系統（機械，電氣，過程等）建模方法機理或實驗數學模型（Tf,Ss,Zpk)性能分析穩定性、動態性能、魯棒性等若性能不滿足要求對系統進行校正校正方法（控制器設計方法）滯后-超前、PID、LQ最優等

第6章線性系統的校正方法為什么要介紹本章?前面討論了系統分析的基本方法。系統分析的目的是為了設計一個滿足要求的控制系統，當現有系統不滿足要求時，需要找到如何改善系統性能的方法，這就是系統的校正。本章主要講什么內容?本章介紹控制系統的校正方法。先介紹控制系統設計的一般步驟，闡明系統校正在系統設計中的地位和作用。然后著重介紹基于頻率法的超前、滯后、滯后——超前分析法校正方法，介紹期望特性法的基本思想，著重介紹工程上應用廣泛的按最佳二階系統和典型三階系統設計的工程設計方法。第6章線性系統的校正方法目前，工業技術界多習慣采用頻率法，故通常通過近似公式進行兩種指標的互換。控制系統的性能指標時域指標穩態型別、靜態誤差系數動態超調、調整時間頻域指標開環頻率、閉環帶寬、諧振峰值、諧振頻率增益穿越頻率、幅值裕度和相位裕度

二階系統頻域指標與時域指標的關系諧振頻率帶寬頻率截止頻率相位裕度(6-5)諧振峰值(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)超調量調節時間

(6-7)(6-6)既能以所需精度跟蹤輸入信號，又能抑制噪聲擾動信號。在控制系統實際運行中，輸入信號一般是低頻信號，而噪聲信號是高頻信號。系統帶寬的選擇帶寬頻率是一項重要指標。如果輸入信號的帶寬為則(6-11)選擇要求圖6-1系統帶寬的選擇噪聲輸入信號第6章線性系統的校正6.1引言

6.2超前校正6.3滯后校正6.4滯后-超前校正6.5串聯校正的綜合法6.6Simulink在控制系統仿真中的應用第6章線性系統的校正

6.1

引言

在已知一個自動控制系統的結構形式及其全部參數的基礎上，研究其穩定性條件，以及在典型輸入信號作用下，系統的穩態性能、瞬態性能與系統結構、參數和輸入信號之間的關系問題，稱為系統分析問題。在實際工程中，往往提出另外一個問題，即根據希望的穩態和瞬態性能指標，研究如何建立滿足性能要求的控制系統，這稱為系統設計問題（也稱為系統綜合問題）。在控制理論課程中，控制系統的設計問題主要是指校正裝置的設計。6.1.1控制系統的設計（1）分析被控對象的工作原理，明確控制目標，制定控制方案；

控制裝置執行元件-被控對象CR測量元件放大元件（6）設計校正裝置。為了使設計的控制系統滿足給定的性能指標，有必要在系統中引入一些附加裝置，改變整個系統的性能，從而滿足給定的各項性能指標要求。這些附加裝置稱為校正裝置或補償器。設計附加校正裝置的過程就稱為控制系統的校正。（2）選擇執行元件（型式、特性和參數）；（3）選擇測量元件（類型、特性和參數）；（4）選擇放大元件（前置放大，功率放大），要求放大器增益可調；（5）由初步選定的測量元件、放大元件和執行元件等作為控制裝置的基本組成元件，與被控對象一起，構成自動控制系統；6.1.2性能指標（1）常用的性能指標：

調節時間超調量靜態誤差系數相角裕度幅值裕度截止頻率諧振峰值諧振頻率帶寬零頻幅值比說明：1.不同的控制系統對動靜態性能指標的要求應有不同的側重。

2.

系統帶寬的選擇既要考慮信號的通過能力，又要考慮抗干擾能力。

3.性能指標的提出，應符合實際系統的需要與可能。

時域指標：開環頻域指標：閉環頻域指標：(2)高階系統頻域指標與時域指標的關系

諧振峰值

超調量

調節時間

相角裕度超調量

調節時間

6.1.3

校正的作用在系統初步設計階段，先選擇一些元部件（如執行元件、測量元件、放大元件）構成控制器的基本部分，一般情況下，除了放大器的增益，其它參數不易調整。然而在大多數實際情況中，僅僅調整增益不能使系統滿足給定的各項性能指標。因此，有必要在系統中引入適當的校正裝置以改變系統的結構和參數，從而滿足給定的各項性能指標要求。引入校正裝置的作用，從頻域來說，可以在不同頻段上對原系統開環頻率特性曲線的形狀進行相應的修改，使校正后的系統滿足穩態性能和瞬態性能的要求。應取K≥100，設K=100，作出系統的開環頻率特性曲線1，系統是不穩定的。

從閉環諧振峰值Mr=1.25出發，可求得K=1，系統不滿足指標。要求系統在斜坡函數作用下，穩態誤差ess≤0.01，且閉環諧振峰值,試選擇K。

例6-1

設控制系統的開環傳遞函數為：

可見，調整開環增益K無法同時滿足系統穩態誤差和諧振峰值的要求。解：

若引入校正裝置，使系統的開環幅相曲線如中的實線3所示，則可同時滿足系統穩態誤差和諧振峰值的要求。

根據穩態誤差的要求，6.1.4

校正方式校正裝置原有部分原有部分CR－－校正裝置原有部分CR－校正裝置原有部分CR—+校正裝置原有部分原有部分CR－+D串聯校正

反饋校正

復合校正

按照校正裝置在系統中的連接方式，控制系統校正方式可分為串聯校正、并聯、反饋校正、復合校正四種。其中，復合校正又分為按輸入補償的復合校正和按擾動補償的復合校正。

順饋校正

前饋校正

校正裝置并聯校正

6.1.5

校正裝置的設計方法常用的方法有根軌跡法和頻域法：根軌跡法：根軌跡設計方法通過在系統中增加適當的開環零、極點來修改系統原有的閉環根軌跡形狀，使校正后的根軌跡能夠經過希望的閉環極點。所需要增加的零、極點由校正裝置實現。一般來說，當性能指標以時域量給出時，例如給出超調量、調節時間、希望的閉環主導極點等，采用根軌跡法進行設計更為有效和方便。頻域法：系統開環頻率特性的低頻段表征了閉環系統的穩態性能，中頻段表征了閉環系統的動態性能，高頻段表征了閉環系統的抗擾性能。在博德圖上能方便地根據系統的開環頻率特性和給定的頻域指標確定校正裝置的參數。如果系統校正時要求滿足的性能指標屬頻域特征量，例如相位裕量、幅值裕量、諧振峰值和帶寬等，則通常采用頻域設計方法。反饋校正不需要放大器，可消除系統原有部分參數波動對系統性能的影響

串聯校正串聯校正裝置有源參數可調整

在性能指標要求較高的控制系統中，常兼用串聯校正和反饋校正

串聯、并聯、反饋和復合校正均改變閉環傳遞函數，前面三種方式改變閉環極點。6.1.6校正方法確定了校正方案以后，下面的問題就是如何確定校正裝置的結構和參數。目前主要有兩大類校正方法：分析法與綜合法。分析法又稱為試探法。這種方法是把校正裝置歸結為易于實現的幾種類型。例如，超前校正、滯后校正、滯后—超前校正等，它們的結構是已知的，而參數可調。

綜合法又稱為期望特性法。它的基本思想是按照設計任務所要求的性能指標，構造期望的數學模型，然后選擇校正裝置的數學模型，使系統校正后的數學模型等于期望的數學模型。系統的校正可以在時域內進行，也可以在頻域內進行。本章介紹頻域設計方法。用頻域法進行校正比較簡單，但頻域法的設計指標是間接指標。一般而言，當控制系統的開環增益增大到滿足其靜態性能所要求的數值時，系統有可能不穩定，或者即使能穩定，其動態性能一般也不會理想。在這種情況下，需在系統的前向通路中增加超前校正裝置，以實現在開環增益不變的前提下，系統的動態性能亦能滿足設計的要求。6.2超前校正及其特性無源校正網絡超前校正有源校正網絡6.2.1無源超前校正滯后校正滯后超前校正先討論超前校正網絡的特性，而后介紹基于頻率響應法的超前校正裝置的設計過程。

假設該網絡信號源的阻抗很小，可以忽略不計，而輸出負載的阻抗為無窮大，則其傳遞函數為圖6-8無源超前網絡時間常數分度系數(6-18)(a)(b)時間常數分度系數(6-18)注：j采用無源超前網絡進行串聯校正時，整個系統的開環增益要下降a倍因此需要提高放大器增益加以補償(6-19)圖6-9帶有附加放大器的無源超前校正網絡此時的傳遞函數超前網絡的零極點分布故超前網絡的負實零點總是位于負實極點之右，兩者之間的距離由常數決定。可知改變和T(即電路的參數超前網絡的零極點可在s平面的負實軸任意移動。由于)的數值，

對應式(6-19)得(6-20)畫出對數頻率特性如圖6-10所示。顯然，超前網絡對頻率在(6-21)(6-19)之間的輸入信號有明顯的微分作用，在該頻率范圍內輸出信號相角比輸入信號相角超前，超前網絡的名稱由此而得。20dB/dec圖6-10對數頻率特性取ω？超前校正裝置的主要作用是改變頻率響應曲線的形狀，產生足夠大的相位超前角，以補償原系統中的元件造成的過大的相角滯后。由(6-21)

(6-24)(6-22)(6-23)故在最大超前角頻率處具有最大超前角正好處于頻率與的幾何中心的幾何中心為即幾何中心為(6-25)最大超前角頻率求導并令其為零只與a有關，與T無關頻率特性20dB/dec

(6-26)但a不能取得太大(為了保證較高的信噪比),a一般不超過20這種超前校正網絡的最大相位超前角一般不大于如果需要大于的相位超前角，則要由兩個超前網絡相串聯來實現，并在所串聯的兩個網絡之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負載效應。

(b)最大超前角及最大超前角處幅值與分度系數的關系曲線dBoa6.2.2超前校正及其特性20lga10lgaa=10,T=1

10.1a=100,T=1a=20,T=1a=10,T=1a=4,T=140db20db30db14db(2)PD調節器如果超前校正環節的慣性較小，則傳遞函數可近似為一階微分環節，即

（1）設計指標

依據的不是時域指標而是頻域指標。通常采用相角裕量等表征系統的相對穩定性，用開環截止頻率ωc表征系統的快速性。當給定的指標是時域指標時，首先需要轉化為頻域指標，才能夠進行頻域設計。6.2.3用頻域法確定超前校正參數相位裕度超調量調節時間頻率法對系統進行校正的基本思路是：通過所加校正裝置，改變系統開環頻率特性的形狀，即要求校正后系統的開環頻率特性具有如下特點：用頻率法對系統進行超前校正的基本原理，是利用超前校正網絡的相位超前特性來增大系統的相位裕量，以達到改善系統瞬態響應的目的。為此，要求校正網絡最大的相位超前角出現在系統的截止頻率（剪切頻率）處。中頻段的幅頻特性的斜率為-20dB/dec,并具有較寬的頻帶，這一要求是為了系統具有滿意的動態性能；高頻段要求幅值迅速衰減，以較少噪聲的影響。低頻段的增益滿足穩態精度的要求；

（2）一般設計步驟1）根據給定的穩態指標，確定系統的開環增益K。因為超前校正不改變系統的穩態指標，所以第一步仍然是先調整放大器，使系統滿足穩態性能指標。

2）利用1）求得的K，繪制系統的伯德圖。

3）在伯德圖上量取未校正系統的相角裕量γ0和幅值裕量，并計算為使相位裕量達到給定指標所需補償的超前相角（超前校正使系統的截止頻率增加）

4）取

即所需補償的相角由超前校正裝置來提供。

5）使超前校正裝置的最大超前相角出現在校正后系統的截止頻率

取未校正系統幅值為-10lga(dB)時的頻率作為校正后系統的截止頻率

6）由計算參數T

7）校驗指標：繪制系統校正后的伯德圖，檢驗是否滿足給定的性能指標。

是用于補償因超前校正裝置的引入，使系統截止頻率增大而增加的相角滯后量。值通常是這樣估計的：如果未校正系統的開環對數幅頻特性在截止頻率處的斜率為-20dB/dec，一般取如果為-60dB/dec則取如果為-40dB/dec則取設計步驟是按照主要用于對截止頻率沒有具體要求的情況。注意：如果對截止頻率有明確要求，設計步驟可按照只需要將上述設計步驟中a的求取改為：（4）令未校正系統在處的幅值確定的值；再由確定。（3）令校正裝置的最大超前相角頻率等于希望的截止頻率；（1）校正裝置提供正相角補償，改善了系統的相對穩定性，使系統具有一定的穩定裕量。（4）超前校正提高了系統幅頻曲線在高頻段的幅值，校正后的系統抗高頻干擾能力下降。超前校正的特點：（2）從對數幅頻曲線看，截止頻率由校正前的提高到校正后的，使校正后系統頻帶變寬，動態響應變快。（3）為了充分利用超前校正裝置的相角補償作用，校正裝置的轉折頻率和應分設在校正前截止頻率和校正后截止頻率的兩邊，最大相角頻率設在處。

當系統要求響應快、超調量小時，可采用串聯超前校正。但是，串聯超前校正受以下兩種情況的限制：（2）對系統抗高頻干擾要求比較高時，一般也不宜采用串聯超前校正。因為若未校正系統不穩定，為了得到要求的相角裕量，需要超前網絡提供很大的超前相角。這樣，超前網絡的值必須選得很大，從而造成已校正系統過大，使系統抗高頻噪聲的能力下降，甚至使系統失控。超前校正的使用條件（1）超前校正網絡提供的最大相位超前角一般不應大于60°。在截止頻率附近相角迅速減小的系統，一般不宜采用串聯超前校正。（因為隨著截止頻率的增大，未校正系統的相角迅速減小，在處需要補償的相角會很大，超前校正變得無效。）

解

1）根據給定的穩態指標，確定符合要求的開環增益K。本例要求在單位斜坡輸入信號作用下,例6.1設控制系統如圖所示。若要求系統在單位斜坡輸入信號作用下，位置輸出穩態誤差，開環系統截止頻率。相角裕度

幅值裕度

說明校正后的系統仍應是1型系統，(P92,表3.1),因為

，所以應有，取K=10。。試選擇超前校正參數。

2）繪制原系統的伯德圖如圖所示。

例6.1未校系統的伯德圖3)相角裕量也可以由計算得到4)

做直線與未校正系統對數幅頻特性曲線相交于,取滿足的要求。5）超前校正的傳遞函數為例6.1校正環節的伯德圖例6.1校正前、后系統的伯德圖例6.1校正前、后系統的單位階躍響應曲線例6.1校正后系統的單位斜坡響應曲線

（1）無源超前校正網絡6.2.3超前校正裝置

（2）有源超前校正網絡1）PD控制器：

2）帶慣性的PD控制器

6.3.1滯后校正及其特性

6.3

滯后校正-20dB/dec同超前網絡，滯后網絡在時，對信號沒有衰減作用時，對信號有積分作用，呈滯后特性時，對信號衰減作用為同超前網絡，最大滯后角，發生在幾何中心，稱為最大滯后角頻率，計算公式為(6-28)(6-29)a越小，這種衰減作用越強由圖6-12可知具有相位滯后，相位滯后會給系統特性帶來不良影響。解決這一問題的措施之一是使滯后校正的零極點靠得很近，使之產生的滯后相角很小，這是滯后校正零極點配置的原則之一；措施之二是使滯后校正零極點靠近原點，盡量不影響中頻段，這是滯后校正零極點配置的原則之二。從伯德圖幅頻特性可以看出，滯后校正的高頻段是負增益，因此，滯后校正對系統中高頻噪音有削弱作用，增強抗擾能力。我們將利用滯后校正的這一低通濾波所造成的高頻衰減特性，降低系統的截止頻率，提高系統的相位裕度，以改善系統的暫態性能，這是滯后校正的作用之一。“超前校正”是利用超前網絡的超前特性,但“滯后校正”并不是利用相位的滯后特性，而是利用其高頻衰減特性。滯后校正相對超前校正來說，具有完全不同的概念。如果在滯后校正網絡后串聯一個放大倍數為的放大器，則對數幅頻特性變為如圖所示，而相頻特性不變。這時中高頻增益為0db，因此滯后校正不影響系統的中高頻特性，但低頻增益增加了20lgdB，滯后校正利用這一特性，提高了系統的穩態精度，而又不改變系統暫態性能，這是滯后校正的作用之二。(參考92頁，表3.1)系統串聯滯后校正環節后，能夠在保證暫態性能不變的前提下，允許把開環增益提高(1/a)倍，而不是它本身能把開環增益提高。3）在原系統的伯德圖上量取6.3.2用頻率法確定滯后校正參數1）按穩態性能指標要求的開環放大系數繪制未校正系統的伯德圖。2）在原系統的伯德圖上找出相角為的頻率作為校正后系統的截止頻率，為補償滯后校正的相位滯后的的分貝值，并令由此確定參數a(a<1)4）取并由a求參數T5）繪制校正后系統的伯德圖，校驗各項性能指標原則：使滯后校正環節的相角滯后不要超過近似：cot----ctg例6.2設控制系統不可變部分的傳遞函數為要求：試確定滯后校正參數a,T

解1）取K=5使系統滿足穩態性能要求。按K=5繪制原系統伯德圖。相角裕度-20°，不穩定例6.2未校系統的伯德圖線，與原系統相頻特性曲線交點的橫坐標為作

取3）在原系統伯德圖上量得由得a=0.1。

2）

4）

T=125滯后校正的傳遞函數為驗證系統的性能要求。5）例6.2校正前、后系統的伯德圖

例6.2校正后系統的單位斜坡響應曲線6.3.3滯后校正裝置

（1）無源滯后校正網絡為了滿足傳遞函數的推導條件，一般在滯后校正網絡后串接一個運算放大器，起隔離作用。

（2）有源滯后校正網絡1）滯后校正：采用運算放大器的有源滯后校正網絡的一種實現2）PI控制器：采用運算放大器的有源滯后校正網絡的另一種實現超前校正需要增加一個附加的放大器，以補償超前校正網絡對系統增益的衰減。串聯超前校正和串聯滯后校正方法的適用范圍和特點超前校正是利用超前網絡的相角超前特性對系統進行校正，而滯后校正則是利用滯后網絡的幅值在高頻衰減特性；用頻率法進行超前校正，旨在提高開環對數幅頻漸近線在截止頻率處的斜率(-40dB/dec提高到-20dB/dec)，和相位裕度，并增大系統的頻帶寬度。頻帶的變寬意味著校正后的系統響應變快，調整時間縮短。對同一系統超前校正系統的頻帶寬度一般總大于滯后校正系統，因此，如果要求校正后的系統具有寬的頻帶和良好的瞬態響應，則采用超前校正。當噪聲電平較高時，顯然頻帶越寬的系統抗噪聲干擾的能力也越差。對于這種情況，宜對系統采用滯后校正。滯后校正雖然能改善系統的靜態精度，但它促使系統的頻帶變窄，瞬態響應速度變慢。如果要求校正后的系統既有快速的瞬態響應，又有高的靜態精度，則應采用滯后-超前校正。有些應用方面，采用滯后校正可能得出時間常數大到不能實現的結果。超前校正:給系統中頻段增加理論上不超過90，實際上一般不超過65°的相角，提高系統的穩定裕度。但降低了抗干擾性能（高頻）。滯后校正:降低系統的截止頻率，提高系統的相角裕度。但降低了快速性。（帶寬減小降低快速性）問題：原系統需要補償的相角超過65，甚至超過90度，用超前校正不能夠提供這么大的正相角。原系統截止頻率不能降得太低，保證快速性。怎么解決？——采用滯后—超前校正。發揮滯后、超前校正兩者的優點，共同改善系統性能。基本思路：用滯后校正降低系統的截止頻率，提高系統的相角裕度；用超前校正在截止頻率處增加超前相角，進一步提高系統的相角裕度。6.4

滯后-超前校正6.4.1

滯后—超前校正網絡超前滯后

滯后—超前校正網絡的Bode圖6.4.2用頻域法確定滯后-超前校正參數

例6.3設有單位反饋系統具有如下的開環傳遞函數要求：K=10,,h=10dB

試確定滯后—超前校正參數。解：1）根據穩態性能指標，繪制未校正系統的伯德圖未校系統的伯德圖2）選擇校正后的截止頻率

若性能指標中對系統的快速性未提明確要求時，一般對應的頻率作為3）確定校正參數由超前部分應產生的超前相角而定4）確定滯后校正部分的參數一般取因此滯后部分的傳遞函數為：5）確定超前部分的參數直線，由該直線與0db線交點坐標確定6）將滯后校正部分和超前校正部分的傳遞函數組合在一起,即得滯后-超前校正的傳遞函數為7）繪制校正后的伯德圖，檢驗性能指標過點做因此超前部分的傳遞函數為：校正前、后系統的伯德圖校正后的伯德圖校正后系統的單位階躍響應

6.5

串聯校正的綜合法

前面介紹的串聯校正分析法是先根據要求的性能指標和未校正系統的特性，選擇串聯校正裝置的結構，然后設計它的參數，這種方法是帶有試探性的，所以稱為試探法。6.5.1基本控制規律（1）比例（P）控制規律(6-12)

（a）P控制器(b)PD控制器（2）比例-微分（PD）控制規律(6-13)提高系統開環增益，減小系統穩態誤差，但會降低系統的相對穩定性。PD控制規律中的微分控制規律能反映輸入信號的變化趨勢，產生有效的早期修正信號，以增加系統的阻尼程度，從而改善系統的穩定性。在串聯校正時，可使系統增加一個的開環零點，使系統的相角裕度提高，因此有助于系統動態性能的改善。具有積分（I）控制規律的控制器，稱為I控制器。(6-14)輸出信號與其輸入信號的積分成比例。為可調比例系數消失后，輸出信號有可能是一個不為零的常量。不宜采用單一的I控制器。

（3）積分（I）控制規律I控制器

當在串聯校正中，采用I控制器可以提高系統的型別（無差度），有利提高系統穩態性能，但積分控制增加了一個位于原點的開環極點，使信號產生的相角滯后，于系統的穩定不利。具有積分比例-積分控制規律的控制器，稱為PI控制器。

PI控制器輸出信號同時與其輸入信號及輸入信號的積分成比例。為可調比例系數開環極點，提高型別，減小穩態誤差。左半平面的開環零點，提高系統的阻尼程度，緩和PI極點對系統產生的不利影響。只要積分時間常數足夠大，PI控制器對系統的不利影響可大為減小。（4）比例-積分（PI）控制規律(6-15)為可調積分時間系數PI控制器主要用來改善控制系統的穩態性能。（5）比例（PID）控制規律具有比例-積分-微分控制規律的控制器，稱為PID控制器。(6-16)(6-17)如果PID控制器I積分發生在低頻段，穩態性能(提高)D微分發生在高頻段，動態性能(改善)增加一個極點，提高型別，穩態性能兩個負實零點，動態性能比PI更具優越性兩個零點一個極點串聯校正綜合法，它是根據給定的性能指標求出系統期望的開環頻率特性，然后與未校正系統的頻率特性進行比較，最后確定系統校正裝置的形式及參數。綜合法的主要依據是期望特性，所以又稱為期望特性法。綜合法的基本方法是按照設計任務所要求的性能指標，構造具有期望的控制性能的開環傳遞函數然后確定校正裝置的傳遞函數

是滿足給定性能指標的“期望特性”。

6.5.1綜合法的基本方法6.5

串聯校正的綜合法串聯校正綜合法的一般步驟如下：繪制原系統的對數幅頻特性曲線按要求的設計指標繪制期望特性曲線求得串聯校正環節的對數幅頻特性曲線

寫出相應的傳遞函數；確定具體的校正裝置及參數。從上面步驟可以看出期望特性法的關鍵是繪制期望特性。在工程上，一般要求系統的期望特性符合下列要求：對數幅頻特性的中頻段為且有一定的寬度，保證系統的穩定性；截止頻率應盡可能大一些，以保證系統的快速性；低頻段具有較高的增益，以保證穩態精度