PAGEPAGE7平面與平面垂直的判定（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.在正方體ABCD-A′B′C′D′的6個(gè)面中,與平面ABCD垂直的平面的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.(2013·成都高一檢測(cè))自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線,則兩垂線的夾角與二面角的平面角的關(guān)系是()A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.無(wú)法確定3.已知a?α,b?β,c?β,a⊥b,a⊥c,則()A.α⊥βB.α與β相交C.α∥βD.以上都有可能4.正方體A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A.B.C.D.5.(2013·慈溪高一檢測(cè))已知α,β是平面,m,n是直線,給出下列表述：①若m⊥α,m?β,則α⊥β;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α且n∥β.其中表述正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·福州高一檢測(cè))已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,有四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正確的命題是.(把所有正確命題的序號(hào)都填上)7.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是.8.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,則BF=.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖所示,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB上任意一點(diǎn).求證：平面COD⊥平面AOB.10.(2013·遼寧高考)如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).(1)求證：平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.11.(能力挑戰(zhàn)題)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).(1)求四棱錐P-ABCD的體積.(2)是否不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論.(3)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),作出二面角D-AE-B的平面角.答案解析1.【解析】選D.由正方體的性質(zhì)知側(cè)棱與底面垂直,知過(guò)側(cè)棱的平面都垂直于底面ABCD,因此正方體ABCD-A′B′C′D′的6個(gè)面中,與平面ABCD垂直的平面的個(gè)數(shù)為4.2.【解析】選B.如圖,A為二面角內(nèi)任意一點(diǎn),BD,CD為AB,AC所在平面與α,β的交線,則∠BDC為二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.【舉一反三】若本題把自二面角“內(nèi)”改為“外”,結(jié)果怎樣?【解析】相等.當(dāng)點(diǎn)在二面角外時(shí),依據(jù)等角定理,所成的角和二面角的平面角相等.3.【解析】選D.b,c不一定相交,故α與β所有關(guān)系都有可能.4.【解析】選C.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,AC,BD交于O,連接A1O,因?yàn)锽D⊥AC,BD⊥AA1,所以BD⊥平面AA1O,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA為二面角的平面角.tan∠A1OA=,所以選C.5.【解析】選B.①是平面與平面垂直的判定定理,所以①正確;②中,m,n不一定是相交直線,不符合兩個(gè)平面平行的判定定理,所以②不正確;③中,還可能n∥α,所以③不正確;④中,由于n∥m,n?α,mα,則n∥α,同理n∥β,所以④正確.6.【解析】①因?yàn)閘⊥α,α∥β,mβ,所以l⊥β?l⊥m.所以①正確.②設(shè)α∩β=d,mβ,且m∥d時(shí),l⊥m.故命題②錯(cuò).③因?yàn)閘∥m,l⊥α,所以m⊥α.又mβ,所以α⊥β.故③正確.④由②知不正確.答案：①③7.【解析】如圖,過(guò)D作DG⊥AF,垂足為G,連接GK,因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面ABC,又DK⊥AB,所以DK⊥平面ABC,因?yàn)锳F平面ABC,所以DK⊥AF.所以AF⊥平面DKG,所以AF⊥GK.容易得到,當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí),K接近AB的中點(diǎn),當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí),K接近AB的四等分點(diǎn).所以t的取值范圍是(,1).答案：(,1)8.【解析】因?yàn)锳B⊥平面BC1,C1F平面BC1,CF平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,所以∠C1FC=45°,所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.答案：19.【證明】由題意,CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因?yàn)槎娼荁-AO-C是直二面角.所以CO⊥BO.又因?yàn)锳O∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.又CO平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.【方法錦囊】利用平面與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵點(diǎn)(1)相互轉(zhuǎn)化思想：可以通過(guò)直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問(wèn)題.(2)證明平面與平面垂直,只要在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直即可.10.【解析】(1)由AB是圓的直徑,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)過(guò)C作CM⊥AB于M,因?yàn)镻A⊥平面ABC,CM平面ABC,所以PA⊥CM,故CM⊥平面PAB.所以CM⊥PB.過(guò)M作MN⊥PB于N,連接NC,所以PB⊥平面CMN,所以CN⊥PB.所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角.在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,得BC=,CM=,BM=.在Rt△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.因?yàn)镽t△BNM∽R(shí)t△BAP,所以,故MN=.又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.所以二面角C-PB-A的余弦值為.11.【解題指南】(1)利用三視圖與直觀圖之間的轉(zhuǎn)化確定相應(yīng)線段長(zhǎng)度.(2)作輔助線,利用線面垂直證明線線垂直.(3)作輔助線,找到并證明二面角的平面角.【解析】(1)由三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.所以VP-ABCD=S正方形ABCD·PC=×12×2=,即四棱錐P-ABCD的體積為.(2)不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.證明如下：連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BD⊥AC.因?yàn)镻C⊥底面ABCD,且BD平面ABCD,所以BD⊥PC.又因?yàn)锳C∩PC=C,所以BD⊥平面PAC.因?yàn)椴徽擖c(diǎn)E在何位置,都有AE平面PAC.所以不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.(3)在平面DAE內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于F,連接BF.因?yàn)锳D=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,所以Rt△ADE≌Rt△A