線性代數專題課一、重點和難點行列式的性質及其計算矩陣的運算、可逆矩陣、分塊矩陣、初等變換與初等矩陣、矩陣的秩、方陣的特征值與特征向量、矩陣相似對角化n維向量的線性運算、向量組的線性相關性、向量組的極大線性無關組齊次、非齊次線性方程組解的結構用正交變換化二次型為標準型二、行列式1

n階行列式的定義或其中為排列的逆序數.2

n階行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等.即.性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式為零.性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數，等于用數乘此行列式.推論2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和,則這個行列式等于兩個行列式之和.性質5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．3行列式按行和列展開余子式與代數余子式記作.劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，在階行列式中，把元素所在的第行和第列叫做元素的代數余子式．記關于代數余子式的重要性質當當當當當當4Cramer法則在線性方程組中若常數項不全為零，則稱此方程組為非齊次線性方程組；若常數項全為零，則稱此方程組為齊次線性方程組.如果線性方程組的系數行列式則線性方程組一定有解,且解是唯一的.如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零.5行列式的求法1）、定義法2）、展開法3）、加邊法4）、拆分法5）、遞推法6）、三角法7）、Laplace展開定理9）、綜合法8）、Vandermonde行列式10）、降階法（略）11）、定義證明證明12）、數學歸納法三、矩陣1、矩陣的定義定義）排成的行列的矩形數表，稱為數域由數域中的個數（記作：中的一個矩陣.F注：實矩陣、復矩陣、行矩陣、列矩陣、ｎ階方陣、方陣的行列式、兩矩陣同型、兩矩陣相等.2、幾種特殊的矩陣零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、數量矩陣、三角矩陣、負矩陣、對合矩陣、正交矩陣、冪等矩陣、階梯形、行最簡形矩陣、標準形3、矩陣的運算1）、加法注意:只有同型矩陣才能進行加法運算.若規定2）、數乘若規定3）、乘法若規定其中4）、冪規定若注：1、一般矩陣的冪無意義，除了方陣.2、ｋ只能是正整數.

把矩陣Ａ的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做Ａ的轉置矩陣，記作.5）、轉置設Ａ為ｎ階方陣，若，即，那么Ａ稱為對稱矩陣.設Ａ為ｎ階方陣，若，即，那么Ａ稱為反對稱矩陣.行列式的各個元素的代數余子式所構成矩陣的轉置.７）、伴隨矩陣記作８)、共軛矩陣當為復矩陣時，用表示的共軛復數，記，稱為的共軛矩陣.6）、方陣的行列式行列式（各元素的位置不變）叫做方陣Ａ的行列式.記作由ｎ階方陣Ａ的元素所構成的4、逆矩陣的概念和性質使得的逆矩陣記作1)、定義對于階矩陣，如果有一個階矩陣，則稱矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.定理1若矩陣可逆，則定理2矩陣可逆的充要條件是，且其中為矩陣的伴隨矩陣.2)、性質5、矩陣的分塊及運算規則對于行數和列數較高的矩陣，為了簡化運算，經常采用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的運算規律與普通矩陣規律運算相類似.分塊對角矩陣都是方陣.1）2）3）若則有若，則有分塊對角矩陣的性質：4）若則均為可逆方陣.5）若則6、矩陣的初等變換（ElementaryTransformation）1）、定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換.（1）互換兩行：（2）數乘某行：（3）倍加某行：同理，把換成可定義矩陣的初等列變換.ERTECT定義矩陣的初等列變換與初等行變換統稱為矩陣的初等變換．ET定義經過有限次初等變換變成矩陣，如果矩陣就稱矩陣，記作等價關系的性質：反身性、對稱性、傳遞性.2）、初等矩陣的概念相應的，三種初等變換對應著三種初等方陣.定義就稱為初等矩陣.１、對調２、數乘３、倍加7、矩陣的秩定義（1）（2）則稱為矩陣的最高階非零子式.記為或.最高階非零子式的階數稱為矩陣的秩，，則稱定義階方陣，為滿秩陣.定義，則稱為行滿秩陣；，則稱為列滿秩陣；，則稱為降秩陣.定義所有與Ａ等價的矩陣的集合稱為一個等價類.8、初等矩陣的應用1）、求逆2）、求方程矩陣方程解9、方陣的特征值與特征向量定義Ａ為ｎ階方陣，λ為數，為ｎ維非零向量，若則λ稱為Ａ的特征值，稱為Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；③ｎ階方陣Ａ的特征值，就是使齊次線性方程組①特征向量，特征值問題只針對于方陣；有非零解的λ值，即滿足的λ都是方陣Ａ的特征值．定義稱以λ為未知數的一元ｎ次方程為Ａ的特征方程．定義稱以λ為變量的一元ｎ次多項式為Ａ的特征多項式．定理設ｎ階方陣的特征值為則Ａ的特征值與特征向量的求法(1)由特征方程求出矩陣Ａ的全部特征值1,2,…,n，其中r重根對應Ａ的r個數值相同的特征根。(2)把特征值代入(I-Ａ)X=0，求其特征向量。10、矩陣相似對角化1）

定義設Ａ、Ｂ都是ｎ階矩陣，若有可逆矩陣Ｐ，使得則稱Ｂ是Ａ的相似矩陣，或者說矩陣Ａ與Ｂ相似．稱為對Ａ進行相似變換，對Ａ進行運算可逆矩陣Ｐ稱為把Ａ變成Ｂ的相似變換矩陣．記作：Ａ∽Ｂ．2）

矩陣相似對角化若能尋得相似變換矩陣Ｐ使對ｎ階方陣Ａ，稱之為把方陣Ａ對角化．Λ的主對角線上的元素就是Ａ的全部特征值；是Ａ的ｎ個線性無關的特征向量。四、ｎ維向量空間１）、定義ｎ個數組成的有序數組稱為一個ｎ維向量，其中稱為第個分量（坐標）.記作ｎ維向量寫成一行稱為行向量，記作ｎ維向量寫成一列稱為列向量，２）、幾種特殊向量實向量，復向量，零向量，單位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的個數、什么是向量的維數，二者必須分清.３）、矩陣與向量的關系１、ｎ維向量

若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組．５）、向量組６）、向量空間設Ｖ為ｎ維非空向量組，且滿足①對加法封閉②對數乘封閉那么就稱集合Ｖ為向量空間.４）、向量的運算向量的運算采用與矩陣相同的運算規律.2、向量的線性相關性1）、基本概念定義Ⅰ

給定向量組，對于任何一組數，稱向量為向量組的一個線性組合（LinearCombination）.為組合的組合系數(CombinationCoefficient).定義Ⅱ

設向量組及向量β有關系則β稱為向量組的一個線性組合，或稱β可由向量組Ａ線性表示（LinearExpression）.稱為β在該線性組合下的組合系數.定義Ⅲ設兩向量組若向量組Ａ中每一個向量皆可由向量組Ｂ線性表示，則稱向量組Ａ可以由向量組Ｂ線性表示.若兩個向量組可以互相線性表示，則稱這兩向量組等價.向量組之間的等價關系具有反身性、對稱性、傳遞性.定義Ⅳ

設ｎ維向量組為零的數，使得則稱向量組，如果存在不全線性相關(LinearDependent).反之，若當且僅當，才有則稱向量組線性無關(LinearIndependent).即存在矩陣3、向量組的秩１)、極大線性無關組②線性相關.若滿足：設是一個向量組，它的某一個部分組２)、向量組的秩向量組的極大無關組所含向量個數稱為向量組的秩．記作：Ｒ(Ａ)

或①線性無關；則稱為Ａ的一個極大線性無關組.３)、向量組的秩與矩陣的秩的關系定義矩陣Ａ的列向量組的秩稱為列秩，記為：Ａ的行向量組的秩稱為行秩，記為：定理結論①，則所在行（列）向量組線性無關.②，則Ａ的任ｒ行（列）向量組線性相關.③，且含有的，則.定理有相同的線性關系.相同的線性關系是指：已知ｎ維列向量組若對Ａ施行初等行變換把Ａ化為則向量組①線性表示，且表達式的系數對應相同.②線性表示，對應的③極大無關組相對應.4、向量空間1)定義②線性相關.若滿足：設Ｖ是一個向量空間，它的某ｒ個向量Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的線性組合，記作：dimＶ.①線性無關；則稱為Ｖ的一個基.ｒ稱為Ｖ的維數.且表達式唯一，其組合系數稱為向量在該基下的坐標.2)向量空間的坐標設為向量空間Ｖ的一個基，則任取Ｖ，可唯一地表示為=x11+x22+…+xrr=[1,2,…,r]x1

x2

xr

...則X=[x1,x2,…,xr]T稱為關于基{1,2,…,r}的坐標向量簡稱坐標。3）

坐標變換[1

2…

r]X=對任意向量V，設在兩組基下坐標分別為X和Y，即=[1

2…

r]Y則=[1

2…

r]CY=[1

2…

r]YX=CY定理3.9設向量空間V的一組基{1,2,…,

r}到另一組基{1,

2,…,

r}的過渡矩陣為C。且V中一個向量在兩組基下的坐標分別為X和Y，則X=CY坐標變換公示5、歐式空間Rn1）、內積設ｎ維實向量稱實數為向量α與β的內積，記作2）、長度令為ｎ維向量α的長度（模或范數）.3)、夾角設α與β為ｎ維空間的兩個非零向量，α與β的夾角的余弦為因此α與β的夾角為4)、正交向量組當，稱α與β正交.5)、施密特（Schmidt）正交化法向量空間的基標準正交化.設為ｎ維向量組，下面命題等價①線性無關.②滿足的數當且僅當全為零.③④都不可由其余向量線性表示.⑤⑥向量組的極大線性無關組是其本身.⑦設則矩陣Ａ的秩為ｒ.⑧向量方程只有零解.⑨設則方程Ａｘ＝０只有零解.⑩不線性相關.設為ｎ維向量組，下面命題等價①線性相關.②滿足的數至少有組不為零.③④可由其余向量線性表示.⑤⑥向量組的極大線性無關組是真子集.⑦設矩陣Ａ的秩小于ｒ.⑧向量方程有非零解.⑨設則方程Ａｘ＝０有非零解.⑩不線性無關.設為ｎ維向量組，下面命題等價①線性表示.④非奇次線性方程Ａｘ＝β有解.③⑤

向量組的極大線性無關組也是②向量方程有解.的極大線性無關組.向量組Ａ可由Ｂ線性表示，則②

若ｒ＞ｓ，則Ａ線性相關.③

Ａ線性無關，則ｒ≤ｓ.④

Ｒ(Ａ)

≤Ｒ(Ｂ).⑤

等價向量組必有同秩．（反之則不然）①

存在矩陣定理如果向量組線性相關，則β可由Ａ唯一線性表示.線性無關，而向量組定理設向量組若Ａ線性相關,則向量組Ｂ也線性相關；反之，若向量組Ｂ線性無關，則向量組Ａ也線性無關.定理設向量組若Ａ線性無關，則向量組Ｂ也線性無關；反之，若向量組Ｂ線性相關，則向量組Ａ也線性相關.其中設ｎ元線性方程組的系數矩陣為Ａ，增廣１）線性方程組有唯一解矩陣為Ｂ，則２）線性方程組有無窮解３）線性方程組無解五、線性方程組1、線性方程組的解定義4.2對線性方程組施行的下列三種變換(1)交換兩個方程的位置(2)用一個非零數乘某一個方程(3)把某個方程的若干倍加到另外一個方程上。稱為線性方程組的初等變換。

用三種初等變換將一個線性方程組化成增廣矩陣是階梯型的線性方程組的過程稱為Gauss消元法。[A|b][C|d](行階梯型或行標準型)行初等變換2、Gauss消元法3、齊次線性方程組的解1）、基礎解系基礎解系，則方程組的通解可表示為：方程組的解空間中，它的某一個部分組②線性相關.①線性無關；則稱為齊次線性方程組的一組基礎解系.滿足：如果為齊次線性方程組的其中為任意實數.定理ｎ元齊次線性方程組的全體解所構成的集合Ｓ是一個向量空間，當系數矩陣的秩為ｒ時，解空間Ｓ的維數為ｎ-ｒ.當時，線性方程組必有含ｎ-ｒ個向量的基解系（此時解空間只含有零向量，稱為０維向量空間）當時，線性方程組只有零解，故沒有基礎礎解系，此時線性方程組的解可以表示為其中為任意實數，解空間可以表示為2）、基礎解系的求法１、對系數矩陣Ａ進行初等變換，將其化為最簡形２、得出，同時也可知方程組的一個基礎解系含有ｎ－ｒ個線性無關的解向量．故為齊次線性方程組的一個基礎解系.就為方程組的通解.其中為其導出組的通解，4、非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解為為非齊次線性方程組的任意一個特解.線性方程組有解，則以下命題等價：向量ｂ可由向量組線性表示.向量組等價.與向量組六、ｎ元二次型1、二次型定義的二次齊次多項式含有ｎ個變量①稱為二次型．或記為２、二次型的矩陣表示③2n

則二次型．其中矩陣Ａ為對稱矩陣.對稱矩陣Ａ向量

X定義1只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形或法式．定義2特別地，稱為二次型的規范形．3、二次型的標準形a11a22ann...11......-1-100...4、矩陣的合同1）定義設Ａ,Ｂ為ｎ階方陣，若存在ｎ階可逆陣Ｐ，使得則稱Ａ合同于Ｂ,記為①反身性②對稱性③傳遞性2）

性質④合同矩陣具有相同的秩.⑤與對稱矩陣合同的矩陣也是對稱矩陣.等價A

B5、化二次型為標準形的方法有拉格朗日配方法行列對稱初等變換正交變換法