z平面上系統穩定的充分必要條件是，系統的特征根必須全部位于z平面的單位圓內。設采樣系統的閉環脈沖傳遞函數為則閉環特征方程為系統閉環脈沖傳遞函數的所有極點位于Z平面上的單位圓內。或者說，所有極點的模都小于1,即，單位圓就是穩定區域的邊界。2.勞斯(Routh)穩定判據在分析連續系統時，曾應用Routh穩定判據判斷系統的特征根位于s右半平面的個數，并依此來判斷系統的穩定性。對于采樣系統，也可用Routh判據分析其穩定性，但由于在z域中穩定區域是單位圓內，而不是左半平面，因此不能直接應用Routh判據。線性采樣系統不能直接使用勞斯穩定判據，因為采樣系統穩定邊界是z平面上以原點為圓心的單位圓周，而不是虛軸。為能使用勞斯判據，可將z平面上單位圓周映射到新坐標系中的虛軸，這種變換稱為w變換，或稱雙線性變換。引入如下雙線性變換此時可用Routh判據判斷采樣系統的穩定性。式中，z、w均為復變量，可分別寫為

代入雙線性變換公式，得w平面虛軸上的點對應于上式中實部為零的點，即

則設z平面上單位圓內(u2+v2＜1)對應著w平面實部為負數的左半平面。z平面上單位圓外(u2+v2＞1)對應著w平面實部為正數的右半平面。z平面與w平面的映射關系所示。例8-17設采樣控制系統的方框圖如圖所示。采樣周期T=1s,T=0.5s試求使系統穩定的K值范圍。

解系統的開環脈沖傳遞函數為相應的閉環系統特征方程為將T=1s代入上式，得

進行w變換可求得w域系統的特征方程為

根據代數判據，閉環系統穩定條件為所以穩定時K的取值為

穩定時K的取值為

同理可得,T=0.5s時

開環增益K和采樣周期T對采樣系統穩定性有如下影響：(1)采樣周期T一定時，增加開環增益K會使采樣系統穩定性變差，甚至使系統不穩定。(2)開環增益K一定時,采樣周期T越長，丟失的信息越多，對采樣系統穩定性及動態性能均不利，甚至使系統不穩定。與連續系統類似地求穩態誤差有兩種方法：1)應用z變換終值定理計算穩態誤差的終值；2)應用誤差脈沖傳遞函數計算靜態誤差系數,進而得到穩態誤差。8.5離散系統的穩態誤差負反饋采樣系統結構圖在輸入信號作用下，誤差的z變換表達式為1當輸入為階躍函數時定義靜態位置誤差系數為則根據終值定理，有2當輸入是斜坡函數時定義靜態速度誤差系數為穩態誤差為3當輸入是加速度信號時定義靜態加速度誤差系數為穩態誤差為采樣系統誤差除了與系統的結構、參數和輸入信號有關外，還與采樣周期有關，縮小采樣周期可以減小穩態誤差。系統型別位置誤差速度誤差加速度誤差0型I型0II型00試計算系統分別在單位階躍、單位斜坡、單位拋物線函數輸入時的穩態誤差。解例8－18設離散控制系統的采樣周期為0.2s，開環傳遞函數例8-19已知采樣系統的結構如圖所示，其中，，采樣周期s，求在輸入信號的作用下，系統的穩態誤差。圖8-21解：采樣系統的閉環特征方程為采樣系統的開環脈沖傳遞函數為該采樣系統穩定在階躍和斜坡函數作用下的穩態誤差為零靜態加速度誤差系數為因此，在輸入作用下的穩態誤差為8.6離散控制系統的動態分析

一、離散系統的時域性能

設閉環采樣系統的脈沖傳遞函數為式中M(Z)、D(Z)——閉環脈沖傳遞函數分子多項式和分母多項式

設pi——閉環極點

zj——閉環零點二、Z平面上的特征根與系統的響應性能當輸入為單位階躍信號時系統輸出信號的z變換為

將上式展成部分分式可得式中：對上式進行z反變換，得采樣系統輸出采樣信號為

上式右邊第一項為系統的穩態響應分量，第二項為暫態響應分量。

顯然,隨極點在平面位置的不同，它所對應的暫態分量也不同。

實數極點：若實數極點分布在單位圓內，其對應的分量呈衰減變化。正實數極點對應的單調衰減，負實數極點對應的振蕩衰減；共軛極點：有一對共軛復數極點pi與pi，即

當|pi|＞1時,ci(k)為發散振蕩函數；當|pi|＜1時，ci(k)為衰減振蕩函數,振蕩角頻率為i為共軛復數系數Ai的幅角。

暫態響應與極點位置關系

1)當閉環脈沖傳遞函數的極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內時,其對應的暫態分量是衰減的。2)要使控制系統具有比較滿意的暫態響應,其閉環極點應盡量避免分布在Z平面單位圓內的左半部,最好分布在單位圓內的右半部。3)極點盡量靠近坐標原點,相應的暫態分量衰減速度較快。4)離單位圓周最近且附近無閉環零點的共軛復數極點為主導極點。例8－20試求下圖所示離散控制系統的階躍響應脈沖序列。

8.7離散控制系統的校正

一、離散系統的根軌跡校正

1.Z平面的根軌跡

2.Z平面上的等ζ線、等線和等線

（1）Z平面上的等ζ線

（2）Z平面上的等線

（3）Z平面上的等線

曲線如圖8-33中的經向曲線（縱向曲線）所示。

3.離散系統的根軌跡校正舉例例8－20數字控制系統的采樣周期為0.1s，試通過Z平面的根軌跡校正設計控制器的脈沖傳遞函數，使系統脈沖響應的超調量，峰值時間。解

圖8-37校正后的根軌跡圖8-38校正后系統的響應序列二、脈沖控制器的數字實現

時，等式右是存儲器保存的輸出量的過去值、輸入量的過去值和輸入量的當前值。時，等式右端含有輸入量未來時刻的單項，無法計算當前采樣點的輸出值，屬不可實現的脈沖控制器。8.