廣東省六校2023屆高三第一次聯考數學（理科）本試卷共6頁，23小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2．作答選擇題時，選項出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目定區域內相應位置上；如需要改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則? A． B． C． D．2．若復數滿足，則的共軛復數的虛部為A． B． C． D．3．記為等差數列的前項和．若，，則 A． B． C． D．4．在區間上隨機取兩個實數，記向量，，則的概率為A． B． C． D．5．已知直線的傾斜角為，直線與雙曲線（）的左、右兩支分別交于、兩點，且、都垂直于軸（其中、分別為雙曲線的左、右焦點），則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．6．在△中，為的中點，點滿足，則 A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如右圖所示，數量單位為，它的體積是 A． B． C． D．8．已知是函數的最大值，若存在實數使得對任意實數總有成立，則的最小值為A． B． C． D．9．定義在上的函數滿足及，且在上有，則 A． B． C． D．10．拋物線上有一動弦，中點為，且弦的長度為，則點的縱坐標的最小值為 A． B． C． D．11．已知三棱錐中，，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為 A． B． C． D．12．已知數列滿足．設，為數列的前項和．若（常數），，則的最小值是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件則的最大值為．14．若，則的展開式中常數項為．15．已知點及圓，一光線從點出發，經軸上一點反射后與圓相切于點，則的值為．16．已知函數滿足，則的單調遞減區間是．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）在△中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面積．18．（12分）如圖甲，設正方形的邊長為3，點、分別在、上，且滿足，．如圖乙，將直角梯形沿折到的位置，使得點在平面上的射影恰好在上．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．19．（12分）某市大力推廣純電動汽車，對購買用戶依照車輛出廠續駛里程的行業標準，予以地方財政補貼．其補貼標準如下表：出廠續駛里程(公里)補貼（萬元/輛）344.52023年底隨機調査該市1000輛純電動汽車，統計其出廠續駛里程，得到頻率分布直方圖如上圖所示．用樣本估計總體，頻率估計概率，解決如下問題：（1）求該市每輛純電動汽車2023年地方財政補貼的均值；（2）某企業統計2023年其充電站100天中各天充電車輛數，得如下的頻數分布表：輛數天數20304010（同一組數據用該區間的中點值作代表）2023年2月，國家出臺政策，將純電動汽車財政補貼逐步轉移到充電基礎設施建設上來．該企業擬將轉移補貼資金用于添置新型充電設備．現有直流、交流兩種充電樁可供購置．直流充電樁5萬元/臺，每臺每天最多可以充電30輛車，每天維護費用500元/臺；交流充電樁1萬元/臺，每臺每天最多可以充電4輛車，每天維護費用80元/臺．該企業現有兩種購置方案：方案一：購買100臺直流充電樁和900臺交流充電樁；方案二：購買200臺直流充電樁和400臺交流充電樁．假設車輛充電時優先使用新設備，且充電一輛車產生25元的收入，用2023年的統計數據，分別估計該企業在兩種方案下新設備產生的日利潤.（日利潤日收入日維護費用）．20．（12分）已知圓與定點，動圓過點且與圓相切．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）若過定點的直線交軌跡于不同的兩點、，求弦長的最大值．21．（12分）已知函數．（1）求函數在上的值域；（2）若，恒成立，求實數的取值范圍．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4―4：坐標系與參數方程]（10分）在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．（1）求曲線的參數方程；（2）已知點在第一象限，四邊形是曲線的內接矩形，求內接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．23．[選修4―5：不等式選講]（10分）已知，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若，且當時，恒成立，求的取值范圍．數學（理科）參考答案一、選擇題1．A2．C3．D4．B5．D 6．A7．C8．B9．D10．A11．D 12．C二、填空題13．14．15． 16．（注意：寫閉區間也給分）三、解答題17．解析：（1）因為，由余弦定理，得，所以……………………2分，由正弦定理，得，……………4分又，，所以，，……………………5分所以．……………………6分（2）由，，得，，……7分所以，………8分由正弦定理，得，……………10分所以△的面積為．……………12分18．解析：（1）在圖甲中，易知，從而在圖乙中有，平面，平面，平面．……………………4分（2）法一：（傳統幾何法）略解如下：過點作于，連接，易證（略），即為所求二面角的平面角，易求得：，，，在中，．……………………12分法二：（向量法）如圖，在圖乙中作,垂足為,連接,由于平面，則,平面,則，圖甲中有，又，則、、三點共線．設的中點為,則,可證，，則，又由，得，，于是,，在中,，………………8分作交于點，則．以點為原點,分別以、、所在直線為、、軸,建立如圖丙所示的空間直角坐標系，則,,,，則,,是平面的一個法向量，易求得平面的一個法向量,…………10分設平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，，所以，平面與平面所成二面角的余弦值為．………………12分19．解析：（1）依題意可得純電動汽車地方財政補貼的分布列為：補貼（萬元/輛）344.5概率0.20.50.3……………………3分純電動汽車2023年地方財政補貼的平均數為(萬元)．……………………4分（2）由充電車輛天數的頻數分布表得每天需要充電車輛數的分布列：輛數6000700080009000概率0.20.30.40.1若采用方案一，100臺直流充電樁和900臺交流充電樁每天可充電車輛數為(輛）；……………………6分可得實際充電車輛數的分布列如下表：實際充電輛數60006600概率0.20.8于是方案一下新設備產生的日利潤均值為(元）；……………8分若采用方案二，200臺直流充電樁和400臺交流充電樁每天可充電車輛數為(輛）；……………………10分可得實際充電車輛數的分布列如下表：實際充電輛數600070007600概率0.20.30.5于是方案二下新設備產生的日利潤均值為(元)．………………12分20．解析：（1）設圓的半徑為，題意可知，點滿足：，，所以，，……………………3分由橢圓定義知點的軌跡為以為焦點的橢圓，且進而，故軌跡方程為：．……………5分（2）當直線斜率不存在時，，或，，此時弦長．……………6分當直線斜率存在時，設的方程為：，由消去得：，由△得，設、，可得：，，……………………7分，………9分令，則，，，當時，此時，．…………11分綜上，弦長的最大值為．……………………12分21．解析：（1）易知，…………1分在上單調遞減，，…………3分時，，…………4分在上的值域為．…………5分（2）令，則，……6分=1\*GB3①若，則由（1）可知，，在上單調遞增，，與題設矛盾，不符合要求；………………7分=2\*GB3②若，則由（1）可知，，在上單調遞減，，符合要求；…………………8分=3\*GB3③若，則，使得，且在上單調遞增，在上單調遞減，，…………9分，．由題：，即，，即．…………10分且由（1）可知在上單調遞減，．…………11分綜上，．…………12分22．解析：（1）的普通方程為，…………………2分經過變換后的方程為，此即為曲線的普通方程，……………4分曲線的參數方程為(為參數).…………5分（2）設四邊形的周長為，設點，，………6分且，，…………………7分，．…………9分且當時，取最大值，此時，所以，，，此時.……………10分23．解析：（1）當時，不等式即為，……………1分=1\*GB3①當時，不等式化為，解得；……………2分=2\*GB3②當時，不等式化為，解得；…………3分