2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（）A． B． C． D．2．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．3．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．4．設等差數列的前項和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．125．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．6．已知函數，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數，則a的值為（）A． B． C． D．8．已知函數，若所有點，所構成的平面區域面積為，則（）A． B． C．1 D．9．從某市的中學生中隨機調查了部分男生，獲得了他們的身高數據，整理得到如下頻率分布直方圖：根據頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數的估計值為A． B．C． D．10．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．11．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內切圓的半徑為（）A． B． C． D．12．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由于受到網絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經濟損失，現將地區200家實體店該品牌洗衣機的月經濟損失統計如圖所示，估算月經濟損失的平均數為，中位數為n，則_________.14．若函數為奇函數，則_______.15．函數（為自然對數的底數，），若函數恰有個零點，則實數的取值范圍為__________________.16．已知為等比數列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）交通部門調查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯表，并據此判斷是否有的把握認為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關；平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據這些樣本數據來估計總體，隨機調查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數為，假定抽取的結果相互獨立，求的分布列和數學期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業人員跨地區就業后，社保轉移接續的手續往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續，深得流動就業人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續所需時間（天）與人數的頻數分布表：時間人數156090754515（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人，請完成辦理社保手續所需時間與是否流動人員的列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續所需時間與是否流動人員”有關.列聯表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續所需時間不超過4天辦理社保手續所需時間超過4天60總計21090300（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數為，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是(為參數)，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點，與軸交于點，求.20．（12分）誠信是立身之本，道德之基，我校學生會創設了“誠信水站”，既便于學生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數據分析，以四周為一周期，如表為該水站連續十二周（共三個周期）的誠信數據統計：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數；（Ⅱ）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周進行調研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；（Ⅲ）已知學生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據已有數據，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據已有數據陳述理由.21．（12分）如圖，四邊形是邊長為3的菱形，平面.（1）求證：平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的正弦值.22．（10分）已知非零實數滿足．（1）求證：；（2）是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

分子分母同乘,即根據復數的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點睛】本題考查復數的除法運算,屬于基礎題.2．A【解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.3．A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數的性質即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題4．A【解析】

由題意知成等差數列，結合等差中項，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數列，可知也成等差數列，所以，即，解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數列的性質，考查了等差中項.對于等差數列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數列性質，可使得計算量大大減少.5．D【解析】

根據線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.6．C【解析】

確定函數為奇函數，且單調遞減，不等式轉化為，利用雙勾函數單調性求最值得到答案.【詳解】是奇函數，，易知均為減函數，故且在上單調遞減，不等式，即，結合函數的單調性可得，即，設，，故單調遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.【點睛】本題考查了根據函數單調性和奇偶性解不等式，參數分離求最值是解題的關鍵.7．A【解析】

根據復數的乘法運算法則化簡可得，根據純虛數的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為，該復數為純虛數，所以.故選：A【點睛】本題考查復數的運算和復數的分類，屬基礎題.8．D【解析】

依題意，可得，在上單調遞增，于是可得在上的值域為，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因為，，所以，在上單調遞增，則在上的值域為，因為所有點所構成的平面區域面積為，所以，解得，故選：D.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，理解題意，得到是關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．9．C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數的估計值為，故選C．10．D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質可以得到，，結合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構造關于的方程，本題屬于難題.11．B【解析】

設左焦點的坐標，由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設內切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.12．C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規劃問題，考查數形結合的數學思想以及運算求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．360【解析】

先計算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，，面積和超過0.5，所以中位數在第二塊求解，然后再求得平均數作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數字特征，考查運算求解能力以及數形結合思想，屬于基礎題.14．-2【解析】

由是定義在上的奇函數,可知對任意的,都成立,代入函數式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數,則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數性質的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.15．【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數當中的應用，屬于難題.16．【解析】

設等比數列的公比為，根據題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數列的性質可得，，由于與的等差中項為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）填表見解析；有的把握認為，平均車速超過與性別有關（2）詳見解析【解析】

（1）根據題目所給數據填寫列聯表，計算出的值，由此判斷出有的把握認為，平均車速超過與性別有關.（2）利用二項分布的知識計算出分布列和數學期望.【詳解】（1）平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為，，所以有的把握認為，平均車速超過與性別有關.（2）服從，即，.所以的分布列如下0123的期望【點睛】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查二項分布分布列和數學期望，屬于中檔題.18．（1）列聯表見解析，有；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據題意，結合已知數據即可填寫列聯表，計算出的觀測值，即可進行判斷；（2）先計算出時間在和選取的人數，再求出的可取值，根據古典概型的概率計算公式求得分布列，結合分布列即可求得數學期望.【詳解】（1）因為樣本數據中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續所需時間與是否流動人員列聯表如下：辦理社保手續所需時間與是否流動人員列聯表流動人員非流動人員總計辦理社保手續所需時間不超過4天453075辦理社保手續所需時間超過4天16560225總計21090300結合列聯表可算得.有95%的把握認為“辦理社保手續所需時間與是否流動人員”有關.（2）根據分層抽樣可知時間在可選9人，時間在可以選3名，故，則，，，，可知分布列為0123可知.【點睛】本題考查獨立性檢驗中的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.19．（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標和直角坐標方程的互化公式求得直線的直角坐標方程；(2)先得到直線的參數方程，將直線的參數方程代入到圓的方程，得到關于的一元二次方程，由根與系數的關系、參數的幾何意義進行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數方程(α為參數)(α為參數)，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數方程為(t為參數)．設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）兩次活動效果均好，理由詳見解析.【解析】

（Ⅰ）結合表中的數據，代入平均數公式求解即可；（Ⅱ）設抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機抽取兩周，則有兩周為“高誠信度”事件為，利用列舉法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率計算公式求解即可；（Ⅲ）結合表中的數據判斷即可.【詳解】（Ⅰ）表中十二周“水站誠信度”的平均數.（Ⅱ）設抽到“高誠信度”的事件為，則抽到“一般信度”的事件為，則隨機抽取兩周均為“高誠信度”事件為，總的基本事件為共15種，事件所包含的