固體物理

SolidStatePhysics周劍平物理學與信息技術學院zhoujp@2013.9.~2014.1文津樓506星期二14:30-17:20第3講晶格振動和熱學性質

3CrystalVibrationsandThermalProperites

一維單原子鏈一維雙原子鏈簡正坐標三維晶格振動晶格比熱SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU本章研究內容晶格振動的研究

——晶體的熱學性質，熱運動是晶體宏觀性質的表現

。研究固體宏觀性質和微觀過程的重要基礎，強烈地影響著物質的熱學性質、電學性質、光學性質、超導電性、磁性、結構相變等物理性質。杜隆－珀替經驗規律一摩爾固體有N個原子，有3N個振動自由度，按能量均分定律，每個自由度平均熱能為kBT/2，摩爾比熱量3N0kB，為一常數。但實際上，低溫下比熱隨溫度的降低而降低。熱膨脹、傳導和晶格振動的非諧效應密切相關。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU絕熱近似討論晶體結構時，我們把晶體內的原子看作是處于自己的平衡位置上固定不動的，但實際上，物質是在不斷運動的，量子力學告訴我們，即使達到絕對零度，仍具有零點能的振動。它強烈地影響著物質的比熱、熱導、熱膨脹、光反射等物理性質。絕熱近似用一個均勻分布的負電荷產生的常量勢場來描述電子對離子運動的影響。——將電子的運動和離子的運動分開晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式——格波格波的研究——先計算原子之間的相互作用力——根據牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維單原子鏈運動一維單原子鏈晶格周期為a，原子質量m，相對各自平衡位置的位移分別為ui平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能V(a)發生相對位移

=ui–ui+1后，相互作用勢能V(a+)考慮到平衡條件勢能展式中保留到二階——簡諧近似

相鄰原子間的作用力：力常數SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維單原子鏈運動只考慮最近鄰原子間的相互作用，總的勢能為第n個原子受力第n個原子的運動方程——每一個原子運動方程類似——方程的數目和原子數相同：力常數SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU運動方程的解試解（格波方程）naq

—第n個原子振動位相因子帶入運動方程化簡得到解得色散關系——波的頻率-波矢關系真空中光波

=cq，空氣中聲波

=vq而格波的色散關系是非線性的。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU格波物理意義格波簡諧近似下，格波是簡諧平面波格波意義：對于確定的n：第n個原子的位移隨時間作簡諧振動對于確定時刻t：不同的原子有不同的振動位相格波的波形圖（格波意義2）正方向的原子沿X軸向右振動負方向的原子沿X軸向左振動q的物理意義：波的傳播方向（即沿q的方向）上，naq表示相位差表示SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU格波物理意義格波——格波解晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同、振幅相等的振動，不同原子間存在固定位相差einaq，每一確定q的解代表波長為2p/|q|的集體運動，這種振動以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。格波波長：格波波矢：波矢表示波數，方向表示波的傳播方向，q取不同的值，相鄰兩原子間的振動位相差不同，則晶格振動狀態不同不同原子間位相差：相鄰原子的位相差：SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU不同波長的格波如果l為整數，則q

和q'描述同一晶格振動狀態格波得到色散關系所以所以，q

和q'描述同一晶格振動狀態SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU不同波長的格波例如波長格波1(Red)相鄰原子位相差格波2(Green)相鄰原子位相差兩條曲線描寫的格點的運動狀態完全相同.唯一不同的就是兩格點之間的運動狀態.而這些中間狀態的差異并不影響物理實質.——兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU第一Brillouin區——兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同。所以相鄰原子的位相差取波矢取——第一Brillouin區——只研究第一Brillouin晶格振動問題——其它區域不能提供新的物理內容色散關系：頻率極大值和極小值只有頻率在之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減（低頻濾波），截止頻率。SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限格波：長波極限情況當q→0時此時，一維單原子格波的色散關系與連續介質中彈性波的色散關系一致彈性波速（相速）為其中K，

為連續介質的彈性模量和介質密度——長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波——晶格可以看成是連續介質，其中波動方程和解為：SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限格波長波極限情況——聲學波（accousticwave）相鄰兩個原子之間的位相差此時，一個波長內包含許多原子，晶格可看作連續介質波長格波的群速SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU短波極限格波短波極限情況當q→/a

時波長相鄰兩個原子振動的位相相反，恢復力和頻率都達到最大值格波的群速在Brillouin區邊界處，相當于受到Bragg反射，能量不能向外傳播——駐波用到的兩個定義：波速（相速），群速SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUBorn-Karman邊界條件周期性邊界條件（Born-Karman邊界條件）一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子的振動形式都一樣實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述為了解決這一矛盾，采用周期邊界條件——Born-Karman邊界條件（1）N個原子頭尾相接形成一個環鏈，保持了所有原子等價的特點（2）N很大，原子運動近似為直線運動（3）處理問題時要考慮到環鏈的循環性SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU波矢的分立性設第n個原子的位移為un再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移uN+n，則——h為整數波矢的取值范圍h的取值范圍h—N個整數值波矢q——取N個不同的分立值——第一布里淵區包含N個狀態SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU狀態密度相鄰兩個波矢間隔（每一個q的取值所占的空間）q的分布密度均勻分布L＝Na——晶體鏈的長度密度分布SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUq取值第一Brillouin區的尺度第一Brillouin區的狀態數得到結論求解格波步驟：（1）列運動方程；（2）取試探解；（3）代入原方程，得到久期方程；（4）由久期方程求色散關系（5）加周期邊界條件；（6）求狀態密度晶格振動格波數目（第一布里淵區內分立波矢量的數目）=晶格原胞數目=自由度數目SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維雙原子鏈運動一維復式格子的情形——一維無限長鏈——兩種原子m

和M(M>m)構成一維復式格子——M原子位于……，2n-1，2n+1，2n+3……

——m原子位于……，2n，2n+2，2n+4……——同種原子間的距離2a（晶格常數）——系統有N個原胞（2N個原子）簡諧近似，只考慮最近鄰原子間的相互作用，力常數為，總的勢能為SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU一維雙原子鏈運動第2n原子m受力第2n+1原子M受力運動方程方程解的形式

兩種原子振動的振幅A和B是不同的SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU運動方程方程的解——A、B有非零的解，系數行列式為零解方程SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU得到久期方程：方程的兩個解得到一維復式晶格中兩種獨立的格波，與q之間存在著兩種不同的色散關系——-聲學波——+光學波兩種原子的振幅色散關系SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限：利用得到色散關系聲學波——聲學波的色散關系與一維單原子形式相同——可以看作是彈性波，晶格可以看成是連續介質長波極限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU長波極限：波長振幅比——原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致——代表原胞質心的振動事實上，對于聲學波，總有兩種原子具有相同的運動方向長波極限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU光學波振幅比——長光學波同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反——原胞質心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動事實上，對于光學波，總有長波極限SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU短波極限：波長兩種格波的頻率聲學波振幅比聲學波：原胞中輕原子不動，只有重原子振動，相鄰重原子運動方向相反光學波振幅比光學波：原胞中重原子不動，只有輕原子振動，相鄰輕原子運動方向相反短波極限andSchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU振動圖像一般情況下兩支格波振動示意圖SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNU雙原子鏈小結AcousticalwaveOpticalwave振動頻率之間的關系在第一Brillouin區邊界處，有一個頻率間隙（禁區）一維雙原子晶格叫做帶通濾波器SchoolofPhysicsandInformationTechnology,SNNUM和m原子振動方程相鄰原胞之間位相差相鄰晶胞之間的位相差限制為（參考單原子鏈取值）波矢q的值——仍然在第一Brillouin區內第一Brillouin區大小q取