[基礎題組練]1．(2020·陽示范高中聯考衡(二))用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個是偶數”的正確假設為( )A．自然數a，b，c中最少有兩個偶數B．自然數a，b，c中最少有兩個偶數或都是奇數C．自然數a，b，c都是奇數D．自然數a，b，c都是偶數分析：選B.“自然數a，b，c中恰有一個是偶數”說明有且只有一個是偶數，其否定是“自然數a，b，c均為奇數或自然數a，b，c中最少有兩個偶數”．2．分析法又稱執果索因法，已知x>0，用分析法證明x時，索的因是()1＋x<1＋2A．x2>2B．x2>4C．x2>0D．x2>11＋x<1＋x，只要證(1＋x)2<1＋22分析：選C.由于x>0，所以要證x，即證0<x，即224證x2>0，明顯x2>0成立，故原不等式成立．3．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，則△ABC必定是( )A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確立分析：選C.由sinAsinC＜cosAcosC得cosAcosC－sinAsinC＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是銳角，π從而B＞2，故△ABC必是鈍角三角形．x2ab1，a，b是正實數，A＝fa＋b，B＝f(ab)，C＝f，則A，4．已知函數f(x)＝22a＋bB，C的大小關系為()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤Aa＋b2ab1xa＋b分析：選A.由于2≥ab≥a＋b，又f(x)＝2在R上是減函數，所以f2≤f(ab)≤f2ab，即A≤B≤C.a＋b5．設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負值B．恒等于零C．恒為正當D．沒法確立正負分析：選A.由f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)是減少的，可知f(x)是R上的減函數，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.6．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應假設為．分析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，所以應假設為x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b7．設a＝3＋22，b＝2＋7，則a，b的大小關系為．分析：a＝3＋22，b＝2＋7，兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋7，明顯6<7，所以a<b.答案：a<b8．(2020贛·州模擬)假如aa＋bb＞ab＋ba，則a，b應滿足的條件是．分析：aa＋bb＞ab＋ba，即(a－b)2(a＋b)＞0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B1.(1)求證：a，b，c成等差數列；2π(2)若C＝3，求證：5a＝3b.證明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，由于sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數列．2π2222(2)由C＝3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)＝a＋b＋ab，即有5ab－3b＝0，即5a3b.10．已知四棱錐S-ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上能否存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD？若存在，確立F點的位置；若不存在，請說明原由．解：(1)證明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假設在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD.由于BC∥AD，BC?/平面SAD.所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，所以假設不成立．所以不存在這樣的點F，使得BF∥平面SAD.[綜合題組練]1．已知a，b，c∈R，若bcbc≥－2，則以下結論成立的是( )·>1且＋aaaaA．a，b，c同號B．b，c同號，a與它們異號C．a，c同號，b與它們異號D．b，c同號，a與b，c的符號關系不確立bc知bc分析：選A.由·>1a與同號，aaabc>0，不等式bc≥－2明顯成立，若>0且a＋aaabcbc若a<0且a<0，則－a>0，－a>0，－b＋－c≥2－b·－c>2，即b＋c<－2，aaaaaabcbc>0，即a，b，c同號．這與＋≥－2矛盾，故>0且aaaa2．(應用型)(一題多解)若二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區間[－1，1]內至少存在一點c，使f(c)＞0，則實數p的取值范圍是．分析：法一(補集法)：f(x)在區間[－1，1]內最少存在一點c.使f(c)>0，該結論的否定是對于區間[－1，1]內的任意一點c，都有f(c)≤0，f（－1）＝－2p2＋p＋1≤0，令解得p≤－3或p≥3，f（1）＝－2p2－3p＋9≤0，2故滿足條件的p的取值范圍為－3，32.法二(直接法)：依題意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，得－12＜p＜1或－3＜p＜32，故滿足條件的p的取值范圍是－3，32.答案：－3，323．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不一樣的交點，若f(c)＝0，且0<x<c時，f(x)>0.1(1)證明：a是f(x)＝0的一個根；1與c的大小．(2)試比較a解：(1)證明：由于f(x)的圖象與x軸有兩個不一樣的交點，所以f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，由于f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝c，a11≠c，所以x2a＝a所以1a是f(x)＝0的一個根．11(2)假設a<c，又a>0，由0<x<c時，f(x)>0，11知fa>0與fa＝0矛盾，所以1≥c，又由于1≠c，所以1>c.aaa4．(綜合型)若f(x)的定義域為[a，b]，值域為[a，b](a＜b)，則稱函數f(x)是[a，b]上的“四維光軍”函數．(1)設g(x)＝1x2－x＋3是[1，b]上的“四維光軍”函數，求常數b的值；221(2)能否存在常數a，b(a＞－2)，使函數h(x)＝是區間[a，b]上的“四維光軍”函數？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明原由．解：(1)由已知得g(x)＝12(x－1)2＋1，其圖象的對稱軸為x＝1，所以函數在區間[1，b]上是增添的，由“四維光軍”函數的定義可知，g(1)＝1，g(b)b，即1