第5章

回歸模型的函數形式5.1如何度量彈性：雙對數模型5.2線性模型與雙對數模型的比較5.3多元對數線性回歸模型5.4如何測度增長率：半對數模型5.5線性對數模型：解釋變量是對數形式5.6倒數模型5.7多項式回歸模型5.8過原點的回歸5.9關于度量比例和單位的說明5.11不同函數形式模型小結5.12總結

在第2章我們已經討論了線性回歸中“線性”的含義，在本書中我們所關注的是參數線性模型，而并不要求變量Y與X一定是線性的。本章將特別討論下面幾種形式的回歸模型：（1）雙對數模型（不變彈性模型）（2）半對數模型（3）倒數模型（4）多項式回歸模型（5）零截矩模型這些模型有一個重要特征：它們都是參數線性模型，但變量卻不一定是線性的。5.1

如何度量彈性：雙對數模型考慮如下形式的支出函數：稱其為雙對數（double-log)模型或雙對數線性(log-linear)模型。兩邊同取對數，得到：若設B1＝lnA，再在模型中引入隨機誤差項，得到如下隨機模型：雙對數模型是參數線性的，通過簡單變換，可將其化為如下模型，即：式（5-5）可變換為：若（5-6）式滿足古典線性回歸模型的基本假定，則用OLS估計方法得到的估計量是BLUE。

雙對數模型有一個非常重要的特性：回歸系數B2度量了Y對X的彈性，即X變動1％所引起Y變動的百分比。定義彈性E如下：

雙對數模型又稱為不變彈性模型。對數線性模型的假設檢驗與一般線性模型相同。需求函數及其對數變形后的圖形見圖5-1a和圖5-2b.圖5-1不變彈性模型例5-1

數學S.A.T分數一例

在前面的例子中，我們給出了數學S.A.T一例的模型，觀察數據散點圖，可以看出，數學分數和家庭年收入之間只是近似線性關系的。

下面，我們看一下，如果用對數線性模型擬合這個例子中的數據，情況又會怎樣？OLS回歸結果如下(見Eviews操作)：從回歸結果看，支出彈性約為0.13，表明家庭年收入每提高1個百分點，平均而言，數學S.A.T分數將增加0.13個百分點。根據定義，如果彈性的絕對值小于1，則稱缺乏彈性。因此，在該例中，數學S.A.T分數是缺乏彈性的。另外，r2＝0.9，表明logX解釋了變量logY的90％的變動。雙對數模型的假設檢驗就假設檢驗而言，線性模型和雙對數模型并沒有什么不同。在古典線性回歸模型的基本假定下，每一個估計的回歸系數均服從正態分布。如果σ2用其無偏估計量來代替，則每一個估計的回歸系數服從自由度為(n-k)的t分布，其中k為包括截距在內的參數的個數。我們可以考察上例中的回歸結果。選擇模型的規律：（1）根據數據作圖，判斷模型形式（只適用于雙變量情況）。（2）不能簡單根據選擇模型。要比較兩個模型的R2，應變量的形式必須是相同的。（3）可以考慮變量間的相關性、預期的解釋變量系數的符號、統計顯著性及彈性系數等因素。線性模型的彈性系數隨著需求曲線上的點的不同而變化，而對數線性模型在需求曲線上任何一點的彈性系數都相同。5.2線性模型與對數線性模型的比較三變量對數模型：其中，B2、B3又稱為偏彈性系數。B2是Y對X2的彈性（X3保持不變）。B3是Y對X3的彈性（X2保持不變）。在多元對數線性模型中，每一個偏回歸系數度量了在其他變量保持不變的條件下，應變量對某一解釋變量的偏彈性。5.3多元對數線性回歸模型例5-2柯布-道格拉斯生產函數在模型（5-10）中，令Y表示產出，X2表示勞動投入，X3表示資本投入。這樣，式（5-10）就是一個生產函數----反映產出與勞動力和資本投入之間的關系的函數，即柯布-道格拉斯函數（C-D函數）。表5-2給出了1955-1974年間墨西哥的產出Y，（GDP度量，以1960年不變價，單位為百萬比索）、勞動投入X2（用總就業人數度量，單位為千人），資本投入X3（用固定資本度量，以1960年不變價，單位為百萬比索）的數據。表5-2實際GDP，就業人數，實際固定資本——墨西哥年份GDP就業人數固定資產1955114043831018211319561204108529193749195712918787382051921958134705895221513019591399609171225021196015051195692370261961157897952724889719621652869662260661196317849110334275466196419945710981295378196521232311746315715196622697711521337642196724119411540363599196826088112066391847196927749812297422382197029653012955455049197130671213338484677197232903013738520553197335405715924561531197437497714154609825根據表5-2提供的數據，得到如下回歸結果(見Excel文件具體操作)：（5-11）VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-1.6524190.606198-2.7258730.0144LOG(X)0.3397320.1856921.8295480.0849LOG(Z)0.8459970.0933529.0624880.0000R-squared0.995080

Meandependentvar12.22605AdjustedR-squared0.994501

S.D.dependentvar0.381497S.E.ofregression0.028289

Akaikeinfocriterion-4.155221Sumsquaredresid0.013604

Schwarzcriterion-4.005861Loglikelihood44.55221

F-statistic1719.231Durbin-Watsonstat0.425667

Prob(F-statistic)0.000000Eviews軟件回歸結果ls

log(y)clog(x)log(z)如下：將（5-11）式中兩個彈性系數相加，得到一個重要的經濟參數-----規模報酬參數。它反映了產出對投入的比例變動。兩個彈性系數和為1-----規模報酬不變。兩個彈性系數和大于1-----規模報酬遞增。兩個彈性系數和小于1-----規模報酬遞減。例5-3對能源的需求表5-3給出了1960-1982年間7個OECD國家的總最終能源需求指數（Y）、實際GDP（X2

）、實際能源價格（X3）的數據。所有指數均以1973年為基準（1973=100）。

經濟合作與發展組織(OrganizationforEconomicCooperationandDevelopment--OECD)

是西方主要資本主義國家協調經濟和社會政策的國際組織。簡稱“經合組織”。表5-3OECD國家對能源的需求年份最終需求實際的GDP實際的能源價格196054.154.1111.9196155.456.4112.4196258.559.4111.1196361.762.1110.2196463.665.9109196566.869.5108.3196670.373.2105.3197191.889.8100.3197297.294.398.61973100100100197497.3101.4120.1197593.5100.5131197699.11053129.61977100.9109.9137.71978103.9114.4133.71979106.9118.3144.51980101.2119.6179198198.1121.1189.4198295.6120.6190.9根據表5-3提供的數據，得到如下對數線性需求函數：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1.5495040.09011317.195080.0000LOG(G)0.9969230.01911052.166340.0000LOG(P)-0.3313640.024310-13.630860.0000R-squared0.994130

Meandependentvar4.412077AdjustedR-squared0.993543

S.D.dependentvar0.224107S.E.ofregression0.018008

Akaikeinfocriterion-5.074916Sumsquaredresid0.006486

Schwarzcriterion-4.926808Loglikelihood61.36153

F-statistic1693.652Durbin-Watsonstat0.807846

Prob(F-statistic)0.000000Eviews軟件回歸結果：分析：系數的符號是否與經濟理論相符、對模型的解釋、擬合優度分析、參數顯著性、模型顯著性等。5.4如何測度增長率：半對數模型

半對數模型又稱為增長模型，通常我們用這類模型來測度許多變量的增長率。例5-41970～1999年美國人口增長率年份時間美國人口數年份時間美國人口數19701205.052198516238.46619712207.661198617240.65119723209.896198718242.80419734211.909198819245.02119745213.854198920247.34219756215.973199021249.94819767218.035199122252.63919778220.239199223255.37419789222.585199324258.083197910225.055199425260.599198011227.726199526263.044198112229.966199627265.463198213232.188199728268.008198314234.307199829270.561198415236.348199930273.131表9-41970～1999年美國人口（百萬）

我們現在要求在此期間的美國人口增長率。復利計算公式：其中，Y0----Y的初始值，Yt----第t期的Y值

r----Y的增長率（復利率）將（5-13）式變形，對等式兩邊取對數，得：B1B2形如（5-18）的回歸模型稱為半對數模型。得到：若引入隨機誤差項，得到：

在半對數模型中，斜率度量了給定解釋變量的絕對變化所引起的Y的比例變動或相對變動。

即：斜率度量了Y的增長率。所以，半對數模型又稱為增長模型。注意，在滿足OLS基本假定的條件下，能夠用OLS方法來估計模型（5-18）。根據表5-4提供的數據，得到如下回歸結果：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C5.3170350.0006088739.3990.0000T0.0098013.43E-05285.98260.0000R-squared0.999658

Meandependentvar5.468946AdjustedR-squared0.999646

S.D.dependentvar0.086294S.E.ofregression0.001625

Akaikeinfocriterion-9.94267Sumsquaredresid7.39E-05

Schwarzcriterion-9.84926Loglikelihood151.1401

F-statistic81786.04Durbin-Watsonstat0.32374

Prob(F-statistic)0.000000斜率0.0098表示，平均而言，Y的年增長率為0.98％。估計的回歸直線見Eviews文件。5.4.1

瞬時增長率與復合增長率由(5-14)式，有b2=B2的估計值=ln(1+r)因此：antilog(b2)=(1+r)于是：r=antilog(b2)-1(5-21)(r是復利增長率)在上例中得到：

r=antilog(0.0098)-1=1.009848-1=0.009848即在樣本區內，美國人口的年復合增長率為0.9848％。這與前面求得的Y的增長率為0.98％有什么不同？0.98％是瞬時增長率，0.9848％是復利增長率。

ln(1+r)r5.4.2

線性趨勢模型

線性趨勢模型：

Yt=B1+B2t+ut(5-22)即Y對時間t的回歸，其中t按時間先后順序計算。這類模型稱為線性趨勢模型，時間t稱為趨勢變量。根據表5-4提供的數據，擬合的回歸方程如下：

Se=(0.2717)(0.01536)t=(743.27)(152.12)r2=0.9988P值=(0.0000)(0.0000)

回歸結果表明，在樣本區間內，美國人口每年以2.3285（百萬）的絕對速度增長。因此，在此期間，美國人口表現出一個向上的趨勢。見Eviews輸出結果。DependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:19701999Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C201.97270.271735743.27180.0000T2.3284850.015306152.12430.0000R-squared0.998792

Meandependentvar238.0643AdjustedR-squared0.998748

S.D.dependentvar20.51101S.E.ofregression0.725646

Akaikeinfocriterion2.260832Sumsquaredresid14.74374

Schwarzcriterion2.354245Loglikelihood-31.91247

F-statistic23141.80Durbin-Watsonstat0.107636

Prob(F-statistic)0.000000比較用線性趨勢模型和半對數模型對數據擬合的結果，發現兩個模型的擬合效果都不錯，且都通過了t檢驗。如何選擇？線性趨勢模型可以度量經濟變量的絕對變化，增長模型(半對數模型)可以度量經濟變量的相對變化（相對增長、增長率），通常人們更關注相對變化量。需要注意的是，比較這兩個模型不能通過r2來判斷，兩個模型的殘差平方和等也沒有可比性，因為兩個模型的應變量不相同。5.5

線性對數模型：解釋變量是對數形式在上一節，我們討論的半對數模型是：應變量是對數形式而解釋變量是線性形式的增長模型，這類模型也稱為對數－線性模型(log-linmodel)。本節將討論另一種半對數模型：應變量是線性形式而解釋變量是對數形式的模型。稱為線性－對數模型(lin-logmodel)。因為對模型：有：所以線性對數模型常用于研究解釋變量每變動1%，相應應變量的絕對變化量的情形。在有多個對數形式的解釋變量的模型中，偏斜率系數度量了在其他變量保持不變的條件下，某一給定變量X每變動1％所引起的應變量的絕對改變量。例5.5個人總消費支出與服務支出的關系

（1993-1～1998-3，1992年美元價，10億美元表9-51993-1～1998-3個人總消費支出與各類支出季度數據（10億美元）觀察值Y1服務支出Y2耐用品支出Y3非耐用品支出X總消費支出1993-12445.35041337.54286.81993-22455.9519.31347.84322.81993-32480529.91356.84366.61993-42494.4542.11361.843981994-12510.9550.71378.44439.41994-22531.4558.81385.54472.21994-32543.8561.71393.24498.21994-42555.9576.61402.54534.11995-12570.4575.21410.44555.31995-22594.8583.51415.94593.61995-32610.3595.31418.54623.41995-42622.9602.41425.646501996-12648.56111433.54692.11996-22668.4629.51450.44746.61996-32688.1626.51454.74768.31996-42701.7637.51465.14802.61997-12722.1656.31477.94853.41997-22743.6653.81477.14872.71997-32775.4679.61495.749471997-42804.8648.81494.349811998-12829.3710.31521.25055.11998-22866.8729.41540.95130.21998-32904.8733.71549.15181.8假定要求個人總消費支出的變動對服務支出的影響，考慮下面模型：其中，Y1=服務支出，X=個人總消費支出。模型（5-24）的回歸結果如下：t=(-78.33)(89.89)r2=0.997Eviews回歸結果如下：DependentVariable:Y1Method:LeastSquaresSample:1993Q11998Q3Includedobservations:23VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-17907.55228.6108-78.332050.0000LOG(X)2431.68627.0514089.891320.0000R-squared0.997408

Meandependentvar2642.152AdjustedR-squared0.997284

S.D.dependentvar134.6207S.E.ofregression7.015229

Akaikeinfocriterion6.816985Sumsquaredresid1033.482

Schwarzcriterion6.915724Loglikelihood-76.39533

F-statistic8080.449Durbin-Watsonstat1.042303

Prob(F-statistic)0.000000lsy1clog(x)模型（5-24）中的斜率度量了：式（5-26）也可寫為：式（5-27）表明，Y的絕對變化量等于B2乘以X的相對變化量。因而，若每變化0.01個單位（或1%），則Y的絕對改變量為0.01(B2)。本例中，估計得到的斜率系數是2431.686，表示個人總消費支出每增加一個百分點，平均而言，服務支出將增加24.31（10億美元）。5.6

倒數模型該模型的顯著特征：隨著X的無限增大，Y將逐漸接近于B1

，B1稱為漸進值(asymptoticvalue)或極限值。倒數模型(reciprocalmodel)：下面給出了雙曲函數模型的一些可能的形狀。B10XYB1>0B2>00XYB1>0B2<00XYB1<0B2>0-B2/B1B1B1(a)(b)(c)圖5-4倒數模型在圖5-4a中，若Y表示生產的平均固定成本(AFC)，也即總固定成本除以產出，X代表產出，則根據經濟理論，隨著產出的不斷增加，AFC將逐漸降低，最終接近其漸進線Y=B1。圖5-4b描繪了恩格爾消費曲線（Engelexpenditurecurve)：消費者對某一商品的支出與其總收入或總消費支出的關系。設Y表示消費者在某一種商品上的消費支出，X表示消費者總收入，則該商品有以下特征（1）收入有一個臨界值（2）消費有一個滿足水平。雙曲函數是描述這類商品最適合的模型。圖5-4c的一個重要用途是宏觀經濟學中著名的菲利普斯曲線(Philipscurve)。菲利普斯根據英國貨幣工資變化的百分比Y與失業率X的數據，得到了形如圖5-4c的一條曲線。從圖中可以看出，工資的變化對失業水平的反映是不對稱的。例5-61958-1969年美國的菲利普斯曲線t=(-0.2572)(4.3996)r2=0.6594表9-6給出了美國1958～1969年間小時收入指數Y和城市失業率X的數據，模型（5-28）擬合了表5-6給出的數據，回歸結果如下：圖5-4a給出了該回歸線。表5-6美國小時收入指數年變化的百分比Y與失業率X年份YX19584.26.819593.55.519603.45.519613.06.719623.45.519632.85.719642.85.219653.64.519664.33.819675.03.819686.13.619696.73.5Eviews輸出結果：lsyc1/xDependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:19581969Includedobservations:12VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-0.2594371.008640-0.2572140.80221/X20.587884.6794824.3996070.0013R-squared0.659360

Meandependentvar4.066667AdjustedR-squared0.625296

S.D.dependentvar1.271601S.E.ofregression0.778386

Akaikeinfocriterion2.487823Sumsquaredresid6.058842

Schwarzcriterion2.568640Loglikelihood-12.92694

F-statistic19.35654Durbin-Watsonstat0.639368

Prob(F-statistic)0.001336從回歸結果中可以看出，最低工資率為-0.26％，它顯著為0。因此，無論失業率有多高，工資的增長率至少為0。9-5作為比較，我們給出根據相同數據得到的線性回歸結果：

t=(6.4625)(-3.2605)r2=0.5153

線性模型表明，失業率每上升1％，平均而言，收入的變化率為一常數，約為-0.79。在雙曲函數模型中，收入的變化率不是常數，它依賴于X(失業率)的水平，后一種模型看似更符合經濟理論。由于在兩個模型中的應變量相同，我們還可以比較r2值。比較這兩個模型可以看出，雙曲函數模型比線性模型更好地擬合了樣本數據。5.7

多項式回歸模型圖5-8描繪了總成本函數（是產出的函數）曲線和邊際成本（MC）及平均成本（AC）曲線。Y表示總成本（TC），X表示產出，總成本函數可以表示為：形如式（5-32）的函數又稱為立方函數（三次多項式函數）。可以把它看作多元回歸方程(引入隨機誤差項)，用OLS方法來估計參數。圖5-8例5-8

總成本函數：

為了說明多項式模型，考慮表5-8給出的成本—產出數據se=(6.3753)(4.7786)(0.9857)(0.0591)R2=0.9983

根據這些數據，用OLS方法得到的回歸結果如下：Y（$)193226240244257260274297350420總成本X12345678910產出表5-8成本—產出數據DependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:110