3.1測試系統3.2測試系統靜態響應特性3.3測試系統動態響應特性3.4動態測試不失真的條件3.5常見測試系統的頻率響應特性3.6測試系統動態特性的測試

3.7組成測試系統應考慮的因素第三章測試系統的基本特性

▼▼▼▼▼▼▼3.1測試系統完成某種物理量的測量而由具有某一種或多種變換特性的物理裝置構成的總體。1.測試系統定義及傳遞特性定義:簡單測試系統(光電池)V

測試系統是指由傳感器、信號調理電路、信號處理電路、記錄顯示設備組成，并具有獲取某種信息的功能的整體。被測對象傳感器中間變換裝置顯示、記錄裝置物理量電量電量/數字量簡單測試系統(紅外體溫)復雜測試系統(振動測量)系統失真傳遞特性:由測試裝置自身的物理結構所決定的測試系統對信號傳遞變換的影響特性。

系統的輸出與輸入量之間的變換或運算關系。3)如果輸入和系統特性已知，則可推斷和估計系統的輸出量。

——預測

1)當輸入/輸出是可測量的（已知），則可通過它們推斷系統的傳輸特性。——系統辨識2)當系統特性已知，輸出可測量，則可通過它們推斷導致該輸出的輸入量。——反求由此根據測試要達到的要求正確合理選用儀器。x(t)h(t)y(t)輸入量系統特性輸出系統分析的三類問題2.理想測試系統——線性時不變系統

(1)理想的測試系統應該具有單值的、確定的輸入－輸出關系。對于每一輸入量都應該只有單一的輸出量與之對應。知道其中一個量就可以確定另一個量。其中以輸出和輸入成線性關系最佳。x(t)y(t)線性線性y(t)x(t)非線性y(t)x(t)(2)系統的特性不隨時間的推移發生改變。

測試系統輸入x(t)和輸出y(t)間的關系可以用常系數線性微分方程來描述：

(a)線性系統

式中，an、an-1、…、a0和bm、bm-1、…、b0均為一些只與測試系統的特性有關的常數。上述方程就是常系數微分方程，所描述的是時不變線性系統，也稱為定常線性系統。

一般在工程中使用的測試系統（測試裝置）都是線性系統。(b)線性系統的主要性質：1)疊加特性

系統對各輸入之和的輸出等于各單個輸入的輸出之和，即

線性時不變系統的各輸入分量所引起的輸出互不影響，即一個輸入的存在并不影響另一個輸入的響應。若則2)比例特性

常數倍輸入所得的輸出等于所得輸出的常數倍，即若則

疊加特性和比例特性可統一表示為若則3)微分特性

系統對原輸入信號的微分等于原輸出信號的微分，即若則4)積分特性

當初始條件為零時，系統對原輸入信號的積分等于原輸出信號的積分，即若則5)頻率保持性

若系統的輸入為某一頻率的諧波信號，則系統的穩態輸出將為同一頻率的諧波信號，即若則

線性系統的主要特性，特別是符合疊加原理和頻率保持性，在測試工作中具有重要作用。(c)系統線性近似

測試系統的局部線形實際測試系統中，系數都是隨時間而緩慢變化的微變。

一定的工作范圍內和一定的誤差允許范圍，近似線性。▲以足夠的精度認為多數常見的物理系統中的系數是常數d)測試系統傳輸特性的分類靜態特性（Staticcharacteristics）

：即輸入量和輸出量不隨時間變化或變化緩慢時，輸出與輸入之間的關系，可用代數方程表示。動態特性（Dynamiccharacteristics）：即輸入量和輸出量隨時間迅速變化時，輸出與輸入之間的關系，可用微分方程表示。

對于靜態測量的測試系統，一般只需衡量其靜態特性、負載效應和抗干擾特性指標。在動態測試中，則需要以上四方面的特性指標來衡量。靜態特性動態特性負載效應抗干擾特性傳輸特性（重要）

為了獲得準確的測量結果，常常對測試系統提出多方面的性能要求：

如果測量時，測試系統的輸入、輸出信號不隨時間而變化（變化極慢，在所觀察的時間間隔內可忽略其變化而視作常量）

，則稱為靜態測量。靜態測量時，測試系統表現出的響應特性稱為靜態響應特性。3.2測試系統靜態響應特性

穩態信號

動態信號

理想測試系統其輸入、輸出之間呈單調、線性比例的關系。即輸入、輸出關系是一條理想的直線，斜率為S=b0/a0

在靜態測試中，輸入和輸出不隨時間而變化，而輸入和輸出的各階導數均等于零。理想線形穩態輸入1.理想測試系統的靜態特性實際線形當測試系統的輸入x有一增量△x，引起輸出y發生相應的變化△y時，則定義:如果是線性理想系統，則

1.一位移傳感器，當位移變化為1mm時，輸出電壓變化為300mV，則2.一機械式位移傳感器，輸入位移變化為0.01mm時，輸出位移變化為10mm，則靜態測試靈敏度靈敏度S=300/1=300mV/mm

放大倍數S=10/0.01=1000

a)靈敏度S=△y/△x

2.靜態特性指標

靈敏度的量綱取決于輸入-輸出的量綱。當輸入與輸出的量綱相同時，則靈敏度是一個無量綱的數，常稱為”放大倍數“或”增益“。

線性系統的靈敏度為常數，特性曲線是一條直線。非線性系統的特性曲線是一條曲線，其靈敏度隨輸入量的變化而變化。通常用一條參考直線代替實際特性曲線（擬合直線），擬合直線的斜率作為測試系統的平均靈敏度。

靈敏度反映了測試系統對輸入量變化反應的能力，靈敏度越高，測量范圍往往越小，穩定性越差。（合理選取）b)非線性度標定曲線與擬合直線非線形度

非線性度:標定曲線與擬合直線的偏離程度。實驗標定偏離程度：在測試系統的標稱輸出范圍(全量程)A內，標定曲線與其擬合直線的最大偏差B與A的比值，即非線性誤差＝B/A×100％

式中，A——輸出信號的變化范圍；B——標定曲線與其擬合直線下最大偏差，以輸出量計。

非線形度

用非線性誤差來衡量

量程為10V時的非線形度

量程為1000V時的非線形度

非線性誤差＝B/A×100％

c)回程誤差

回程誤差

測試系統在輸入量由小增大和由大減小的測試過程中，對于同一個輸入量所得到的兩個數值不同的輸出量之間差值最大者為hmax，則定義回程誤差為:回程誤差=(hmax/A)×100%▲

在對動態物理量進行測試時，測試系統的輸出變化是否能真實地反映輸入變化，則取決于測試系統的動態響應特性。

用特定的輸入信號作用于測試系統，測量輸出(已知)，由此推斷系統的傳輸特性。(系統辨識)動態特性:輸入量隨時間作快速變化時，測試系統的輸出隨輸入而變化的關系。

3.3測試系統的動態響應特性

測試系統的動態特性不僅取決于系統的結構參數，而且與輸入信號有關。研究測試系統的動態特性的實質就是建立輸入信號、輸出信號和系統結構參數三者之間的關系——數學建模。動態特性的數學描述1）微分方程2）傳遞函數3）頻率響應函數4）階躍響應函數等5）脈沖響應函數

微分方程是最基本的數學模型，求解微分方程，就可得到系統的動態特性。1.動態特性的數學描述——線性微分方程對于一個復雜的測試系統和復雜的測試信號，求解微分方程比較困難，甚至成為不可能。為此，根據數學理論，不求解微分方程，而應用拉普拉斯變換求出傳遞函數、頻率響應函數等來描述動態特性。拉普拉斯(1749～1827)

Laplace，Pierre-Simon法國數學家，天文學家。法國科學院院士。拉普拉斯在數學和物理學方面有重要貢獻，以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程，在科學技術的各個領域有著廣泛的應用。條件：①線性系統的初始狀態零②x(t)?X(S),y(t)?Y(S)進行拉普拉斯變換：

得：

系統的傳遞函數H(S)

：其中，S為復變量，S=α+jω；

n代表微分方程的階數；如n=1,n=2就分別稱為一階或二階系統。2.傳遞函數(Transferfunction)傳遞函數：描述系統動態特性x(t)y(t)輸入量輸出量傳遞函數與微分方程完全等價，可以互相轉化。H(S)只反映系統對輸入的響應特性，與測量信號無關，與具體的物理結構無關。傳遞函數的特點H(S)是實際物理系統抽象為數學模型后的拉普拉斯變換，因此，物理性質不同的系統或元件，可以具有相同類型的傳遞函數H(S)。H(S)以測試系統本身的參數表示出輸入與輸出之間的關系，所以它將包含著聯系輸入量與輸出量所必須的單位。H(S)中的分母完全由系統的結構所決定，分母中最高次冪n代表系統微分方程的階數。而分子則與激勵點位置、激勵方式、所測量的變量以及測量點布置情況有關。H(s)是復頻域中表達系統的動態特性，而微分方程則是在時域表達系統的動態特性，而且這兩種動態特性的表達形式對于任何輸入信號形式都適用。當n=1——一階系統的傳遞函數當n=2——二階系統的傳遞函數當n=0——零階系統的傳遞函數即為靜態靈敏度當n≥3——高階系統的傳遞函數1）串聯系統：系統的聯接方式:如：有：如：有：2）并聯系統：3.頻率響應函數(Frequencyresponsefunction)以代入H(s)得：頻率響應函數是傳遞函數的特例。H（jω）為復變量函數，有相應的模和相角

模A(ω)反映了線性時不變系統在正弦信號激勵下，其穩態輸出與輸入的幅值比隨頻率的變化，稱為系統的幅頻特性；幅角Φ(ω)反映穩態輸出與輸入的相位差隨頻率的變化，稱為系統的相頻特性。頻率響應特性幅頻特性相頻特性頻率響應特性的圖形描述：

直觀地反映了測試系統對不同頻率成分輸入信號的扭曲情況——輸出與輸入的差異。幅頻特性曲線相頻特性曲線

實際作圖時，常對自變量取對數標尺，幅值坐標取分貝數，即作20lgA(ω)~lgωφ(ω)~lgω對數幅頻特性曲線對數相頻特性曲線伯德圖輸出信號的幅、相頻圖輸入信號的幅、相頻圖輸入：簡諧信號x(t)=X0sinωt穩態輸出：簡諧信號y(t)=Y0sin(ωt+φ)相同：輸入和輸出都為同頻率的簡諧信號.不同：兩者的幅值不一樣，其幅值比A(ω)=Y0/X0隨頻率ω而變化，是ω的函數。相位差φ(ω)也是頻率ω的函數。物理意義:頻率響應函數是在正弦信號的激勵下，測量裝置達到穩態后輸出和輸入之間的關系。輸入信號的幅、相頻圖輸出信號的幅、相頻圖(1)幅頻特性

(2)相頻特性A(ω)、φ(ω)統稱為系統的頻率特性。輸入信號的幅、相頻圖輸出信號的幅、相頻圖

定常線性系統在簡諧信號的激勵下，其穩態輸出信號和輸入信號的幅值比，記為A(ω)；穩態輸出對輸入的相位差，記為φ(ω)；H(j)一般為復數，寫成實部和虛部的形式：其中：奈魁斯特圖（Nyquist圖）。作Im()-Re()曲線并注出相應頻率實頻、虛頻圖H(ω)=P(ω)+jQ(ω)P(ω)——ω實頻特性曲線Q(ω)——ω虛頻特性曲線。一階系統的奈魁斯特圖H(ω)=A(ω)ejφ(ω)例

3.1某測試系統傳遞函數，當輸入信號，分別為，時，試分別求系統穩態輸出。信號

信號

Y(S)=H(S)X(S)拉氏反變換:設：x(t)?

X(S)，y(t)?

Y(S)，h(t)?

H(S)x(t)=δ(t)線性系統輸出的時域表達為：單位脈沖響應函數h(t)與系統輸入x(t)的卷積。4、

線性系統的時域響應

5、

H(S)、h(t)、H(jω)之間的關系

h(t)時域瞬態響應過程H(jω)頻域正弦激勵，穩態響應H(S)復數域瞬態和穩態響應過程頻響函數的含義是一系統對輸入與輸出皆為正弦信號傳遞關系的描述。它反映了系統穩態輸出與輸入之間的關系，也稱為正弦傳遞函數。傳遞函數是系統對輸入是正弦信號，而輸出是正弦疊加瞬態信號傳遞關系的描述。它反映了系統包括穩態和瞬態輸出與輸入之間的關系。脈沖響應函數是在時域中通過瞬態響應過程來描述系統的動態特性。

設測試系統的輸出y(t)與輸入x(t)滿足關系

y(t)=A0x(t-t0)3.4系統不失真測量的條件

該測試系統的輸出波形與輸入信號的波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍，在時間上延遲了t0而已。這種情況下，認為測試系統具有不失真的特性。時域條件y(t)=A0x(t-t0)H(ω)=A(ω)ejφ(ω)則其幅頻和相頻特性應分別滿足：

A(ω)=A0=constφ(ω)=-t0ω即為實現不失真測試的條件。

x(t)→x(ω)

y(t)→

y(ω)幅頻特性為常數相頻特性為線性關系A(ω)=A0=constφ(ω)=-t0ω不失真測試的幅頻和相頻曲線

物理意義:1)系統對輸入信號中所含各頻率成分的幅值進行常數倍數放縮，也就是說，幅頻特性曲線是一與橫軸平行的直線。2)輸入信號中各頻率成分的相角在通過該系統時作與頻率成正比的滯后移動，即是說，相頻特性曲線是一通過原點并且有負斜率的直線。1)如果A(ω)不等于常數，引起的失真稱為幅值失真；2)φ(ω)與ω不成線性關系引起的失真稱為相位失真。3)當φ(ω)=0時，輸出和輸入沒有滯后，此時，測試作圖才是最理想的。例

3.2某一測試裝置的幅頻、相頻特性如圖所示，問哪個信號輸入，測試輸出不失真？▲數學表述：3.5典型系統的頻率響應特性1.一階系統(First-orderSystem)進行拉式變換(τS+1)Y(S)=KX(S)

靜態靈敏度：時間常數：則傳遞函數：令：K＝1靈敏度歸一處理

在工程實際中，一個忽略了質量的單自由度振動系統，在施于A點的外力f(t)作用下，其運動方程為負值表示相角的滯后頻率響應函數A(ω)－ωτ

φ(ω)－ωτ

幅頻特性曲線圖相頻特性曲線圖動態測試不失真的條件一階系統的幅相頻特性在某一頻率范圍內，誤差不超過一定限度認為不失真。當ωτ?1約ωτ=1/52）誤差不超過2%

Y(ω)≈X(ω)1）

當ωτ=1一階系統的轉折頻率。

3）幅值誤差不超過5%，A(ω)∈[0.95,1.05]ωτ?1τ越小，對測試越有利。1）

ω一定，即被測信號最高頻率一定，τ越小，系統輸出的幅值誤差越小。A(ω)≈1τ為一階系統的時間常數2）

ωτ一定，即幅值誤差一定，τ越小，系統能夠測量的頻率就越高。幅、相頻圖伯德圖奈魁斯特圖階躍響應溫度濕度酒精0.63一階系統主要的動態特性參數是時間常數。傳遞函數例

3.3用一個一階系統作100Hz正弦信號測量。(1)如果要求限制振幅誤差在5%以內，則時間常數應取多少？(2)若用具有該時間常數的同一系統作50Hz信號的測試，此時的振幅誤差和相角差各是多少？微分方程

微分方程變為：（固有頻率）（阻尼率）稱重(應變片)加速度(壓電)2.二階系統（Second-ordersystem）（靈敏度）

對二階系統而言，主要的動態特性參數是系統固有頻率和阻尼系數。

推導頻率響應函數幅頻特性和相頻特性A(ω)－ω/ωn

φ(ω)－ω/ωn

幅頻特性曲線圖相頻特性曲線圖傳遞函數1)

、ω/ωn>2.5，A(ω)近似水平直線，φ(ω)=-180o。2)、當ω?ωn，即ω/ωn

?1時，A(ω)≈

1；φ(ω)近似線性。3)、當ω?ωn時，

ωn越大，系統工作頻率范圍越大。4)、當ω=ωn時，A(ω)=1/(2ξ)，φ(ω)=-90o，

幅值劇增，共振。動態測試不失真的條件二階系統的幅相頻特性1)、ξ≈0.7,A(ω)水平近似線性較長，φ(ω)近似線性較長。2)、ξ≈0.6~0.8,A(ω)、φ(ω)都較好，有較好的綜合特性。動態測試不失真的條件1)、二階系統主要動態性能指標：ωn、ξ2)、希望測試裝置由于頻率特性不理想所引起的誤差盡可能小，

一般選取ω/ωn<(0.6~0.8)，

ξ=.065~0.7。

在動圈式電表中，由永久磁鋼所形成的磁場和通電線圈所形成的動圈磁場相互作用而產生的電磁轉矩使線圈產生偏轉運動，如圖所示，動圈作偏轉運動的方程式為▲

任何一個測試系統，都需要通過實驗的方法來確定系統輸入、輸出關系，這個過程稱為標定。即使經過標定的測試系統，也應當定期校準，這實際上就是要測定系統的特性參數。3.6測試系統動態特性的測定

目的：在作動態參數檢測時，要確定系統的不失真工作頻段是否符合要求。方法：用標準信號輸入，測出其輸出信號，從而求得需要的特性。標準信號:正弦信號、脈沖信號和階躍信號。1.穩態響應法理論依據：方法：以頻率為ω的正弦信號

x(t)=X0sinωt

作用于裝置，在輸出達到穩態后測量輸出和輸入的幅值比和相位差，則幅值比就是該ω對應的幅頻特性值，相位差與該ω對應的即為相頻特性值。

從接近零頻率的足夠低的頻率開始，以增量方式逐點增加ω到較高頻率，直到輸出量減小到初始輸出幅值的一半為止，即可得到A(ω)-ω；φ(ω)-ω特性曲線。一階系統的幅頻曲線●●●●●●●對于一階測試系統，主要特性參數是時間常數，可以通過幅頻、相頻特性數據直接計算值。一階系統的幅頻、相頻特性一階系統的幅頻特性曲線

對于二階系統，通常通過幅頻特性曲線估計其固有頻率n和阻尼比。1）在φ(ω)–ω相頻特性曲線上，當ω=ωn時，φ(ωn)=-90o，由此可求出固有頻率ωn。

2）φ’(ω)=-1/ξ，所以，作出曲線φ(ω)–ω在ω=ωn處的切線，即可求出阻尼比ξ。

較為精確的求解方法1）求出A(ω)的最大值及其對應的頻率ωr；求出阻尼比ξ

；

2）由式3）根據，求出固有頻率ωn。

由于這種方法中A(ω1)和ω1的測量可以達到一定的精度，所以由此求解出的固有頻率ωn和阻尼比ξ具有較高的精度。欠阻尼系統（<1)2.脈沖響應法時域波形參數識別優點：直觀缺點：簡單系統識別振幅:振蕩頻率：振蕩周期：

根據響應曲線上的時標測出系統的振蕩頻率ωd，再求ωn3.階躍響應法一階系統：時間常數τ是唯一表征系統動態特性的參數。一階系統的單位階躍響應

當輸入響應達到穩態值的63.2%時，所需要的時間就是一階系統的時間常數。

很難做到精確的測試；

求取時間常數τ未涉及響應全過程，是個別瞬時值，這樣測量結果的可靠性差。

缺點：

方法1：輸出階躍響應函數為yu(t)=1-e-t/τ

輸入一階躍函數μ(t)

或寫成1-yu(t)=e-t/τ

取對數

-t/τ=ln[1-yu(t)]

ln[1-yu(t)]~t成線性關系

說明

根據yu(t)值作ln[1-yu(t)]~t曲線

斜率=1/τ=ΔZ/Δt

τ=Δt

/ΔZ方法2：二階系統：階躍響應函數輸入一階躍函數μ(t)

以ωd作衰減振蕩的

通過求極值的方法，

極值對應的時間：

可得到最大超調量：

代入式

阻尼比

對一個典型二階系統輸入一脈沖信號，從響應的記錄曲線上測得其振蕩周期為4ms，第三個和第十一個振蕩的單峰幅值分別為12mm和4mm。試求該系統的固有頻率ωn和阻尼率ζ。例

3.4▲3.7組成測試系統應考慮的因素1.技術性能指標精度：測量系統的示值和被測量的真值相符合的程度。

精密度（precision）