自動控制原理及應用清華大學出版社董紅生主編第5章控制系統的頻域分析法本章小結5.4自動控制系統的應用舉例5.3自動控制系統的基本要求5.2自動控制系統的分類5.1系統頻率特性的基本概念

教學目標：了解系統頻率特性的基本概念；掌握典型環節的頻率特性；熟悉系統開環頻率特性的繪制方法；掌握利用開環頻率特性判定系統的穩定性；理解頻率特性與系統性能的關系。

5.1系統頻率特性的基本概念

5.1.1頻率特性的定義

在正弦輸入信號的作用下，系統輸出的穩態分量稱為頻率響應，系統頻率響應與正弦輸入信號之間的關系稱為頻率特性。下面以RC電路為例分析系統頻率特性。RC電路如圖5-1所示。設RC電路的初始條件為0，其傳遞函數為圖5-1RC電路式中，T=RC為電路的慣性時間常數。設輸入為正弦電壓信號式中，

對應的拉普拉斯變換為

則有

進行拉普拉斯逆變換，可得輸出量的時域表達式為

顯然，c(t)表達式中第一項是輸出的暫態分量，當t→∞

時，暫態分量趨向于0；第二項是輸出的穩態分量。

因此，RC電路的穩態響應可表示為

可見，當電路輸入為正弦信號時，輸出電壓的穩態響應(頻率響應)仍是一個正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發生了變化，幅值衰減為原來，相位滯后了

，且均為

的函數。將輸出的穩態響應和輸入正弦信號用復數向量表示，則有

則它們的比值為式中，

可見，輸出信號與輸入信號的比值不僅與電路參數T有關，而且與頻率

有關，稱為RC電路的頻率特性。

稱為幅頻特性，它是輸出信號和輸入信號的幅值之比，反映了頻率特性的幅值與頻率的關系；

稱為相頻特性，它是輸出信號和輸入信號的相角之差，反映了頻率特性的相位與頻率的關系。在相應的坐標系下繪制幅頻特性和相頻特性，如圖5-2(a)、(b)所示。由圖可見，當角頻率

較低時，輸出幅值衰減的不大，相位滯后不多，但隨著角頻率

的增加，輸出幅值衰減加劇，直至趨近于零，相位滯后趨于-90°。

(a)幅頻特性(b)相頻特性圖5-2RC電路的頻率特性系統的頻率特性定義為：線性系統(或環節)在正弦輸入信號的作用下，系統的穩態輸出與輸入之比。系統的頻率特性分為幅頻特性和相頻特性，又稱為幅相特性。設n階線性穩定系統的傳遞函數為

其中，s1,s2,…,sn為n個互異的閉環特征根。當時，則有取拉普拉斯逆變換得

系統輸出響應為由于系統是穩定的，閉環特征根s1,s2,…,sn的均具有負實部，當t→∞時，c(t)表達式中的第一項逐漸趨于0，即為系統暫態響應。系統最終的穩態輸出為

在極坐標下，和關于橫軸對稱，則有

式中，,為待定系數。其中(5-11)式(5-14)表明：線性系統的輸入端加一頻率為

正弦信號時，系統輸出的穩態值是與輸入同頻率的正弦信號，其幅值和相位是頻率

的函數。穩態輸出幅值與輸入幅值之比為|G(j)|；穩態輸出與輸入的相位相差∠G(j)。代入式(5-11)，則有

(5-14)根據頻率特性的定義，則有系統的幅頻特性

事實上，只要將系統傳遞函數中的s用j

代替，便可得到系統的頻率特性，即有可見，系統頻率特性和系統傳遞函數之間存在直接的內在聯系。頻率特性G(j

)是傳遞函數G(s)的一種特殊形式，它和系統的微分方程、傳遞函數一樣都反映了系統的固有特性。

系統的相頻特性系統的頻率特性

頻率特性G(j

)是

的復變函數，既可分解為幅頻特性和相頻特性，也可分解為實頻特性和虛頻特性，即有式中，

5.1.2頻率特性的性質頻率特性的性質主要包括以下幾個方面。(1)頻率特性描述了系統的內在特性，與外界因素無關。當系統結構參數給定，則頻率特性就完全確定。因此，頻率特性也是控制系統的一種數學模型。(2)頻率特性的定義為線性系統正弦輸入作用下，輸出穩態分量和輸入的復數比。因此，頻率特性是系統的穩態響應。(3)G(j

)、A(

)和(

)都是頻率

的函數，并隨頻率的改變而改變，與輸入幅值無關。(4)頻率特性反映了系統性能，不同的性能指標對系統頻率特性提出不同的要求。反之，根據系統的頻率特性可確定系統的性能指標。(5)大多數實際控制系統的輸出幅值A(

)隨頻率

的升高而衰減，呈現低通濾波器的特性。(6)頻率特性一般適用于線性系統(元件)的分析，但也可推廣到某些非線性系統的分析。5.1.3頻率特性的圖形表示常用的頻率特性曲線有以下兩種。

1．幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線以

為參變量，將幅頻特性A(

)和相頻特性(

)表示在復數平面上，復平面上的模值表示幅頻值，幅角表示相頻值，實軸正方向為相角零度線。逆時針旋轉的角度為正角度，順時針旋轉的角度為負角度。幅相頻率特性曲線也稱奈奎斯特(Nyquist)圖(簡稱奈氏圖)或極坐標圖。實際中常采用概略繪圖方法。其作圖方法是：取起點(

=0)，終點(

=∞)兩點及0<

<∞之間的一些特殊點，如轉折頻率(

=1/T)處及與負實軸的交點，計算這些點處的幅頻值和相頻值，在幅相平面上找出這些點，并用光滑的曲線將它們連接起來。當頻率

從零變到無窮大時，幅相頻率特性向量終端的運動軌跡，即為幅相頻率特性曲線。RC電路的頻率特性為

取

=0、

=∞及

=1/T點，分別計算這三點處的幅頻值和相頻值如下：當

=0時，

繪制的幅相頻率特性曲線如圖5-3所示。圖中，|OA|=0.707，=-45。。當

=∞時，

當

=1/T時，

圖5-3RC電路的幅相頻率特性曲線

2．對數頻率特性曲線

對數頻率特性曲線又稱伯德(Bode)圖，包括對數幅頻特性和對數相頻特性兩幅圖。對數幅頻特性的橫坐標表示頻率

，按

的對數(lg

)分度，稱為對數分度，單位為弧度/秒(rad/s)。頻率

每變化10倍，稱為10倍頻程，記作dec。縱坐標表示幅頻特性A(

)的對數值，按線性分度，單位為分貝(dB)，記作L(

)，有其坐標如圖5-4所示。圖中的橫坐標采用對數分度，為了讀數方便，仍以角頻率

的真值標注。橫坐標采用對數分度后，對

而言是不均勻的，但對lg

而言卻是均勻的。由于橫軸以對數分度，故其零頻率在線性分度的負無窮處。圖中的縱坐標采用線性分度，A(

)每變化10倍，L(

)變化20dB。對數相頻特性的橫坐標和對數幅頻特性的橫坐標相同，其縱坐標表示相角變化(

)，按線性分度，單位是度(°)。

在繪制對數幅頻特性時，常用漸近線(分段直線)來近似精確曲線，大大簡化了頻率特性的計算和繪制。圖5-4對數坐標圖

采用對數坐標圖的優點：(1)對數幅頻特性采用頻率

的對數分度實現了橫坐標的非線性壓縮，可在一張圖紙上清楚地畫出頻率特性的低、中、高頻段的特性。(2)采用對數幅頻特性將幅值的乘除運算轉化為加減運算，可以簡化圖形的處理和分析計算。(3)對數幅頻率特性曲線是建立在漸近線基礎上的，可以利用簡便的方法來繪制近似的幅頻特性曲線。5.2典型環節的頻率特性

1．比例(放大)環節利用頻域分析法研究控制系統的性能，必須掌握幾種典型環節的幅相頻率特性和對數頻率特性的繪制方法及其特點。

比例環節的傳遞函數為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為

顯然，頻率特性與頻率

無關。幅相頻率特性是實軸上的一個K點，奈氏圖如圖5-6所示。對數幅頻特性是一條高度為20lgK且平行于橫軸的直線，當K>1時，L(

)的值為正，當K<1時，L(

)的值為負。對數相頻特性

(

)是與線(橫軸)重合，伯德圖如圖5-7所示。圖5-6比例環節的奈氏圖

圖5-7比例環節的伯德圖2.積分環節理想積分環節傳遞函數為

顯然，理想積分環節的幅相頻率特性的特點是A(

)與頻率

成反比，而(

)恒為。奈氏圖如圖5-8所示，當

從0→∞時，幅頻特性由負虛軸的無窮遠處趨于原點。頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為

理想積分環節的對數幅頻特性L(

)是在

=1處穿過0dB線(橫軸)，斜率為-20dB/dec的直線。對數相頻特性是一條平行與橫軸的直線，其縱坐標為。伯德圖如圖5-9所示。

圖5-8理想積分環節的奈氏圖

圖5-9理想積分環節的伯德圖

1.4自動控制系統的應用舉例若積分環節的傳遞函數為頻率特性為

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為對數幅頻特性L(

)是一條斜率為每10倍頻程下降20dB的直線。當Ti=1，即為理想積分環節時，L(

)直線過橫軸

=1點，當Ti≠1時，L(

)直線過橫軸點。對數相頻特性與理想積分環節相同。對數幅頻特性如圖5-10所示。圖5-10積分環節對數幅頻特性若有ν個積分環節串聯在一起，即

頻率特性為對數幅頻特性和對數相頻特性分別為顯然，其對數幅頻特性L(

)是一條在

=1處穿過0dB線(橫軸)，斜率為-ν20dB/dec的直線，對數相頻特性是通過-90°且平行于橫軸的直線。

3．微分環節顯然，理想微分環節的幅相頻率特性的特點是A(

)與頻率

成正比，而(

)恒為。奈氏圖如圖5-11所示，當

從0→∞時，幅頻特性與正虛軸重合。

理想微分環節傳遞函數為

頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為對數幅頻特性和對數相頻特性分別為

理想微分環節的對數幅頻特性L(

)是一條在

=1處穿過0dB線(橫軸)，斜率為20dB/dec的直線。對數相頻特性是一條平行與橫軸的直線，其縱坐標為。伯德圖如圖5-12所示。圖5-11微分環節的奈氏圖圖5-12微分環節的伯德圖

若微分環節的傳遞函數為

伯德圖對稱于橫軸。對數幅頻特性L(

)是一條斜率為20dB/dec的直線。當Td

=1，即為理想微分環節時，L(

)直線過橫軸

=1點；當Td

1時，L(

)直線過橫軸

=1/Td點。對數相頻特性與理想微分相同。對數幅頻特性如圖5-13所示。

頻率特性為對數幅頻特性和對數相頻特性分別為圖5-13微分環節對數幅頻特性4．一階慣性環節

一階慣性環節傳遞函數為

頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為

可知，當

=0時，A(

)=1，(

)=0°，

逐漸增大，A(

)逐漸單調減小，(

)沿滯后方向逐漸增大。當

→∞時，A(

)=0，(

)=-90°，在

=1/T處，A(

)=，(

)=-45°。經過簡單運算可將一階慣性環節表示為圓的方程，即有

可見，慣性環節的幅相頻率特性的特點是一個以(0.5,j0)為圓心，0.5為半徑，位于第四象限的半圓，奈氏圖如圖5-14所示。式中，

為實頻特性；

為虛頻特性圖5-14慣性環節的奈氏圖

一階慣性環節的幅值隨

的增加而減小，具有低通濾波特性，一階慣性環節的相位隨

的增加而相位滯后增大，最大可達-90°，是一個相位滯后環節。采用漸近線近似表示一階慣性環節的對數幅頻特性。在低頻段時，即

T<<1，可近似認為

T=0，則L(

)≈20lg1

=0dB，是一條0dB的水平線，稱為低頻漸近線。在高頻段時，即

T>>1，可近似取L(

)≈20lg1-20lg

T=-20lg

T，是在

=1/T處穿過0dB線，斜率為-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。兩條漸近線在

=1/T處相交，交點頻率為

=1/T，稱為轉折頻率或交接頻率。采用漸近線表示對數幅頻特性曲線和精確曲線必然存在一定的誤差，其誤差如表5-1所示。由表可知，在轉折頻率

=1/T處誤差達到最大值為-3dB。

如需要精確曲線，可按表5-1，在

=0.1/T~10/T范圍內加以修正。

繪制對數相頻特性時，可給定若干

值，逐點求出(

)的值，再用光滑曲線連接即可。如取

=0時，則(

)=0°，取

=1/T時，則(

)=-45°，當→∞時，(

)=-90°。慣性環節對數頻率特性的伯德圖如圖5-15所示。對數相頻特性(

)關于

=1/T，()=-45°點中心對稱，如表5-2所示。

圖5-15慣性環節的伯德圖

5．一階微分環節一階微分環節傳遞函數為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為圖5-16一階微分環節的奈氏圖

可知，當

由0→∞時，A(

)由1→∞，(

)由0°→+90°，即一階微分環節是一個相位超前環節，其幅相頻率特性是在復平面中第一象限由(1,

j0)點出發，平行于正虛軸的一條直線，奈氏圖如圖5-16所示。一階微分環節的頻率特性和一階慣性環節的頻率特性互為倒數。因此，它們的對數幅頻特性關于0dB線互為鏡像對稱，相頻特性關于0°線互為鏡像對稱，一階微分環節的對數頻率特性的伯德圖如圖5-17所示，其對數幅頻特性曲線也用漸近線表示，由低頻段0dB水平線折為斜率+20dB/dec的高頻段，轉折頻率為

=1/T。圖5-17一階微分環節的伯德圖

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為

可見，振蕩環節的頻率特性是頻率和阻尼比的二元函數。以為參變量，在幅相頻率特性上取若干(0→∞)的特殊點，計算對應的A()和()的值，即可畫出幅相頻率特性。6．振蕩環節

振蕩環節傳遞函數為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

當=0時，A()=1，()=0°，幅相頻率特性曲線為正實軸上的點(1，j0)；當→∞時，A()→0，()→-180°，幅相頻率特性曲線沿負實軸的方向趨向原點；當=n時，A()=1/(2)，()=-90°，幅相頻率特性曲線與負虛軸相交，值越小，曲線與負虛軸交點距離原點越遠。振蕩環節的奈氏圖如圖5-18所示。圖5-18振蕩環節的奈氏圖振蕩環節的對數幅頻特性可由漸近線近似表示。在低頻段，即當<<n=1/T時，有L()≈-20lg1=0dB，則振蕩環節對數幅頻特性的低頻漸近線是0dB水平線；在高頻段，即當>>n=1/T時，有L()≈-20lg2/2n=-40lgT，則振蕩環節對數幅頻特性的高頻漸近線是一條在=n=1/T處穿過0dB線，斜率為-40dB/dec的直線。兩條漸近線直線在=n=1/T處相交，構成了振蕩環節的漸近線對數幅頻特性，轉折頻率為振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率n，漸近線對數幅頻特性與無關。振蕩環節的伯德圖如圖5-19所示。

圖5-19振蕩環節的伯德圖當=1/T時，漸近線對數幅頻特性與精確曲線的誤差為對于不同

值，上述誤差值如表5-3所示。當

在0.4～0.7之間取值，誤差較小(<3dB)，可不用修正漸近線對數幅頻特性。當

過小或過大時(

<0.4或

>0.7)，則應作適當修正。當

<0.707時，對數幅頻特性上出現“突起”峰值，稱為諧振峰值Mr，對應的頻率稱為諧振頻率

r。

可求得諧振頻率為

由則諧振峰值Mr為振蕩環節的對數相頻特性通過取定若干特殊點繪制。當

=0時，(

)=0°；當

=n=1/T時，(

)=-90°；當

→∞時，(

)→-180°。可見，振蕩環節也是一個相位滯后環節，相位滯后隨

增加而增大，且與阻尼比

值有關，最大滯后角為-180°。

振蕩環節的對數相頻特性隨阻尼比

不同，其在轉折頻率附近的變化速度也不同。

越小，相頻特性在轉折頻率附近的變化速度越大，而在遠離轉折頻率處的變化速度越小，如圖5-19所示。7．延遲環節延遲環節的傳遞函數為

頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對數幅頻特性和對數相頻特性為

延遲環節的幅頻特性恒為1，與

無關，相頻特性是與

成正比的負相移。它的幅相頻率特性是一個以坐標原點為圓心，以1為半徑的單位圓。奈氏圖如圖5-20所示。圖5-20延遲環節的奈氏圖

圖5-21延遲環節的伯德圖延遲環節的對數幅頻特性是一條與0dB線(橫軸)重合的直線，與

和

都無關；對數相頻特性是一條隨

增大而相角滯后增大的曲線。因此，延遲環節對系統的穩定性非常不利。延遲環節的伯德圖如圖5-21所示。8．非最小相位系統

在開環傳遞函數中不含有s右半平面的極點或零點且無延遲環節的系統，則稱為最小相位系統。

不穩定慣性環節的傳遞函數為頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

對數幅頻特性和對數相頻特性分別為不穩定慣性環節的幅頻特性與慣性環節的幅頻特性完全相同，而相頻特性卻大不一樣。當

從0→∞變化時，慣性環節相角變化為0°→-90°，而不穩定慣性環節相角變化為-180°→-90°。慣性環節的滯后相移最小，故稱其為最小相位系統。不穩定慣性環節稱為非最小相位系統，奈氏圖如圖5-22所示。不穩定慣性環節的奈氏曲線與慣性環節的奈氏曲線關于虛軸對稱。

圖5-22不穩定慣性環節的奈氏圖

不穩定慣性環節的對數幅頻特性與慣性環節的對數幅頻特性完全相同，而對數相頻特性則關于-90°線成鏡像對稱。不穩定慣性環節的伯德圖如圖5-23所示。最小相位系統有一個重要性質是其幅頻特性與相頻特性之間有唯一的對應關系。

圖5-23不穩定慣性環節的伯德圖

5.3系統開環頻率特性曲線的繪制

5.3.1系統開環幅相頻率特性曲線的繪制

系統開環傳遞函數一般可表示為

系統頻率特性為

式中，

i,Tj為時間常數，n為系統的階次，ν為積分環節的個數，K為開環增益。系統開環幅頻特性和相頻特性的可表示為

(1)開環幅相曲線的起始點。當

→0時，開環幅相曲線的起始點取決于開環傳遞函數中積分環節的個數(系統型數)和開環增益K。當

=0(0型系統)時，開環幅相曲線在

=0時始于復平面上(K，j0)點；當

=1(Ⅰ型系統)時，開環幅相曲線始于無窮遠處，曲線趨于與負虛軸平行的一條漸近線，漸近線與虛軸的距離為；當

=2(Ⅱ型系統)時，開環幅相曲線始于以負實軸為漸近線的無窮遠處。奈氏圖的起點情況如圖5-24所示。圖5-24奈氏圖的起點(2)開環幅相曲線終止點。當

→∞

時，有開環幅相曲線以-(n-m)×90方向終止于坐標原點，且曲線與某坐標軸相切。奈氏圖的終點情況如圖5-25所示。(n>m)圖5-25奈氏圖的終點(3)開環幅相曲線與負實軸的交點。開環幅相曲線與負實軸的交點頻率及交點處的幅值，可由求出交點頻率，再代入，計算出交點處幅值。(4)開環幅相曲線與負虛軸的交點。開環幅相曲線與負虛軸的交點頻率及交點處的幅值，可由求出交點頻率，再代入，計算出交點處幅值。(5)若ν=0，n=m，則開環幅相曲線將始于實軸上某一有限點而止于實軸上另一有限點。【例5-1】系統的開環傳遞函數為

試繪制系統奈氏圖。解：G(s)為0型系統，n-m=2

幅頻特性相頻特性起始點：

終止點：

令得，，求得則所以，曲線與虛軸交于(0,-4.71)，交點的頻率值為。系統的奈氏圖如圖5-26所示。

圖5-26例5-1系統奈氏圖

【例5-2】系統開環傳遞函數為

試繪制系統奈氏圖。解：G(s)為Ⅰ型系統，n-m=2

幅頻特性相頻特性起始點：

終止點：

因為則低頻開環幅頻曲線漸近線與虛軸的距離為系統奈氏圖如圖5-27所示。圖5-27例5-2系統奈氏圖

5.3.2系統開環對數頻率特性曲線的繪制

系統開環傳遞函數通常可表示為若干典型環節的串聯形式，即

則系統的頻率特性為

系統對數幅頻特性和對數相頻特性為繪制系統開環對數頻率特性的一般步驟如下所述。(1)將開環傳遞函數寫為各環節串聯的標準形式，并確定開環增益K。(2)確定各環節的轉折頻率，并由小到大依次標注在頻率軸上。注意，由于比例環節和積分環節沒有轉折頻率，可以排在最左邊。(3)繪制開環對數幅頻特性的漸近線。漸近線由若干條分段直線所組成，在低頻段(

→0)時，，其中，v為積分環節數。故L(

)的低頻段斜率為-v20dB/dec的直線，其位置確定方法為：①過

=1，高度為L(

)=20lgK的點作斜率為-v20dB/dec的直線；②當v≥1時，令，則L(

)的低頻段或其延長線與0dB線交點頻率為。點(

=1,20lgK)和點(,0dB)的連線，即為斜率-v20dB/dec的直線。以低頻段作為分段直線的起始段向中、高頻段延伸，每遇到一個環節的轉折頻率就改變一次分段直線的斜率。(4)如有必要，可對繪出的對數幅頻特性漸近線的轉折頻率及其附近(兩側各10倍頻程內)進行適當誤差修正，以獲得精確的對數幅頻特性曲線。(5)相頻特性曲線的繪制可根據開環相頻特性的表達式，在低頻、中頻及高頻區域中各選擇若干個頻率進行計算，然后連成光滑曲線。

在實際工程中，對于相頻特性除了解相頻特性的大致的變化趨勢外，更關心的是L(

)和0dB線交點頻率

c(稱為截止頻率、穿越頻率或剪切頻率)處的相角。

1.0型系統對于0型系統

在低頻起始段時，

很小，有，則，即0型系統幅頻特性曲線起始段的高度為20lgKdB。0型系統低頻起始段的伯德圖如圖5-30所示。圖5-300型系統低頻起始段的伯德圖

【例5-4】0型的系統開環傳遞函數為繪制系統的伯德圖。解：(1)系統由一個比例環節、兩個慣性環節組成。系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為(2)系統為0型，故低頻起始段為高度20lgKdB的水平線；

(3)在橫坐標上標出各環節的轉折頻率，即1=0.1rad/s，2=1rad/s。(4)在=1處，作高度為20lgK

dB的水平線；在1=0.1rad/s處，曲線斜率由0變為-20dB/dec；在2=1rad/s處，曲線斜率由-20dB/dec變為-40dB/dec，繪制出系統的開環對數幅頻特性漸近線。(5)分別畫出各典型環節的對數相頻特性曲線，并將各典型環節的對數相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，可得到系統的對數相頻特性曲線。系統伯德圖如圖5-31所示。圖5-31例5-4系統伯德圖2.Ⅰ型系統

對于Ⅰ型系統

Ⅰ型系統幅頻特性曲線的低頻起始段漸近線的斜率為-20dB/dec，且低頻段或低頻段漸近線的延長線在

=1時的高度為20lgKvdB；低頻段或低頻段漸近線的延長線與橫軸相交，交點處的頻率=Kv，如圖5-32所示。

(a)

=1位于低頻段(b)

=1位于低頻段的延長線圖5-32Ⅰ型系統低頻起始段的伯德圖

【例5-5】Ⅰ型的系統開環傳遞函數為

繪制系統的伯德圖。解：(1)系統由一個比例環節、一個積分環節、一個比例微分環節、兩個慣性環節組成。將系統開環頻率特性化為標準形式，即

則系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為

(2)系統為Ⅰ型，故低頻起始段漸近線的斜率為-20dB/dec，低頻段在=1時的高度為20lg10=20dB。(3)在橫坐標上標出各環節的轉折頻率，即1=1rad/s，2=2rad/s，3=20rad/s。(4)找到=1處，高度為20dB的點，通過該點作斜率為-20dB/dec的直線，并且在1=1rad/s、2=2rad/s、3=20rad/s處，改變線段斜率，即可繪制出系統開環對數幅頻特性漸近線。(5)分別畫出各典型環節的對數相頻特性曲線，并將各典型環節的對數相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，可得到系統的對數相頻特性曲線。系統伯德圖如圖5-33所示。

圖5-33例5-5系統伯德圖3.Ⅱ型系統

對于Ⅱ型系統Ⅱ型系統幅頻特性曲線的低頻起始段漸近線的斜率為-40dB/dec，且低頻段或低頻段漸近線的延長線在=1時的高度為20lgKadB；低頻段或低頻段漸近線的延長線與橫軸相交，交點處的頻率，如圖5-34所示。

(a)低頻段與橫軸相交(b)低頻段延長線與橫軸相交圖5-34Ⅱ型系統低頻起始段的伯德圖【例5-6】某一最小相位系統的開環對數幅頻特性的漸近線曲線如圖5-35所示。若已知a、1、2參數，試分別寫出系統開環傳遞函數G(s)和

=c時相角(c)的表達式。解：(1)由圖可知，該系統為Ⅱ型系統，由比例環節、兩個積分環節、一個比例微分環節和一個慣性環節組成。圖5-35【例5-6】系統開環對數幅頻特性

(2)寫出開環傳遞函數的表達式為(3)計算各環節的參數由于而則有解得于是系統開環傳遞函數為(4)求剪切頻率

c和(

c)由于而則有解得5.4利用頻率特性法分析控制系統的性能5.4.1控制系統的穩定性分析1.奈奎斯特穩定判據

奈奎斯特穩定判據(簡稱奈氏判據)為：閉環系統穩定的充要條件是式中，z為閉環系統在s右半平面的極點數；p為開環系統在s右半平面的極點數；N為當

從0～∞變化時，開環幅相特性曲線圍繞(-1,j0)點轉過的圈數(以逆時針方向為正)。

判據說明：

(1)若開環系統穩定(p=0)，則閉環系統穩定的充要條件是N=0，即奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)點。(5-57)(2)若開環系統不穩定(p

0)，則閉環系統穩定的充要條件是N=p/2。(3)開環系統含有積分環節時，式(5-57)不變，只需將奈奎斯特曲線相應頻率從

=0到

=0+順時針補充半徑為∞，角度為v×90°的大圓弧(v所含積分環節的個數)。設開環系統穩定(p=0)，系統開環幅相頻率特性的三種情況如圖5-36所示。

(a)不包圍(-1,j0)點(b)包圍(-1,j0)點(c)過(-1,j0)點圖5-36系統開環幅相頻率特性的3種情況

圖5-36(a)所示奈奎斯特曲線不包圍(-1,

j0)點，閉環系統穩定；圖5-36(b)所示奈奎斯特曲線包圍(-1,j0)點的圈數為N=-1，則z=p-2N=0-2×(-1)=2，不滿足奈氏判據的條件，閉環系統不穩定；圖5-36(c)所示奈奎斯特曲線正好通過(-1,j0)點，閉環系統臨界穩定。

開環不穩定(p

0)和開環系統含有積分環節的開環幅相頻率特性如圖5-37所示，其中，p為開環不穩定極點的個數，v為所含積分環節的個數。

圖5-37(a)曲線包圍(-1,j0)點的圈數為N=1，則z=p-2N=2-2×1=0，閉環系統穩定；(a)p=2,v=0情況(b)p=1,v=1情況(c)p=0,v=2情況圖5-37系統開環幅相頻率特性圖5-37(b)從

=0到

=0+順時針補充半徑為∞，角度為90°的大圓弧，曲線包圍(-1，j0)點的圈數為N=1/2，則z=p-2N=1-2×(1/2)=0，閉環系統穩定；圖5-37(c)從

=0到

=0+順時針補充半徑為∞，角度為180°的大圓弧，曲線包圍(-1,j0)點的圈數為N=-1，則z=p-2N=0-2×(-1)=2，閉環系統不穩定。

2.對數頻率穩定判據利用開環系統的伯德圖來判別閉環系統的穩定性，稱之為對數頻率穩定判據，它實際上是奈氏穩定判據的另一種表述形式。

系統開環頻率特性的奈氏圖和伯德圖之間的對應關系如圖5-38所示，由圖可知：奈氏圖上|Gk

(j

)|=1的單位圓對應伯德圖對數幅頻特性0dB線；奈氏圖上單位圓以外對應伯德圖對數幅頻特性L(

)>0的部分；奈氏圖上單位圓內部對應伯德圖對數幅頻特性L(

)<0的部分；奈氏圖上的負實軸對應伯德圖上相頻特性的-180°線。

(a)奈氏圖(b)伯德圖圖5-38系統奈氏圖和伯德圖的對應關系

若規定開環幅相特性曲線沿

增加方向，由上往下穿過(-∞,-1)的負實軸一次，稱為一個正穿越；由下往上穿過(-∞,-1)的負實軸一次，稱為一個負穿越；幅相特性曲線從(-∞,-1)的負實軸開始向下(向上)稱為半個正(負)穿越。

正、負穿越對應于伯德圖上是：在L()>0的頻段內，隨增加，相頻特性()曲線從下往上穿過-180°線，稱為()對-180°線的正穿越(相角增加)；反之，稱為負穿越(相角減少)。相頻特性()曲線從-180°線開始往上稱為半個正穿越，()從-180°線開始往下稱為半個負穿越。

對數頻率穩定判據表述為：當由0→∞時，在開環對數幅頻特性L()≥0的頻段內，相頻特性()穿越-180°線的次數N為p/2(N=N+-N-)。p為s右半平面開環極點數，N+為正穿越次數，N-為負穿越次數。

【例5-7】系統的開環傳遞函數為試畫出K=2，K=50時的伯德圖，并判斷其穩定性。解：因v=1，故應在()的=0+處補充—段從上而下、變化范圍為-90°的直線，如圖中虛線所示。當K=2時，系統對數幅頻特性在L()≥0的頻段內，()不穿越-180°線，故系統穩定。當K=50時，系統對數幅頻特性在L()≥0的頻段內，N+=0，N-=1，N=N+-N-=-10，故系統不穩定。說明隨開環增益增大K，系統的穩定性下降。圖5-39例5-7系統伯德圖

3.穩定裕度穩定裕度可以表征閉環系統的穩定程度，即為系統的相對穩定性。若開環系統穩定，則閉環系統穩定的充要條件為：系統的奈奎斯特曲線G(j

)不包圍(-1,j0)點，而當奈奎斯特曲線正好穿過(-1,j0)點時，系統處于臨界穩定狀態。因此，奈奎斯特曲線靠近(-1,

j0)點程度表征了系統的相對穩定性。圖5-41所示為兩個系統的頻率特性和其對應的階躍響應曲線。

(a)穩定性高的奈氏圖和階躍響應(b)穩定性低的奈氏圖和階躍響應圖5-41系統頻率特性與階躍響應的對應關系

圖5-41(a)和圖5-41(b)對應的閉環系統均是穩定的，但圖5-41(a)系統的奈奎斯特曲線距離(-1,j0)點遠，系統的相對穩定性高。

規定以穩定裕度——相角裕度

和幅值裕度Kg，作為衡量閉環系統相對穩定性的定量指標。

和Kg在頻率特性上的圖示如圖5-42所示。對應于幅值A(

)=1(即L(

)=0)的角頻率稱為剪切頻率

c，在剪切頻率處，相頻特性距-180°線的相位差

稱為相角裕度，即對應于()等于-180°的頻率

g處，開環幅頻特性A(g)的倒數Kg稱為幅值裕度，即

在伯德圖上，幅值裕度以分貝(dB)表示。

(a)奈氏圖表示(b)伯德圖表示圖5-42相角裕度和幅值裕度的圖示當系統穩定時，

>0°稱為正相角裕度，Kg>1或20lgKg>0，稱為正幅值裕度；當系統不穩定時，

<0°稱為負相角裕度，Kg<1或20lgKg<0稱為負幅值裕度，如圖5-43所示。

(a)穩定系統(b)不穩定系統圖5-43系統的相角裕度和幅值裕度

對于最小相位系統只有當相角裕度

>0°、幅值裕度Kg≥1，即Kg(dB)≥0dB時，閉環系統才穩定。為使閉環系統具有良好的動態性能，通常要求=40°～65°，Kg≥2，即Kg(dB)≥6dB。最小相位系統的L()的斜率與相移()之間有唯一對應關系，為了保證足夠的相角裕度，在開環截止頻率c處L()的斜率應大于-40dB/dec。【例5-9】已知某最小相位系統開環對數幅頻特性如圖5-44所示，試求(1) 開環傳遞函數；(2) 開環剪切頻率c；(3)相角裕度

；(4)概步繪制系統開環對數相頻特性曲線()。圖5-44開環對數幅頻特性

解：(1)求系統開環傳遞函數。由L()各段斜率可知

L(

)起始段斜率為-40dB/dec，且和0dB線交于0=20rad/s，則有當

=1時，L(

)起始段為20lg4，則有

得

1=10rad/s，

=1/1=0.1s

由圖可得，T=1/2=0.01s

因此，系統開環傳遞函數為

(2)計算c由

可得

c=40rad/s

(3)計算相角裕度。(4)作(

)曲線如圖5-44所示。由圖可知，當→∞時，(

)→180°，所以，Kg=∞，該系統具有很好的相對穩定性。

5.4.2控制系統的性能分析1.三頻段與系統性能的關系利用開環頻率特性來分析閉環控制系統性能時，通常將開環頻率特性分成低、中、高三個頻率段，稱為三頻段。一般來說，開環頻率特性的第一個轉折頻率之前的部分稱為低頻段；剪切(穿越)頻率c附近的區段為中頻段；中頻段以后的部分(

>10c)為高頻段。

圖5-45典型開環頻率特性的三段頻

1)低頻段低頻段特性完全取決于系統開環增益K和系統型別(開環積分環節的數目v)。低頻段反映了系統的穩態性能。

低頻段對應的開環傳遞函數可近似為

對數幅頻特性為

低頻段的L(

)的漸近線是以斜率為-v20dB/dec的直線，如圖5-46所示。

圖5-46低頻段頻率特性

可以從低頻段的對數頻率特性上確定開環增益K的值。1）低頻漸近線(或其延長線)在

=1處，有L(1)=20lgK2）低頻漸近線或其延長線交于0dB線的頻率0和開環增益K的關系為K=。

2)中頻段中頻段是指L(

)在剪切頻率

c附近的頻段，其斜率及寬度集中反映了系統動態響應的平穩性和快速性。若系統開環對數幅頻特性的中頻段斜率為-20dB/dec，且占有一定的頻程寬度，可近似認為開環整個曲線為一條斜率為-20dB/dec的直線，如圖5-47所示。其對應的開環傳遞函數為對于單位反饋，閉環傳遞函數為

這相當于一階系統，其階躍響應按指數規律變化，無超調。調節時間。圖5-47中頻段對數幅頻特性(1)

剪切頻率

c反映了系統響應的快速性。若系統開環對數幅頻特性的中頻段斜率為-40dB/dec，且占有一定的頻程寬度，可近似認為開環整個曲線為一條斜率為-40dB/dec的直線，如圖5-48所示。其對應的開環傳遞函數為

對于單位反饋，閉環傳遞函數為相當于無阻尼的二階系統，其動態響應持續振蕩，系統處于臨界穩定狀態。

圖5-48中頻段對數幅頻特性(2)

中頻段的斜率反映了系統響應的平穩性。通常，應取中頻段的斜率為-20dB/dec，且需占有一定的頻程寬度。

3)高頻段高頻段特性主要由系統中小時間常數的環節決定，其轉折頻率和剪切頻率

c相距較遠，且分貝值較小。因此，對系統的動態性能影響不大。高頻段系統的開環對數幅頻特性的幅值大小，卻反映了系統對輸入端高頻干擾的抑止能力，高頻段分貝值越低，系統抗高頻干擾的能力越強。

在開環對數幅頻特性的三個頻段中，低頻段決定了系統的穩態精度；中頻段決定了系統的平穩性和快速性；高頻段決定了系統的抗干擾能力。

2.頻率特性與系統性能指標的關系1)二階系統開環頻域指標與時域指標的關系典型二階系統的開環頻率特性為

幅頻特性和相頻特性分別為

由于在

=c處，A(c)=1，可得

求得系統的相角裕度為

(5-65)(5-66)相位裕度

與系統的阻尼比

有關，它們之間的關系曲線如圖5-49所示。

圖5-49二階系統

%、

與

的關系當0<

<0.707時，其關系近似表示為

=100

比較

、

%和

的關系曲線后可以看出，

越大，

%越小；

越小，

%越大。在時域分析中，當0<

<1時，

將式(5-65)代入上式，得

將式(5-66)代入式(5-68)，得(5-68)

(5-69)由式(5-69)可知，調節時間ts與

、c都有關。在

不變時，c越大，則ts越短。若兩二階系統的

相同，則它們的超調量

%大致相同，但其調節時間ts不同，c較大的系統，ts較短。剪切頻率c在頻率特性中是一個十分特殊的重要參數，它不僅影響系統的相位裕度，還影響動態過程的調節時間。

2)閉環頻率特性及其性能指標對于單位反饋系統，其閉環頻率特性為控制系統典型閉環幅頻特性曲線如圖5-51所示。衡量系統性能的閉環頻率指標主要如下。(1)零頻幅值M0

。閉環幅頻特性在

=0時的值稱為零頻幅值M0，即，它反映了系統的穩態精度。圖5-51控制系統的典型閉環幅頻特性(2)諧振峰值Mr。閉環幅頻特性的最大值和零頻幅值的比值稱為諧振峰值Mr。諧振峰值反映了系統的相對穩定性。一般而言，Mr值越大，則系統階躍響應的超調量也越大。通常希望系統的諧振峰值在1.1～1.4之間，相當于二階系統的

為0.4<

<0.7。

(3)諧振頻率r。產生諧振峰值對應的頻率稱為諧振頻率r。它在一定程度上反映了系統動態響應的速度。r越大，則動態響應越快。

(4)截止頻率b。

閉環幅頻特性下降到0.707M0或零頻幅值以下3dB時所對應的頻率稱為截止頻率b。

(5)頻帶寬度BW。頻率范圍0<

<b稱為頻帶寬度BW，它反映了系統對噪聲的濾波特性，同時也反映了系統的響應速度。BW越大，響應速度越快。反之，BW越小，只有較低頻率的信號才易通過，則動態響應往往比較緩慢。

5.4.3典型控制系統的頻域分析1.典型Ⅰ型系統頻域分析典型Ⅰ型系統的開環傳遞函數為

開環對數頻率特性如圖5-52所示。

圖5-52Ⅰ型系統開環對數頻率特性

Ⅰ型系統的開環傳遞函數中有兩個參數，即開環增益K和時間常數T。實際上，時間常數T往往是控制對象本身固有的，能夠由調節器改變的只有開環增益K。K改變的對數幅頻特性如圖5-53所示。由圖可以看出，典型Ⅰ型系統開環對數幅頻特性隨著K值的變化而上下平移。

圖5-53K值變化的對數頻率特性

要使系統中頻段的斜率為-20dB/dec，應有

c<1/T，又因為有c=K，所以，K<1/T或KT<1，否則，中頻段的穿越斜率為-40dB/dec，對系統穩定很不利。由c=K可知，典型Ⅰ型系統開環增益K越大，則剪切頻率c也越大，系統響應越快。而系統的相角裕度為，當c增大時，

將降低，說明快速性與穩定性之間的是相互矛盾的。在選擇參數時，應折中考慮。

1)典型Ⅰ型系統穩態性能典型Ⅰ型系統的穩態性能可用不同輸入信號作用下的穩態誤差來表示。對于典型Ⅰ型系統有Kv=K，Kp=∞、Ka=0

在不同輸入信號作用下的穩態誤差如表5-4所示。

可見，在階躍輸入下Ⅰ型系統在穩態時是無差的，但在斜坡輸入下，則存在恒值穩態誤差，且與K值成反比，在拋物線(加速度)輸入下穩態誤差是∞，故Ⅰ型系統不能用于具有加速度輸入的隨動系統。2)典型Ⅰ型系統動態性能典型Ⅰ型系統單位反饋的閉環傳遞函數為式中，

且有

在Ⅰ型系統中KT<1，故

>0.5。在典型Ⅰ型系統中，取0.5<

<1。根據阻尼比

和T或K可計算系統動態性能指標。

(1) 時域指標。超調量

上升時間

調節時間

(當

<0.9時)(2) 開環頻域指標。剪切頻率

準確的剪切頻率

相角裕度

(當KT<1時)

在0.5～1范圍的性能指標的計算結果如表5-5所示。表5-5Ⅰ型系統的動態性能指標與參數的關系參數關系KT0.250.390.50.691.0阻尼比

1.00.80.7070.60.5上升時間tr∞6.67T4.72T3.34T2.41T調節時間ts9.4T6T6T6T6T超調量

%01.54.39.516.3剪切頻率c0.24/T0.37/T0.46/T0.59/T0.79/T相角裕度

76.3°69.9°65.3°59.2°51.8°從表5-5中可以看出，若KT值較大，即

為0.5～0.6，系統的動態響應快；若KT值較小，即

為0.8～1，系統的動態超調小；當KT=0.5時，即

=0.707，此時，2c=1/T，動態響應略有超調，稱為二階開環最優模型。

2.典型Ⅱ型系統頻域分析典型Ⅱ型系統的開環傳遞函數為開環對數頻率特性如圖5-54所示。

可見，對數幅頻特性的中頻段以-20dB/dec的斜率穿越0dB線。系統含有一個重積分環節和一個慣性環節，系統分子上添加一個比例微分環節，將系統的相頻特性抬到-180°線以上，保證系統穩定。

圖5-54Ⅱ型系統開環對數頻率特性顯然，有，則相角裕度為可見，

比T大得越多，則系統穩定裕度越大。為了分析方便，引入一個新的變量，令

h是斜率為-20dB/dec的中頻段的寬度，稱為中頻寬。由圖5-54可以看出，，則有

由于T是系統固有的時間常數，可改變

調整中頻寬h，若中頻寬h給定，改變K可使開環對數幅頻特性上下平移，從而改變了剪切頻率c。

(5-80)只有一個確定的

c或K，可以得到最小的閉環幅頻特性峰值Mr，它們之間的關系為

對應的最小Mr峰值為

不同值h時計算出來的Mrmin值和對應的頻率比如表5-6所示。一般取h在7～12之間，系統的動態性能較好。

(5-81)表5-6不同值h最小Mr和最佳頻率比h345678910121518Mrmin2.001.671.501.401.331.291.251.221.181.141.122/c1.501.601.671.711.751.781.801.821.851.871.90c/12.02.53.03.54.04.55.05.56.58.09.51)典型Ⅱ型系統穩態性能典型Ⅱ型系統的穩態性能可用不同輸入信號作用下的穩態誤差來表示。在不同輸入信號作用下的穩態誤差如表5-7所示。

表5-7Ⅱ型系統在不同輸入信號作用下的穩態誤差輸入信號階躍輸入r(t)=A(t)斜坡輸入r(t)=At拋物線輸入r(t)=At2/2穩態誤差00A/K可見，在階躍和斜坡輸入下，Ⅱ型系統在穩態時都是無差的。在拋物線(加速度)輸入下，穩態誤差的大小與開環增益K成反比。

2)典型Ⅱ型系統動態性能按Mr最小原則設計參數，可得出時域和頻域指標的關系。將式(5-8