數學精神與方法第六講運算與迭代的威力（二）§3.2

經典數學的統一

——“數形合一”（續）上一節我們已看到怎樣從ZFC系統制定出自然數系，整數系，直至有理數系。本節將帶領大家看一看：怎樣由有理數系制定出實數系？怎樣理解實數系與直線的統一？怎樣理解數與形的統一？無理量的存在性思考題：證明上述命題。“完備化”觀念

無理數的存在說明有理數系并不像畢達哥拉斯想象的那么“完備”，有理數系還有必要作進一步的擴充。可是，“完備”究竟意味什么意思呢？簡單地說，這里的“完備”是數學家渴望達到的一種境界——“數與形統一”。讓我們自然地設想一下：在一條連綿不斷的直線上，選定一個原點和一個序向，并選定單位長度，那么可以將有理數0對應于直線上的原點，將數目1對應于直線上沿序向離原點有一個單位長度的點，將數目2對應于沿序向離原點有二個單位長度的點，等等——凡是有理數都唯一地對應于直線上一點，這一點離開原點的距離與單位長度是可公度的，并且不同的有理數對應于直線上不同的點——這樣就實現了從有理數系Q到直線上某個稠密子集間的一個保序雙射。可是，這條連綿不斷的直線上終歸本性地存在著不能被任何有理數對應的點，這一現象正是有理數系Q“不完備”

的表象。透過Q的這種“不完備”

表象，可以體會“完備”的意味——“完備”是“數與直線（形）統一”的想法。“完備”=“數與直線（形）統一”分析數學的基本問題

怎樣將有理數系擴充成一個完備的有序數系，從而達成“數與直線的統一”呢？這事實上是事關“分析數學”基礎的一個大問題。

牛頓和萊布尼茲在17世紀發明的微積分理論，被譽為“人類精神的最高勝利”，開啟了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特點的數學領域。然而，牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴格的，特別在使用無窮小概念上是隨意和混亂的。這種狀況長期困擾著數學家們，長達200年之久。數學家們經過幾代人的不懈努力才搞清楚，徹底消除微積分理論的漏洞，靠的是有理數系的“完備化”思想，即將有理數系擴充成一個完備的有序數系——實數系——的理論。牛頓（IsaacNewton,1642—1727)，最偉大的科學家之一。《自然哲學的數學原理》于1687年出版。萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646—1716），德國數學家，微積分的創立者。牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們所處時代的科學巨人，他們在相互獨立的情況下各自創立了微積分。就發明時間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發表時間而言，萊布尼茨先于牛頓。微積分發明權的爭論被認為是“科學史上最不幸的一章”。由此產生的嚴重影響是，整個18世紀英國與歐陸國家在數學發展上分道揚鑣。雖然牛頓在微積分應用方面的輝煌成就極大地促進了科學的進步，但由于英國數學家固守牛頓的傳統而使自己逐漸遠離了分析的主流。分析的進步，在18世紀，主要是由歐陸國家的數學家在發展萊布尼茨微積分方法的基礎上而取得的。英雄世紀微積分誕生之后，數學迎來一次空前繁榮的時期。18世紀被稱為數學史上的英雄世紀。這個時期的數學家們在幾乎沒有邏輯支持的前提下，勇于開拓并征服了廣泛的科學領域。18世紀的數學家知道他們的微積分概念是不清楚的，證明也不充分，但他們卻自信他們的結果是正確的。在微積分的發展過程中，一方面是成果豐碩，另一方面是基礎的不穩固；這使得在微積分的研究和應用中出現了越來越多的謬論和悖論。數學的發展又遇到了深刻的令人不安的危機。由微積分的基礎所引發的危機在數學史上稱為第二次數學危機。因此在18世紀結束時，微積分和建立在其上的其他分析分支，在邏輯上，處于一種混亂的狀態之中。歷史要求給微積分以嚴格的基礎。微積分的嚴格基礎微積分理論和應用經過整個18世紀的空前展開和長期發展，在說明這一理論極其有效的同時，也使得它的邏輯基礎備受數學家們的關注，數學界再也不能無視微積分建立在一個“隨意的和混亂的”無窮小概念之上。進入19世紀，分析基礎嚴格化的時代到來了。法國數學家柯西首先向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步，他的許多定義和論述已經相當接近微積分的現代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎問題上長期存在的混亂，但他的理論還只能說是“比較嚴格”，人們不久就發現他的理論也存在漏洞。例如，他用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”等直觀描述的語言。事實上，要真正為微積分奠定牢固的基礎是必須充分理解實數系的完備性才能辦得到的。可是，直到19世紀中葉，對于什么是實數竟沒有嚴格的定義，數學家對實數系的理解僅停留在數軸這種直觀的感覺上，他們相當隨便地使用無理數而沒有考察它們的確切意義和性質。柯西對“無理數”是什么的問題作了一個表面的回答：無理數是有理數序列的極限。——這里產生了“邏輯循環”的毛病。

柯西（AugustinLouisCauchy,1789---1857），法國數學家。他對數學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述與證明方法，使微積分擺脫了對于幾何與運動的直觀理解和物理解釋，從而形成微積分的現代體系。“分析算術化”綱領對于實數缺乏認識，不僅造成邏輯上的間斷，而且導致錯誤結果時常出現，同時使人無法明辨錯誤出在哪里。19世紀后半葉，數學家們開展了一場數學史上著名的“分析算術化”運動，其目的就是要把分析建立在“純粹算術”的基礎上。這場運動的主帥是德國數學家魏爾斯特拉斯，他關于分析嚴格化的貢獻使他獲得了“現代分析之父”的稱號。魏氏的嚴格化突出表現在，他創造了一套ε-δ語言，用于重建分析體系。他用這套嚴格語言去代替前人的“無限地趨近”等說法而重新定義了極限、連續、導數等分析學的基本概念，特別是引進了以往被忽視的“一致收斂性”概念，從而消除了微積分中不斷出現的各種混亂和異議。可以說，數學分析達到今天所具有的嚴密形式，本質上歸功于魏氏的工作。魏爾斯特拉斯認為，實數賦予我們極限、連續等基本概念，因而成為整個分析的邏輯本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。為此，最可靠的辦法是，按照嚴密的邏輯將實數歸結為整數（有理數）。這樣，分析的所有概念便可以由整數導出，以往的漏洞和缺陷就能得以彌補。這就是魏氏的“分析算術化”綱領。1857年，魏爾斯特拉斯在解析函數論課程里向他的學生講授了歷史上第一個嚴格的實數定義。

外爾斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass,1815---1897），德國數學家。他的主要貢獻在函數論和分析方面。他發現了函數項級數的一致收斂性，借助級數構造了復變函數論，開始了分析的算術化過程。他給出的處處連續處處不可微的函數震動了數學界。在代數方面，他第一個給出了行列式的嚴格定義。他被譽為“現代分析之父”。實數的“戴德金分割”理論鑒于各種實數理論本質上是一回事，我們只簡介戴德金的實數定義方案。如上所見，戴德金定義實數的方法以有理數系的分割為基礎。數與構造數的方法達成了統一！實數系的完備性實數系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實數的大小關系說起。

戴德金完備性定理

現在建立起來的全序集（R,≦）本質上已具有將有理數系Q擴充成一個完備的有序數系的功能。這里需說明（R,≦）具有完備性是什么意思，然后再將Q上的加法和乘法運算擴充到R上（擴充到R上的加法和乘法運算是唯一確定的）。這樣，（R,≦，+，-）就構成了我們理想中的完備有序數系——即我們精神世界中的理想直線。（R,≦）的完備性是什么意思呢？（R,≦）的完備性表達出直線的“連通性”，而在（R,≦）上定義算術四則運算則可以表達出直線的“直性”——這里我們不打算陷入定義實數之算術運算的細節中。那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說：“線只有長度沒有寬度”；這只是不能使用的“假定義”而已。希爾伯特提出：將“直線”作為無定義的原始概念處理。注意：

戴德金（Dedekind,J.W.Richard，1831-1916），德國數學家，他因提出了把每個實數都定義成是有理數集的一個“戴德金分割”的理論，而成為現代實數理論的奠基人。“自然數是萬物之母”的復生現在想來，“直線”只是一個不能加以定義的幾何對象——盡管它在我們心中的影像是那么地確定無疑——與其讓它這般地亦真亦幻，不如將它就“等同”于實數系（R，≦，+，-）好了。這種“等同”實現了“數與直線的統一”。進一步，利用笛卡爾的坐標幾何的思想就可以實現“數與形的統一”。笛卡爾（Rene.Descartes,1596-1650），法國哲學家兼數學家，解析幾何的發明者。他試圖在一個毋庸置疑的基礎上重建知識體系，他選擇