計算機學院郭江鴻21B434

82519604第3章MATLAB

矩陣分析與處理參考教材:MATLAB程序設計與應用(第二版)劉衛國主編高等教育出版社3.1特殊矩陣3.2矩陣求逆與線性方程組求解3.3矩陣求值3.4矩陣的特征值與特征向量習題&作業3.1特殊矩陣常用的產生通用特殊矩陣的函數有：zeros：產生全0矩陣(零矩陣)。ones：產生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產生單位矩陣。rand：產生0～1間均勻分布的隨機矩陣randn：產生均值為0，方差為1的標準正態分布隨機矩陣。調用格式：zeros(m):產生m*m的零矩陣。zeros(m,n)：產生m*n的零矩陣。例3.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的幺矩陣。

(1)建立一個3×3幺矩陣。

ones(3)

(2)建立一個3×2幺矩陣。

ones(3,2)

(3)設A為2×3矩陣，建立一個與矩陣A同樣大小的幺矩陣。

A=[123;456];%產生2×3矩陣A

zeros(size(A))%產生與矩陣A同維的零矩陣rand(m,n):生成m*n維0~1之間均勻分布的隨機數矩陣。randn(m,):生成m*n維均值為0，方差為1正態分布的隨機數矩陣。a=rand(1000,1);b=randn(1000,1);subplot(2,1,1);hist(a);%柱狀圖subplot(2,1,2);hist(b)例3.2建立隨機矩陣：(1)在區間[20,50]內均勻分布的5階隨機矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態分布隨機矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)產生m*n維[a,b]區間上均勻分布的隨機數矩陣：

y=a+(b-a)*rand(m,n)產生m*n維，均值為，方差為2隨機數矩陣：

y=mu+sigma*randn(m,n)3.2矩陣求逆與線性方程組求解3.2.1矩陣的逆

對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當然，A也是B的逆矩陣。

求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調用函數:

inv(A)3.2.2用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有

A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得

x=A-1b例3.3用求逆矩陣的方法解線性方程組。

命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,-2,6]';x=inv(A)*b

%等價于x=A\b3.3

矩陣求值3.3.1方陣的行列式

求方陣A所對應的行列式的值的函數是:

det(A)

A=rand(5)d=det(A)

3.3.2矩陣的秩與跡1．矩陣的秩

矩陣線性無關的行數與列數稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數是

rank(A)2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數是

trace(A)

如：

A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];

rank(A)trace(A)

ans=3ans=163.3.3矩陣的條件數在求解AX=b時，A和b中個別元素的微小擾動會引起解的很大變化，稱A為病態矩陣，反之為良性。用條件數來描述，越大越病態，越小（趨近1）越好。

A的條件=A的范數與A-1的范數乘積

在MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數的函數是：

(1)cond(A,1)計算A的1—范數下的條件數。

(2)cond(A)或cond(A,2)計算A的2—范數數下的條件數。

(3)cond(A,inf)計算A的∞—范數下的條件數。

如：

A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9];

cond(A)

ans=87.9754

B=[2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4];

cond(B)

ans=3.7515

顯然，B矩陣性能要好于A矩陣。

3.4矩陣的特征值與特征向量矩陣A作用于一向量V，結果只相當于該向量乘以一常數λ。即A*V=V*λ，則V為該矩陣A的特征向量，λ為該矩陣A的特征值。

計算矩陣A的特征值和特征向量的函數是

eig(A)常用的調用格式有2種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量。例3.4用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴隨矩陣（友矩陣）

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)

%x1與x2結果相同：

2.1837

1.0000+1.0000i

1.0000-1.0000i

-0.9252+0.7197i

-0.9252-0.7197i

若用：[V，D]=eig(A);結果：特征向量為V，

特征值為D：

實驗：習題&作業1．寫出完成下列操作的命令。（1）建立3階單位矩陣A。（2）建立5x6隨機矩陣A，其元素為[100，200]范圍內的隨機整數。（3）產生均值為1，方差為0.2的500個正態分布的隨機數。（4）產生和A同樣大小的幺矩陣。（5）將矩陣A對角線的元素加30。2.建立一個方陣A，求A的逆矩陣和A的行列式的值，并驗證A與A-1是互逆的。3.求下面線性方程組的解。4.求下列矩陣的秩、跡、條件數。（1）（2）

5.求矩陣A的特征值和相應的特征向量。MATLAB功能演示（1）求高次方程

2x5-3x3+71x2-9x+13=0

的全部根。p=[2,0,-3,71,-9,13];x=roots(p)x=-3.49141.6863+2.6947i1.6863-2.6947i0.0594+0.4251i0.0594-0.4251iMATLAB功能演示（2）求解線性方程組a=[2,3,-1;8,2,3;45,3,9];b=[2;4;23];X=inv(a)*b%或者X=a\bX=0.55310.2051-0.2784MATLAB功能演示（3）求積分quad('x.*log(1+x)',0,1)ans=0.2500MATLAB功能演示（4）符號運算symsabcxx=solve('a*x*x+b*x+c=0')x=1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))MATLAB功能演示（5）分別繪制函數y1=2-|x|和y2=sin(x)的曲線。x=-2*pi:pi/180:2*pi;y1=2.^(-abs(x));y2=sin(x);plot(x,y1,':',x,y2);MATLAB功能演示（6）在xy平面