第八章離散模型8.1層次分析模型8.2循環比賽的名次y8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題

涉及經濟、社會等方面的因素

作比較判斷時人的主觀選擇起相當大的作用，各因素的重要性難以量化

Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結合的、系統化、層次化的分析方法目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，

各層元素間的關系用相連的直線表示。

通過相互比較確定各準則對目標的權重，及各方案對每一準則的權重。將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的權重。層次分析法將定性分析與定量分析結合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。層次分析法的基本步驟成對比較陣和權向量

元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度

設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權向量選擇旅游地成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權向量成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致(但在允許范圍內)的成對比較陣A，建議用對應于最大特征根的特征向量作為權向量w，即一致陣性質成對比較陣和權向量2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發現，1~9尺度較優。

便于定性到定量的轉化：成對比較陣和權向量一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗組合權向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對第2層的計算結果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權向量第3層對第2層各元素的權向量構造矩陣則第3層對第1層的組合權向量第s層對第1層的組合權向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據。二.層次分析法的廣泛應用

應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，產業結構，教育，醫療，環境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。構造成對比較陣是數量依據，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出。國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩定對外貿易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發展聲譽關系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇過河的效益

A經濟效益B1社會效益B2環境效益B3節省時間C1收入C2岸間商業C3當地商業C4建筑就業C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價

A經濟代價

B1環境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇待評價的科技成果直接經濟效益

C11間接經濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術創新

C22技術水平

C23技術創新

C24效益C1水平C2規模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價三.層次分析法的若干問題

正互反陣的最大特征根是否為正數？特征向量是否為正向量？一致性指標能否反映正互反陣接近一致陣的程度？

怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？

為什么用特征向量作為權向量？

當層次結構不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？1.

正互反陣的最大特征根和特征向量的性質定理1

正矩陣A的最大特征根是正單根，對應正特征向量w，且定理2n階正互反陣A的最大特征根>=n,=n是A為一致陣的充要條件。

正互反陣的最大特征根是正數，特征向量是正向量。一致性指標定義合理2.

正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術平均列向量歸一化算術平均精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010根法——取列向量的幾何平均冪法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，設置精度2)計算3）歸一化5)計算簡化計算4）若，轉5；否則，k:=k+1,轉23.

特征向量作為權向量——成對比較的多步累積效應問題一致陣A,權向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,應選權向量w使wi/wj與

aij相差盡量小（對所有i,j)。用擬合方法確定w非線性最小二乘線性化——對數最小二乘結果與根法相同成對比較Ci:Cj

(直接比較）aij

~1步強度aisasj~Ci通過Cs與Cj的比較aij(2)

~2步強度更能反映Ci對Cj

的強度多步累積效應體現多步累積效應定理1特征向量體現多步累積效應當k足夠大,Ak第i行元素反映Ci的權重求Ak的行和4.不完全層次結構中組合權向量的計算完全層次結構：上層每一元素與下層所有元素相關聯不完全層次結構設第2層對第1層權向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3層對第2層權向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得討論由w(2),W(3)=(w1(3),

w2(3))計算第3層對第1層權向量w(3）的方法貢獻O教學C1科研C2P2P1P3P4例:評價教師貢獻的層次結構P1,P2只作教學,P4只作科研,P3兼作教學、科研。C1,C2支配元素的數目不等

不考慮支配元素數目不等的影響仍用計算

支配元素越多權重越大用支配元素數目n1,n2對w(2)加權修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,

P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用計算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T

支配元素越多權重越小教學、科研任務由上級安排教學、科研靠個人積極性考察一個特例：5.

殘缺成對比較陣的處理mi~A第i行中的個數為殘缺元素輔助矩陣6.

更復雜的層次結構

遞階層次結構：層內各元素獨立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環。

更復雜的層次結構：層內各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環。制動底盤車輪方向盤發動機減震裝置剎車轉向運行加速性能汽車行駛性能汽車1汽車2汽車n……例層次分析法的優點

系統性——將對象視作系統，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策——系統分析（與機理分析、測試分析并列）；

實用性——定性與定量相結合，能處理傳統的優化方法不能解決的問題；

簡潔性——計算簡便，結果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限

囿舊——只能從原方案中選優，不能產生新方案；

粗略——定性化為定量，結果粗糙；主觀——主觀因素作用大，結果可能難以服人。8.2循環比賽的名次

n支球隊循環賽，每場比賽只計勝負，沒有平局。

根據比賽結果排出各隊名次方法1：尋找按箭頭方向通過全部頂點的路徑。123456312456146325方法2：計算得分：1隊勝4場，2,3隊各勝3場，4,5隊各勝2場，6隊勝1場。無法排名2,3隊，4,5隊無法排名6支球隊比賽結果……32，45排名132456合理嗎123(1)123(2)123