DEA方法及其應用

武漢理工大學管理學院

目錄：

一、DEA方法簡介

二、DEA基本原理和模型

三、DEA應用案例

四、DEA軟件介紹

五、DEA主要應用領域

六、DEA最新研究進展

七、DEA主要參考文獻

假設有5個生產任務相同的工廠,如5家水泥廠或5家紡織廠等,每個工廠都有兩種投入和一種產出,其具體數據見表1．工廠(DMU)ABCDE投入1105131投入2171122產出1202062410表1各廠情況如何對5個工廠生產情況的“好壞”進行評價呢？為了便于比較,現把5個工廠的各項投入和產出按比例變化,使其產出相同，見表2，這樣就可以只比較其投入了。工廠ABCDE投入11030201512投入2176201024產出120120120120120表2各廠調整后的情況現以兩項投入為坐標建立投入平面，如圖1所示，5個工廠分別對應于平面上5個等產出點。顯然,靠近左下方的工廠應該是“好”的，而遠離左下方的工廠則“不好”。將位于左下方的A,D,B依次連接起來,再由A向上做縱軸的平行線,由B向右做橫軸的平行線,可以得到一個“凸包”,這是使所有5個工廠均位于其右上方的“最小凸包”,A,D,B位于投入1投入2ABCDEHIO圖5-2凸包的邊界上,C,E位于其內部.將C,E與原點相連,分別交凸包邊界于H,I點.H由A和D組合而成,可以看作是一個虛構的對象.經過簡單的計算可知,H是由A的5/12和D的7/12組合而成的,其投入和產出分別為投入1：投入2：產出：由于H是A和D的組合,因而在實際生產中是可以實現的,其兩項投入均是C兩項投入的顯然C不是相對有效的.同樣,I也可以看作是一個虛構的工廠,其投入分別為10和20,產出為120，其投入是E的83.3%,因而E也不是相對有效的.很顯然,越偏向右上方,有效性越差.相對而言,位于凸包邊界上的A，D，B是有效的．在上面的例子中,DEA方法評價的對象是同類型的工廠,事實上,DEA方法評價的對象并不局限于這種真正的生產活動,它們可以是廣義的“生產”活動.比如：多所大學、多家醫院、多個空軍基地、多家銀行等都可以作為DMU,其基本的特點就是有相同種類的投入和產出,這些投入產出數據就是評價相對有效性的依據.判斷某個對象是否為相對有效的,就是看是否有一個虛構的對象(它是實際觀察到的對象的某種組合)比它更“好”(相同產出條件下投入更少或相同投入情況下產出更多).若有這樣的對象,則原對象不是相對有效的,否則,是相對有效的,這就是DEA方法評價的基本思路.一、DEA方法簡介

數據包絡分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出，該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU,DecisionMakingUnits）的輸入或者輸入不變，借助于數學規劃和統計數據確定相對有效的生產前沿面，將各個決策單元投影到DEA的生產前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評價它們的相對有效性。

DEA方法以相對效率概念為基礎，以凸分析和線形規劃為工具的一種評價方法，應用數學規劃模型計算比較決策單元之間的相對效率，對評價對象做出評價，它能充分考慮對于決策單元本身最優的投入產出方案，因而能夠更理想地反映評價對象自身的信息和特點；同時對于評價復雜系統的多投入多產出分析具有獨到之處。DEA方法的特點：適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理多輸出-多輸入的有效性評價方面具有絕對優勢DEA方法并不直接對數據進行綜合，因此決策單元的最優效率指標與投入指標值及產出指標值的量綱選取無關，應用DEA方法建立模型前無須對數據進行無量綱化處理（當然也可以）無須任何權重假設，而以決策單元輸入輸出的實際數據求得最優權重，排除了很多主觀因素，具有很強的客觀性DEA方法假定每個輸入都關聯到一個或者多個輸出，且輸入輸出之間確實存在某種聯系，但不必確定這種關系的顯示表達式DEA方法的特點：定義：

123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmn

y11y12y13…y1j…y1n1u1

y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…ysnsusm種輸入n個決策單元（DMU）s種輸出二、DEA基本原理和模型權系數權系數各字母定義如下：xij--------第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量.xij〉0yrj--------第j個決策單元對第r種類型輸出的產出總量.yrj〉0vi--------對第i種類型輸入的一種度量，權系數ur--------對第r種類型輸出的一種度量，權系數i----------1,2,…,mr----------1,2,…,sj----------1,2,…,n對于每一個決策單元DMUj都有相應的效率評價指數：

我們總可以適當的取權系數v和u，使得hj≤1,j=1,…，n

對第j0個決策單元進行效率評價，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。這樣我們如果對DUMj0進行評價，看DUMj0在這n個DMU中相對來說是不是最優的，我們可以考察當盡可能的變化權重時，hj0的最大值究竟是多少。如以第j0個決策單元的效率指數為目標，以所有決策單元的效率指數為約束，就構造了如下的CCR（C2R）模型：上述規劃模型是一個分式規劃，使用Charnes－Cooper變化，令：可變成如下的線性規劃模型P：（P）

利用線性規劃的最優解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對其他所有決策單元而言的。對于CCR模型可以用規劃P表達，而線性規劃一個重要的有效理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經濟意義上作深入分析規劃P的對偶規劃為規劃D/：（D/）為了討論和計算應用方便，進一步引入松弛變量s＋和剩余變量s－，將上面的不等式約束變為等式約束，可變成：（D）將上述規劃（D）直接定義為規劃（P）的對偶規劃幾個定理和定義：定理1

線性規劃（P）和對偶規劃（D）均存在可行解，所以都存在最優值。假設它們的最優值為別為hj0*與θ*，則有hj0*＝θ*

定義1若線性規劃（P）的最優值hj0*＝1，則稱決策單元DMUj0為弱DEA有效定義2若線性規劃（P）的解中存在w*＞0，μ*

＞0，并且最優值hj0*＝1，則稱決策單元DMUj0為DEA有效的定理2

DMUj0

為弱DEA有效的充要條件是線性規劃（D）的最優值θ*＝1；DMUj0為DEA有效的充要條件是線性規劃（D）的最優值θ*＝1，并且對于每個最優解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0DEA有效性的定義：我們能夠用CCR模型判定是否同時技術有效和規模有效：（1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。則決策單元j0為DEA有效，決策單元的經濟活動同時為技術有效和規模有效（2）θ*＝1，但至少某個輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經濟活動不是同時為技術效率最佳和規模最佳（3）θ*＜1，決策單元j0不是DEA有效，經濟活動既不是技術效率最佳，也不是規模最佳DEA有效性的定義：還可以用CCR模型中的λj判斷DMU的規模收益情況：（1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，則DMU為規模收益不變（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＜1，則DMU為規模收益遞增（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＞1，則DMU為規模收益遞減1952年，Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量ε，成功的解決了計算和技術上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量ε的

CCR模型：CCR模型的計算：最優解為，，，λj使各個有效點連接起來,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包絡面。在實際運用中,對松弛變量的研究是有意義的,因為它是一種純的過剩量(s-)或不足量(s+)，θ則表示DMU離有效前沿面或包絡面的一種徑向優化量或“距離”設其中,,是決策單元j0對應的線性規劃（D）的最優解,則(,)為DMUj0對應的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影,它是DEA有效的CCR模型中變量的經濟含義:定理3三、DEA應用案例1.對生產水平的相對有效性分析

--梁敏.邊馥萍.生產水平的相對有效性分析.

數量經濟技術經濟研究[J]2003.9：91-94利用含有非阿基米德無窮小ε的CCR模型，對北京地區建立如下模型：同樣建立其他三個直轄市的模型，求得的解如下：

由定理3可知，對于非DEA有效的DMU，可將其投影到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU變成有效的DMU以天津為例，為得到同樣的總產值和財政收入，輸入可減少到：三、DEA應用案例2.對經濟效益的評價

--侯風華，張在旭，徐青.DEA方法在石油企業經濟效益評價中的應用.

系統工程理論方法應用[J]2000.3：252-257

設研究對象為11個油田,將這11個油田簡記為DMUj(j=1,2,…,11)

輸入指標的選取：投資總額；職工總數；銷售成本；固定資產原值輸出指標的選取：原油產量(含天然氣)；利稅總額；新增探明儲量(含天然氣)CCR模型的解CCR模型的解根據上述的DEA有效性的判別定理,可知:(1)達到DEA有效的DMU分別為：

DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11(2)非DEA有效的DMU分別為：

DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10(3)非DEA有效的DMU按定理3進行投影計算結果如后投影分析結果:用DEA方法評價決策單元的相對效率時,最后的結果很可能出現多個單元同時為相對有效，而不能做進一步的評價與比較。故采用一種改進的DEA模型(簡稱MDEA)來對DEA

有效單元做進一步評價,從而對所有地區按效率值進行充分排名.MDEA模型：在MDEA模型中,將某個DMU能增加其投入而仍保持相對有效性的最大比例值,稱為該DMU

的“MDEA

效率”,顯然該效率值有可能大于1。由于MDEA模型是對有效單元進行再評價,故被評價單元是技術有效的且其規模收益不變.因此,MDEA模型能做到對所有被評價單元的充分評價與排序,為決策提供了更加完備的信息.四、DEA軟件介紹1.DEAP-Versionhttp://.au/econometrics/cepa.htm2.FRONTIERhttp://.au/econometrics/cepa.htm3.EfficiencyMeasurementSystem

http://www.wiso-uni-dortmund.de/lstg/or/scheel/ems/4.LINDO軟件五、DEA主要應用領域1.經濟體效率評價：

企業效率，銀行效率,鐵路運營