第一節：引言第二節模糊集合論基礎第三節模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成第二章、模糊控制理論基礎第一節：引言模糊概念當逛進大商場或者家用電器商店時，你會無意中發現已有不少家用電器上，比如洗衣機、電飯鍋、照相機、攝象機，打上了“FUZZYCONTROL”的標簽，并且這類產品的品種還在增多。報紙和雜志上也會不時地出現這些字樣或者模糊控制這個術語。人們在不知不覺中已開始接受這個新事物。向一般人普及FUZZY的課堂不是在學校，而是在商場由模糊控制的家用電器在向大家講解。“FUZZY”這個詞在英語里的解釋是“毛絨絨的，似絨毛的，失真的，模糊的”。在這里通常把它翻譯成“模糊”。天氣冷熱雨的大小風的強弱人的胖瘦年齡大小個子高低2、模糊邏輯控制的發展模糊邏輯控制(FuzzyLogicControl)簡稱模糊控制(FuzzyControl)，是以模糊集合論、模糊語言變量和模糊邏輯推理為基礎的一種計算機數字控制技術。1965年，美國的L.A.Zadeh創立了模糊集合論；1973年他給出了模糊邏輯控制的定義和相關的定理。1974年，英國的E.H.Mamdani首先用模糊控制語句組成模糊控制器，并把它應用于鍋爐和蒸汽機的控制，在實驗室獲得成功。這一開拓性的工作標志著模糊控制論的誕生1984年年底，“國際模糊系統學會（IFSA---InternationalFuzzySystems）”正式成立。1993年國際著名學術刊物《IEEETrans.OnFuzzySystems》正式出版發行。在過去20年中，模糊控制也是智能控制的一個十分活躍的研究與應用領域。模糊控制的價值可從兩個方面來考慮。一方面，模糊控制提出一種新的機制用于實現基于知識（規則）甚至語義描述的控制規律。另一方面，模糊控制為非線性控制器提出一個比較容易的設計方法，尤其是當受控裝置（對象或過程）含有不確定性而且很難用常規非線性控制理論處理時，更是有效。3、模糊控制現狀我國研究模糊理論的科技工作者在世界上最多，并在理論上取得了令世人矚目的成就，但絕大多數是數學工作者，這與美、日是以工程技術人員為主有顯著不同。盡管我國每年在這方面發表的論文數是最多的，但工程應用和技術水平卻與此不相稱。希望能有更多的工程技術人員加入到模糊邏輯控制的研究中來，推動國內這方面的工程應用。4、研究內容自適應、自學習模糊控制理論的研究；模糊推理策略的研究；模糊辨識模型的研究；模糊控制系統穩定性研究；模糊控制器的硬件實現；模糊控制器的構造;模糊信息與精確信息轉換的物理結構和方法;模糊控制器對外界環境的適應性及適應技術;實現模糊控制系統的軟技術;模糊控制器和被控對象匹配技術.5、模糊控制技術需要解決的具體問題有：6、模糊控制理論還存在需要解決的系統方法有：1）

人的知識和經驗的表達；2）

知識推理的法則；3）

人的知識的獲取和總結；4）

模糊控制系統穩定性判據；5）

模糊控制系統的學習；6）

模糊控制系統的分析；7）

模糊控制系統的設計方法。第二節模糊集合論基礎一、模糊集的概念模糊控制以模糊集合論為它的數學基礎。那么，什么是模糊集合，它是怎樣描述和定義的，又有哪些運算，這些問題是學習與掌握模糊控制技術的基礎。在討論模糊集合論以前先來簡單看一下經典集合論。所謂集合是指具有某種特定屬性的對象的全體。集合中的個體通常用小寫英文字母如u表示，集合的全體又稱為論域通常用大寫英文字母如U表示，表示元素（個體）u在集合論域（全體）U內。一個集合U如果是由有限個元素組成，則稱為有限集合。有限集合U所含的不同元素的數目稱為該集合U的基數，記為|U|或#U。不同有限集合的集合稱為無限集合。集合既可以是連續的也可以是離散的。

集合至少有5種以上表示方法（1）列舉法將集合的元素全部列出的方法。。例如計系04級應用專業碩士生、計系04級軟件專業碩士生、計系04級體系結構專業碩士就生就構成了計系04級碩士生這樣一個集合，可以表示為：計系04級碩士生＝｛計系04級應用專業碩士生、計系04級軟件專業碩士生、計系04級體系結構專業碩士生｝。（2）定義法適用于有很多元素而不能一一列舉的集合，這是用集合中的共性來描述集合的方法。例如U={u∣u為自然數且u＜5｝表示小于5的自然數集合。（3）歸納法：通過一個遞推公式來描述一個集合。給出集合中的一個元素和一個規則，集合中的其它元素可以借助這個規則來找到。如:U={u(k+1)=u(k)+1,k=1,2,u(1)=9}。（4）特征函數表示法它是利用經典集合論非此即彼的明晰性來表示集合的，因為某一集合中的元素要么屬于這個集合，要么就不屬于這個集合。如小于10的數構成的偶數集合可表示成：若小于10的數u屬于偶數的集合U，集合U就可以通過特征函數Tu(u)來表示，即：（5）通過某些集合的運算來表示的集合如兩個集合的交運算形成一個新的集合。從上分析可知，經典集合論中任意一個元素與任意一個集合之間的關系，只是“屬于”或“不屬于”兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是明確分界線的元素的組合。然而，對于諸如“速度的快慢”、“年齡的大小”、“溫度的高低”等模糊概念沒有明確的界限。因此，模糊概念無法用經典集合論來描述。那么，怎樣描述一個模糊概念呢？模糊集就是提供一種處理此類現象的一個框架。模糊集合則把它擴展成可用稱作“隸屬度（DegreeofMembership）”的從0到1之間連續的變化值來描述元素的屬于程度，這就是說，有些東西可以同時是部分真和部分假。

以人對室溫（0℃～40℃）的感覺為例，來看看如何用模糊集合表示人對各種事物和現象形成的概念。在一般情況下，大部分人把從15℃～25℃的室溫稱作“舒適”的溫度，而把15℃以下的溫度稱為“冷”，25℃以上稱為“熱”。如用經典集合論來定義，則把小于15℃的溫度哪怕是14.9℃也只能屬于“冷”（見圖2-2a），顯然這與人的感覺是不一致的。因此需尋求另外一種數學的表示方式，這就是模糊集合論所要解決的問題。舒適溫度1.0圖2-2a若用模糊集合論來定義如上這種情況，就是用具有0～1之間變化的隸屬度的特征函數來描述某一模糊元素，模糊集合中的特征函數就稱作隸屬函數（見圖2-2b）。在模糊邏輯中，小的溫度變化只能會引起系統性能的逐漸變化。這樣14.9℃和15℃屬于同一集合的程度是很接近的。那么模糊集合是如何定義的呢？模糊集合的定義實際上是將經典集合論中的特征函數表示擴展到用隸屬函數來表示。1.0圖2-2b模糊集合的定義實際上就是將經典集合的特征函數表示擴展到利用隸屬度函數來表示。

設U為一可能是離散或連續的集合，用{u}表示，U被稱為論域（UniverseofDiscourse）,u表示論域U的元素，模糊集合是用隸屬函數來表示的。所謂論域U指的是我們所討論問題的任意一個子集、任意一個元素都隸屬于這一集合U，又稱為全集。定義2-1模糊集合：論域U中的模糊集F用一個在區間[0，1]上的取值的隸屬函數來表示。即：u完全屬于F；

u完全不屬于F；u部分屬于F；用來說明u隸屬于U的程度，模糊集看成了普通集的推廣。

模糊集F可以用元素u和隸屬度函數表示，

若U為連續域，則可寫成：

例2-2：設F表示遠遠大于0的實數集合，隸屬度函數：

可以算出：x=5,隸屬度為0.2;

x=10,隸屬度為0.5;

x=20,隸屬度為0.8;若U為離散域，即論域U是有限集合時，模糊集合可以有以下三種表示法。（1）查德表示法（2）序偶表示法（3）向量表示法（1）查德表示法例2-3考慮論域U={0，1，2,…,10}和模糊集F“接近于0的整數”，隸屬度函數表示為：F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5（2）序偶表示法F={（u1,u(u1)）,（u2,u(u2)）,…,（un,u(un)）}對于上例可以寫成：F={(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)}（3）向量表示法F={u(u1),u(u2),…,u(un)}對于上例可以寫成：F={1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1}。二、模糊集合的運算對于模糊集合，元素與集合之間不存在屬于或不屬于的明確關系，但是集合與集合之間還是存在相等、包含以及經典集合論一樣的一些集合運算如并、交、補等。下面分別引入這些定義。定義2－2論域U中模糊子集的全體，稱為U中的模糊冪集，記作F（U），即對于任一,若，則稱為空集；若則A＝U稱為全集。

定義2－3設A、B是論域U的模糊集，即A、BF（U）若對任一都有B(u)A(u),則稱B包含于A，或稱B是A的一個子集記作。若對任一都有B(u)=A(u),則稱B等于A，記做B=A。

模糊集合的運算與經典集合的運算相類似，只是利用集合中的特征函數或隸屬度函數來定義類似的操作。設A、B為U中兩個模糊子集，隸屬函數分別為和，則模糊集合中的并、交、補等運算可以這樣定義。

定義2－4并：并（）隸屬函數分別為對所有被逐點定義為取大運算，即

式中，符號為取極大值運算。

定義2－5交：交的隸屬函數對所有被逐點定義為小運算，即

式中，符號為取極小值運算。

定義2－6補：模糊集合A的補隸屬函數對所有

被逐點定義為

例題請看P16。定理2－1模糊集運算的基本定律：設U為論域，A，B，C為U中的任意模糊子集,則下列等式成立：

（1）冪等律

（2）結合律

（3）交換律

（4）分配律

（5）同一律

（6）零一律

（7）吸收律

（8）德?摩根律

（9）雙重否認律模糊集與經典集的集合運算的基本性質完全相同，只是模糊集運算不滿足互補律，即

上面定義的模糊集合運算是采用Zadeh算子來進行的。

Zadeh算子的優點是計算簡單，除不滿足互補律外與經典集合的運算性質十分相似。人們根據具體情況又定義多種不同的算子，并以這些算子定義模糊集合的運算。下面引入兩個新的算子－－概率算子和有界算子。

定義2－7稱為概率算子，對有

由定義可知，如

定義2－8設，則

（1）A與B的代數積記作A?B，運算規則由下式確定

（2）A與B的代數和記作A+B,運算規則由下式確定

模糊集的代數運算仍然滿足結合律、交換律、德?摩根律、同一律和零一律。但不滿足冪等律、分配律和吸收律。當然也不滿足互補律。

定義2－9稱為有界算子，對，有

容易證明，定義2－10設，則

（1）A與B的有界積記作，運算規則由下式確定

(2)A與B的有界和記作，運算規則由下式確定

（2－25）

模糊集的有界運算也滿足結合律、交換律、德摩?根律、同一律和零一律，而且滿足互補律，但不滿足冪等律、分配律和吸收律。三、隸屬度函數的建立

模糊集合是用隸屬函數描述的。隸屬度函數在模糊集合論中占有極其重要的地位。模糊集合中特征函數也就是隸屬度函數的取值范圍在[0,1]區間。

如果確定隸屬度函為一個關鍵問題。鑒于模糊集理論研究對象的特殊性，沒有一個統一的隸屬度計算方法。但隸屬度函數實質上反映的是事物的漸變性，因此，它仍然應遵守一些基本原則。1、表示隸屬度函數的模糊集合必須是凸模糊集合。

一般說來，隸屬度函數的確定首先從最大隸屬度函數的點開始，然后單調遞減向兩邊延伸。

例如：

“溫度適中”=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/702、變量所取隸屬度函數通常是對稱和平衡的。

一般情況下，描述變量的標稱值安排的越多，即隸屬度函數的密度越大，則模糊控制系統的分辨率越高，系統響應會越平滑，但是帶來的不足之處是模糊規則會增加、計算時間會大大增加，設計困難程度加重。

3、隸屬度函數要符合人們的語義順序避免不恰當的重疊。

“速度低”、“速度適中”、“速度高”就是按照一定次序排列的語義順序。一般由專家經驗得到，但是也應符合常識和經驗。

相間隔的兩個模糊集合的隸書度函數盡量不要交叉。

圖2－4交叉越界的隸屬度函數示意圖

除了以上三條以外，模糊控制系統隸屬度函數的選擇通常遵循：

1）論域中的每個點應該至少屬于一個隸屬度函數的區域，同時它一般應屬于至多不超過兩個隸屬度函數的區域。

2）對同一輸入沒有兩個隸屬度函數會同時有最大隸屬度。

3）當兩個隸屬度函數重疊時，重疊部分對兩個隸屬度函數的最大隸屬度不應該有交叉。

重疊指數也是衡量隸屬度函數與模糊控制器性能關系的一個重要指標。隸屬度函數是模糊控制的應用基礎，正確構造隸屬度函數是能否用好模糊控制的關鍵之一。目前還很不成熟,多數是經驗和實驗的結果，所以一般先通過粗略的確定再進一步修正和完善.

1）模糊統計法

對于年輕人的概念，第一次認為“17-30”，即集合A1；第二次認為“20-35”，即集合A2；依次類推。

每次統計中，v是固定的（例如某一年齡），A1、A2等可變，N次實驗可得下面的算式：2）例證法:從有限個隸屬度值，來估計U上的模糊集A的隸屬度函數。例如:“高個子”的隸屬度，先確定一個高度，然后它的語言真值可以為“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”、“假的”，并用數字1，0.75，0.5，0.25，0表示其語言真值。對不同的高度賦予一個語言真值。3）專家經驗法，有專家給出隸屬度函數值。根據專家經驗給出的模糊信息處理算式或相應的權系數。例如：故障的原因可能是：溫度過高、震蕩、負載過大等。4）二元對比排序法實用的方法，它通過對多個事物之間的兩兩對比來確定某種某種特征下的順序，由此來確定這些事物對該特征的隸屬度函數。此方法中有相對比較法、對比平均法、優先關系定序法和相似優先法。主要介紹介紹相對比較法：設論域U中一對元素其具有某特征的等級分別為即在和的二元對比中，如果具有某特征的程度用來表示，則具有某特征的程度用來表示，并且該二元對比級的數對必須滿足：令這里若以為元素，且定時，則可構造出矩陣G，并稱G為相及矩陣。容易推廣到n元的情況，對于n個元素同理得相及矩陣G

若對矩陣G的每一行取最小值，即對第i行取

，并按

其值的大小排序，即可得到元素對某特征的隸屬函數。例2－4設論域其中表示長子，表示次子，表示三子，表示父親。如果考慮長子和次子與父親的相似問題，則可這樣來描述長子相似于父親的程度為0.8，次子相似于父親的程度為0.5。如果僅考慮次子和三子，則次子相似于父親的程度為0.4，三子相似于父親的程度為0.7。如果僅考慮長子和三子，則長子相似于父親的程度為0.5，三子相似于父親的程度為0.3，則可建立如下關系按照“誰像父親”這一原則排序，可得

計算相及矩陣G。因為

所以相及矩陣為

在相及矩陣中取每一行有最小值，即：1、4/7、3/5。按所得值的大小排列得1>3/5>4/7。結論是長子最像父親（1），三子次之（0.6），次子最不像父親（0.57）。由此，可以確定出隸屬度函數的大致形狀。四、模糊關系1.模糊關系的定義定義2－11所謂A，B兩集合的直積中的一個模糊關系R，是指以為論域的一個模糊子集，序偶的隸屬度為一般地，若論域為n個集合的直積，則它所對應的是n元模糊關系R，其隸屬度函數為n個變量的函數。顯然當隸屬度函數值只取“0”或“1”時，模糊關系就退化為普通關系。例2－6設有七種物品：蘋果、乒乓球、書、籃球、花、桃、菱形組成的一個論域U，并設分別為這些物品的代號，則。現在就物品兩兩之間的相似程度來確定它們的模糊關系。

假設物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，

假設物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，其余按具體相似程度給出一個0~1之間的數，就可確定出一個U上的模糊關系R，列表如下

R蘋果x1乒乓球x2書x3籃球x4花x5桃x6菱形x7蘋果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50書x3001.00000.1籃球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0下面我們來看一下模糊關系與模糊控制的主要環節模糊推理之間的關系。對于確定的控制系統而言，系統的輸入輸出存在一種確定的關系也稱普通關系。同樣，對于模糊的控制系統，系統的輸入輸出也存在某種關系通常稱為模糊關系，而這種模糊關系是通過定義在不同論域上的模糊變量之間的模糊條件語句來表示的。假設有如下一條模糊規則

其中，條件部模糊集A定義為，結論部模糊集B定義為。為了建模糊關系，先來考慮一下A和B的直積，記為

。

其中，是有序對的集合，即

例設

；則由式（2－29）可知

對于以上這種模糊集合的表示形式也可以很方便地用模糊

關系矩陣R來表示

123410.80.60.40.220.70.60.40.230.20.20.20.2

為了進一步深入地分析模糊關系矩陣的內在含義和計算方法，引入笛卡爾積算子。定義2-12笛卡爾積（算子）若分別是論域中的模糊集，則的笛卡爾積是在積空間中的一個模糊集，其隸屬度函數為直積（極小算子）：或代數積：

對于連續情況，關系矩陣可以定義為為了便于區分起見，我們引入兩個記號分別表示笛卡爾積（算子）兩種運算規則，即直積（極小算子）用表示，代數積用表示。

例2－7考慮如下模糊條件語句

如果C是慢的，則A是快的。

其中，C，A分別屬于兩個不同的論域U，V。

其隸屬度函數分別為

那么它們的直積為

從這個簡單的例子可以看出，代數積運算子比取小算子產生更平滑的模糊關系表面。從中我們也可以體會到，模糊關系實際上反映的是模糊系統的輸入輸出關系。因此，它也是模糊系統模型的重要表示法之一。

由于模糊關系R實際上是一個模糊子集。因此它的運算完全服從于模糊子集的法則（如交、并、補等）特別是當論域

為有限集時，模糊關系R也可以用矩陣來表示，并稱

之為模糊矩陣。定義2－13設A={u1,u2,…,un},B={v1,v2,…,vn}

以及，將序偶的隸屬度

稱矩陣R=(rij)nxm為模糊矩陣。

模糊矩陣是模糊數學的主要運算工具。一個模糊關系雖然可以用模糊集合表達式來表示，但比不上用模糊矩陣表示更為簡單明了，特別是在模糊關系的合成運算中。當論域是離散的有限域時，模糊矩陣的元素rij是用模糊關系的隸屬度

表示的。關系與矩陣是一一對應的，因此，關系的

運算與矩陣的運算也有一一對應的性質和規律，具體的交、并等運算同模糊集合的運算相類似。這里不再重復。2、模糊關系的合成

對于有些系統，只依賴單一的條件、結合推理是不夠的。因此存在多重推理現象，如IFATHENB,IFBTHENC這樣一類控制規則，其控制輸出變量是C，那么，人們不禁要問，A和C之間是否存在某種定量的關系呢？答案是肯定的。尋求這種關系的方法就是模糊關系的合成。對于普通關系也存在關系合成計算。如A和B是父子關系，B和C是夫妻關系，則A和C就會形成一種新的關系，即公媳＝父子夫妻。推廣到模糊概念域，模糊關系也存在關系的合成，其合成的方法是通過模糊關系矩陣來進行的。先來看一個簡單的例子:

例2－8某家中子女與父母的長像相似關系R為模糊關系，可表示為

也可以用模糊矩陣R來表示

該家中父母與祖父母的相似關系也是模糊關系，可表示為

用模糊矩陣S可表示為

R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10那么，在該家中孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度應該如何呢？模糊關系的合成運算就是為了解決諸如此類問題而提出來的。現在先給出問題的結果再來明確其定義。針對此例，一個簡單的模糊關系合成運算為

這一計算結果表明孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2；而孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。

定義2－14模糊關系合成：如果R和S分別為笛卡爾空間上的模糊關系，并記為。其隸屬度函數的計算方法。

上確界（Sup)算子

與模糊集合的運算定律相似，模糊關系合成算子sup-min存在如下特征

分配律

結合律：包含率:逆運算:注意，模糊關系合成運算不滿足交換率，即。

第三節模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成

模糊控制的核心是模糊控制規則庫，而這些規則庫實質上是一些不確定性推理規則的集合。要實現模糊控制的目的，必須研究不確定性推理的規律----模糊邏輯推理就是不確定性推理的主要方法之一。

17世紀，出現了邏輯學和數學相互滲透的學科----數理邏輯。由于用一套符號表示，也稱為符號邏輯。在取值上只取真假二值，即非此即彼的“二值邏輯”。

一些事物（如：他很年輕）很難用真假來描述他們的狀態和關系，因此發展了模糊邏輯----研究含有模糊概念或帶有模糊陳述句的邏輯。

模糊邏輯是扎得以其在1972年到1974年的研究成果為基礎建立起來的。他首先提出模糊限定詞、語言變量、語言真值和近似推理等關鍵概念，制定了模糊推理的規則，為模糊邏輯奠定了基礎。

由于人的思維除了一些單純、易斷的事情能迅速作出確定性判斷和決策以外，多數情況下是及其錯略的綜合，與之相應的語句表達也是模糊的，他的邏輯判斷也往往是定性的，因此模糊概念更適合人的觀察、思維、理解、決策。現代控制系統的高度復雜化使得被控對象的精確數學模型往往難以確定或者從被控對象獲得的信息極其模糊，導致傳統控制方式無法滿足系統動、靜特性的要求，模糊邏輯就成了研究復雜大系統的有力工具。一、二值邏輯

在研究模糊邏輯之前，先對二值邏輯作一簡要的回顧。

例如“天津工業大學位于天津市”

是一個句子，它的含義能夠判斷真假，就稱為一個命題。命題分為簡單命題和復雜命題（簡單命題的聯結）。

常用的命題聯結詞有：析取∨、合取∧、否認、蘊涵→、等價。它們的含義分別為：

析取∨是“或”的意思，如果用P、Q分別表示兩個命題，則由析取聯結詞構成的復合命題表示為P∨Q。復合命題P∨Q的真值是由兩個簡單命題的真值來決定的，僅當P和Q都是假時，P∨Q才是假。

例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。

則P∨Q：他喜歡打籃球或喜歡跳舞。

合取∧是“與”的意思，如果用P、Q分別表示兩個命題，則由合取聯結詞構成的復合命題表示為P∧Q。復合命題P∧Q的真值是由兩個簡單命題的真值來決定的，僅當P和Q都是真時，P∧Q才是真。

例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。

則P∧Q：他喜歡打籃球并且喜歡跳舞。

否定一是對原命題的否定。如果用P是真的，則是假的。

例P：他喜歡打籃球：則：他不喜歡打籃球。

④蘊涵→表示“如果…那么…”。由于命題P的成立，即可推出Q也成立，以P→Q來表示。

例P：甲是乙的父親；

Q：乙是甲的兒女。

則P→Q：若甲是乙的父親；那么乙必定是甲的兒女。

⑤等價表示兩個命題的真假相同。是“當且僅當”的意思。

例P：A是等邊三角形；

Q：A是等角三角形。

則PQ：A是等邊三角形當且僅當A是等角三角形。二、模糊邏輯及其基本運算

模糊命題是普通命題的推廣。概括起來，模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯，而模糊命題是指含有模糊概念或者是帶有模糊性的陳述句。模糊命題有真值不是絕對的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隸屬于“真”。因此，它不只是一個值，而是有多個值，甚至是連續量。普通命題的真值相當于普通集合中元素的特征函數，而模糊命題的真值就是隸屬度函數，所以真值的運算也就是隸屬度函數的運算。

記P、Q、R為三個模糊單命題，那么

1）模糊邏輯補：用來表示對某個命題的不定，＝1－

2）模糊邏輯合取：

3）模糊邏輯析取：

4）模糊邏輯蘊含：如這P是真的，則Q也是真的，

5）模糊邏輯等價：

6）模糊邏輯限界積：各元素分別相加，大于1的部分作為限界積。

7）模糊邏輯限界和：各元素分別相加，比1小的部分作為限界和。

8）模糊邏輯限界差：各元素分別相減部分作為限界差。

例2－9設有模糊命題

P：他是個和善的人，它的真值P＝0.7;

Q:他是個熱情的人，它的真值Q＝0.8

則

：他既是和善的人又是熱情的人的真值

：他是個和善的人或是個熱情的人的真值

：如果他是個和善的人，則他是個熱情的人的真值

。根據以上模糊邏輯的基本運算定義，可以得出以下模糊邏輯運算的基本定律

（1）冪等律：（2）交換率：

（3）結合律

（4）吸收律：

（5）分配分律：

（6）雙否律：

（7）德?摩根律：

（8）常數運算法則：

注意，與二值邏輯不同之處是二值邏輯中的互補律：

。在模糊邏輯中互補律是不成立，模糊邏輯的互補運算滿足

利用這些基本公式就可化簡模糊邏輯函數，以便根據化簡得到的結果來組成最簡單的模糊邏輯控制電

三、模糊語言邏輯

人工語言：格式緊密，概念十分清晰，程序設計語言屬人工語言。廣義角度講：一切具有模糊性的語言都稱為模糊語言。模糊語言可以對自然語言的模糊性進行分析和處理。我們知道，人們在日常生活中交流信息用的大多是自然語言，而這種語言用充滿了不確定性的描述來表達具有模糊性的現象和事物。模糊語言又具有靈活性，在不同的場合，某一模糊概念可以代表不同的含義。如”個子高“在中國指大約在1.75～1.85m之間的人歸結于“高個子”模糊概念里，在歐洲，

可能把大約1.80～1.90m之間的人歸結于“高個子”模糊概念里。模糊語言邏輯是由模糊語言構成的一種模擬人思維的邏輯。現引入幾個重要概念。定義2－15模糊數：連續論域U中的一模糊數F是一個U上的正規凸模糊集。

以實數集合為全集合，一個具有連續隸屬函數的正規的有界凸模糊集合就稱為模糊數。它實質上是一個模糊子集。這里，所謂的正規集合的含義就是隸屬度函數的最大值為1，用數學表達式表示就是：

正規集含：

凸集含：在隸屬度函數曲線上任意兩點之間曲線上的任一點所表示的隸屬度值都大于或者等于兩點隸屬度值中較小的一個。用數學語言說，就是在實數集合的任意區間上，對于所有的都存在

，就稱F是凸模糊集合。

通俗地講，模糊數就是那些諸如“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數值。

定義2－16語言值：在語言系統中,那些與數值有直接聯系的詞，如長、短、多、少、高、低、重、輕、大、小等或者由它們再加上語言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來的詞組，如不太大、非常高、偏重等都被稱為語言值。語言值一般是模糊的，可以用模糊數來表示。如，成年男子身高的論域

E＝｛130，140，150，160，170，180，190，200，210｝＝

在論域E上定義語言值：因此，語言真值就是由〔0，1〕區間有模糊子集對所表現的命題真假程度的描述。

定義2-17語言變量：語言變量是用一個五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)來表征的。其中X是語言變量名，如速度、年齡、顏色等；

T(X)為語言變量X的項集合，即語言變量名的集合，且每個值都是在U上定義的模糊數為語言變量x的論域；G為產生x數值名的語言值規則，用于產生語言變量值，即隸屬度函數的建立規則；M為與每個語言變量含義相聯系的算法規則，如合成規則。

語言變量的概念容易用圖2-10來表示。“速度”為一語言變量，可以賦予很慢、慢、較慢、中等、較快、快、很快等語言值。這里用不同的語立言值表示模糊變量速度快慢程度的差別，但無法對它們的量作出精確的定義，因為語言值是模糊的，所以可以用模糊數來表示。

引入語言變量以后，可以對一些十分復雜或定義很不完善而又無法用精確術語進行描述的現象實現表征。

速度語言變量

語言值規則G

語言值集合

算法規則M

圖2－10語言變量元素之間的關系示意圖

為了對模糊的自然語言形式化和定量化，進一步區分和刻劃模糊值的程度，常常還借用自然語言中的修飾詞，諸如“較”、“很”、“非常”、“稍微”、“大約”、“有點”等來描述模糊值。為此引入語言算子的概念。語言算子通常又分為三類：語氣算子、模糊化算子和判定化算子。

1.語氣算子

語氣算子用來表達語言中對某一個單詞或詞組的確定性程度。有兩種相反的情況，一種是有強化作用的語氣算子，如“很”、“非常”等。這種算子使得模糊值的隸屬度函數的分布向中央集中，常稱為集中化算子或強化算子，如圖2－11所示

圖2－11強化算子的作用示意圖

圖2－12淡化算子的作用示意圖強化算子在圖形上有使模糊值尖銳化的傾向。另一種是有淡化作用的語氣算子，如“較”、“稍微”等。這種算子可以使得模糊值的隸屬度函數的分布由中央向兩邊彌散，常稱為松散化算子或淡化算子，如圖2－12所示。淡化算子在圖形上有使模糊值平坦化的傾向。

記為語氣算子運算符，則它的集合可以定義為：

對于原語言值A經語氣算子作用，形成一個新的語言值

。設原語言A的隸屬度函數為，新的語言值的隸屬度函數為，則

（2-32）

常用的語氣算子定義為：“極”、“非常”、“很”

、“相當”、“比較”、“略”、、“稍”。當然，語氣的強弱程度會因人而異。對于某一特定的語氣詞，其的取值并不會完全一樣，但的取值的大小與語氣的強弱程度應該是一致的。

例2-10我們以“年老”這個詞為例，來說明語氣算子的作用。

＞50

＞50

＞50現以強化算子“很”和淡化算子“有點”為例，比較“年老”、“很老”、“有點老”幾個語言值的隸屬度函數，如圖2-13所示。

圖2-13“有點”和“很”的比較

2、模糊化算子

模糊化算子用來使語言中某些具有清晰概念的單詞或詞組的詞義模糊化，或者是將原來己經是模糊概念的詞義更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大約”等。如果對數字進行作用就意味著把精確數轉化為模糊數。例如數字“5”是一個精確數，而如果將模糊化算子“F”作用于“5”這個精確數就變成“F(5)”，這一模糊數。若模糊化算子“F”是“大約”、則“F(5)”就是“大約5”這樣一個模糊數。以后，我們會發現在模糊控制中，實際系統的輸入采樣值一般總是精確量，要利用模糊邏輯推理方法，就必須首先把精確量進行模糊化，而模糊化過程實質上是使用模糊化算子來實現的,所以引入模糊化算子是非常重要的。

用數學語言來說，模糊化算子的集合可以表示為：設模糊化之前的集合為A，模糊化算子為F，則模糊化變換可表示為F(A)，并且它們的隸屬度函數關系滿足

如果A是清晰集，則就是特征函數。是表示模糊程度的一個相似變換函數，通常可取正態分布曲線，即

參數的取值大小取決于模糊化算子的強弱程度。

例2－11設論域X上的清晰集的特征函數為

且取c=5，則“大約是5”這一語言值的隸屬度函數可以定義為

如圖2－14所示。

圖2－14模糊數53、判定化算子

判定化算子與模糊化算子的作用相反。它是將原來具有模糊詞義的詞進行肯定化處理，例如“傾向于”、“大半是”等。判定化算子的集合表示為：

設判定化之前的集合為A，它的隸屬度函數為，判定化算子為P，則判定化變換可表示為這P（A），并且它們的隸屬度函數關系滿足

當取時，可用來表示“傾向于”。

四、模糊邏輯推理

以往我們接觸到的常規的邏輯推理方法如演繹推理，歸納推理都是嚴格的。

除此這些確定性推理之外尚存在著一些不確定性推理，目前己知的主要不確定性推理方法可歸結為四類：MYCIN法、主觀悲葉斯方法、證據理論法和模糊邏輯推理法。我們在此只介紹模糊邏輯推理法，模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎上發展起來的。雖然它的數學基礎沒有形式邏輯那么嚴密，但用這種推理方法得到的結論與人類的思維推理結論是一致或相近的。并在實際使用中得到了驗證，因此模糊邏輯推理方法己經受到了廣泛的重視。模糊邏輯推理是以模糊判斷為前提的，運用模糊語言規則，可推出一個新的模糊判斷結論的方法，例

大前提：腿長則跑步快

小前提：小王腿很長

結論：小王跑步很快它屬于近似于二值邏輯的三段論推理模式。這里“腿長”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判斷和大前提的前件不是嚴格相同的。因此這一推理的結論也不是從前提中嚴格地推出來的而是近似于邏輯地推出的結論。通稱為假言推理或是似然推理。判斷是否屬于模糊邏輯推理的標準是看推理過程是否具有模糊性，具體表現為推理規則是不是模糊的。

從條件變量的多少、模糊規則多少的角度來劃分，模糊規則推理方法又可以分為以下四種模糊推理規則。

四種規則都可選用不同的推理方法等。

1、近似推理

在控制系統中經常存在此類現象，“如果溫度低，則控制電壓就增大”這樣一個前提下，要問“如果溫度很低，則控制電壓將是多少呢？很自然用人們的常識可以推知，“如果溫度很低，則控制電壓就很大”，這種推理方式就稱為模糊近似推理。這種推理方式可以這樣來表達。

前提1：如果x是A，則y是B

前提2：如果x是A′

結

論：y是B′

=A′。（A→B）

即結論B′

可用A′與由A到B的推理關系進行合成而得到,由于A到B模糊關系矩陣R為

利用R可以得到近似推理的隸屬度函數為

根據不同的推理方法可以得到模糊關系矩陣元素

的不同計算方法，主要有

①扎德（Zadeh)推理法

或

那么其隸屬度函數為

②瑪達尼（Mamdani)推理法

那么其隸屬度函數為

例2-12設論域X＝Y＝｛1,2,3,4,5｝X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“較小”分別定義為：

“大”＝0.4/3+0.7/4+1/5

“小”＝1/1+0.7/2+0.3/3

“較小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4

己知：規則若x小，則y大

問題：當x＝較小時，y＝？

解己知

且

由扎德（Zadeh)推理法

x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5y1=1,y2=2,y3=3,y4=4,y5=5u小(x1)=1;u小(x2)=0.7;u小(x3)=0.3;u小(x4)=0;u小(x5)=0;u大(y1)=0;u大(y2)=0;u大(y3)=0.4;u大(y4)=0.7;u大(y1)=1;r11=[u小(x1)Λu大(y1)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0]v[1-1]=0r12=[u小(x1)Λu大(y2)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0]v[1-1]=0r13=[u小(x1)Λu大(y3)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0.4]v[1-1]=0.4r14=[u小(x1)Λu大(y4)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0.7]v[1-1]=0.7r15=[u小(x1)Λu大(y5)]v[1-u小(x1)]=[1Λ1]v[1-1]=1同理:r21=0.3;r22=0.3;r23=0.4;r24=0.7;r25=0.7;r31=0.7;r32=0.7;r33=0.7;r34=0.7;r35=0.7;r41=1;r42=1;r43=1;r44=1;r45=1;r51=1;r52=1;r53=1;r54=1;r55=1;選擇扎德推理法，因此，可得x較小時的推理結果從中可以看出，扎德推理的結果與人們的思維是一致的。同樣，由瑪達尼推理法也可得

從上例可以看出，在近似推理中，扎德推理比瑪達尼推理法更符合人們的思維。2.模糊條件推理

語言規則是：如果x是A，則y是B，否則y是C。

其邏輯表達式為：。

要實現模糊推理的關鍵是找出模糊關系矩陣，根據邏輯表達式，其模糊關系R是X×Y的子集，可以表示為

有了這個模糊關系矩陣，就可根據模糊推理合成規則，將輸入與該關系矩陣R進行合成得到模糊推理結論，即

例2-13對于一個系統，當輸入A時，輸出為B，否則為C，且有

己知當前輸入。求輸出D。解先求關系矩陣R

因為。

A=[1,0.4,0.1];B=[0.8,0.5,0.2];

1-A=[0,0.6,0.9];C=[0.5,0.6,0.7]

由瑪達尼推理法得

輸出

即。

3.多輸入模糊推理

多輸入模糊推理在多輸入單輸出系統的設計中經常遇到，如在速度設定值控制系統中，“速度誤差較大且速度誤差的變化量也較大，那么加大輸入控制電壓”這樣一類規則就需要用多輸入模糊推理方式來解決。這種規則的一般形式為

前提1：如果A且B，那么C

前提2：現在是且

結論：

因為

如果A且B，那么C的數學表達式是:，其模糊關系矩陣

若用瑪達尼推理，則模糊關系矩陣的計算就變成

由此，推理結果為：

其隸屬度函數為

是指模糊集合A與交集的高度。瑪達尼推理削頂法的幾何意義是分別求出對對的隸屬度，并且取這兩個之中小的一個作為總的模糊推理前件的隸屬度，再以此為基準去切割推理后件的隸屬度函數，便得到結論。推理過程如圖2-15。

圖2-15二輸入瑪達尼推理法過程如果各語言變量的論域是有限集時，即模糊子集的隸屬度函數是離散的，則模糊邏輯推理過程可以用模糊關系矩陣的運算來描述。下面以一類模糊控制器為例來說明離