PAGEPAGE13第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系本章教材分析本章將在前一章整體觀察、認(rèn)識(shí)空間幾何體的基礎(chǔ)上，以長(zhǎng)方體為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；通過大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，初步體驗(yàn)公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡(jiǎn)單的推理論證及應(yīng)用問題.本章主要內(nèi)容：2.1點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì).2.1節(jié)的核心是空間中直線和平面間的位置關(guān)系.從知識(shí)結(jié)構(gòu)上看，在平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，由易到難順序研究直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系.本章在培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)、公理化的思想、空間想象力和思維能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3節(jié)內(nèi)容的編寫是以“平行”和“垂直”的判定及其性質(zhì)為主線展開，依次討論直線和平面平行、平面和平面平行的判定和性質(zhì)；直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性質(zhì).“平行”和“垂直”在定義和描述直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系中起著重要作用.在本章它集中體現(xiàn)在：空間中平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、空間中垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及空間中垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.本章教學(xué)時(shí)間約需12課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：2.1.1平面約1課時(shí)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系約1課時(shí)2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系約1課時(shí)2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系約1課時(shí)2.2.1直線與平面平行的判定約1課時(shí)2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)約1課時(shí)2.2.22.2.4平面與平面平行的判定平面與平面平行的性質(zhì)約1課時(shí)2.3.1直線與平面垂直的判定約1課時(shí)2.3.2平面與平面垂直的判定約1課時(shí)2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)約1課時(shí)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)約1課時(shí)本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面一、教材分析平面是最基本的幾何概念,教科書以課桌面、黑板面、海平面等為例,對(duì)它只是加以描述而不定義.立體幾何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是無(wú)限延展性.為了更準(zhǔn)確地理解平面,教材重點(diǎn)介紹了平面的基本性質(zhì),即教科書中的三個(gè)公理,這也是本節(jié)的重點(diǎn).另外,本節(jié)還應(yīng)充分展現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換與翻譯,特別注意圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能（1）利用生活中的實(shí)物對(duì)平面進(jìn)行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖（3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用；（4）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2．過程與方法（1）通過師生的共同討論，使學(xué)生對(duì)平面有了感性認(rèn)識(shí)；（2）讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí).3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀使用學(xué)生認(rèn)識(shí)到我們所處的世界是一個(gè)三維空間，進(jìn)而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣.三、重點(diǎn)難點(diǎn)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換與翻譯,利用三個(gè)公理證明共點(diǎn)、共線、共面問題.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對(duì)孫悟空說：“你一個(gè)跟頭雖有十萬(wàn)八千里，但不會(huì)跑出我的手掌心”.結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個(gè)點(diǎn)，他的運(yùn)動(dòng)成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對(duì)，像一個(gè)平面，今天我們開始認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的平面.思路2.(事例導(dǎo)入)觀察長(zhǎng)方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？圖1長(zhǎng)方體由上、下、前、后、左、右六個(gè)面圍成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個(gè)面內(nèi)的直線等等.空間中的點(diǎn)、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個(gè)問題.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①怎樣理解平面這一最基本的幾何概念;②平面的畫法與表示方法;③如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？④直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個(gè)公共點(diǎn)才能判斷直線在平面內(nèi)？⑤根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面？⑥如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫圖表示;⑦描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語(yǔ)言？⑧自己總結(jié)三個(gè)公理的有關(guān)內(nèi)容.活動(dòng)：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.對(duì)有困難的學(xué)生可提示如下：①回憶我們學(xué)過的最基本的概念（原始概念），如點(diǎn)、直線、集合等.②我們的桌面看起來像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表示.③點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.④確定一條直線需要幾個(gè)點(diǎn)？⑤引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個(gè)點(diǎn)確定.⑥兩個(gè)平面不可能僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫嬗袩o(wú)限延展性.⑦文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.⑧平面的基本性質(zhì)小結(jié).討論結(jié)果：①平面與我們學(xué)過的點(diǎn)、直線、集合等概念一樣都是最基本的概念（不加定義的原始概念），只能通過對(duì)它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來定義它，因?yàn)樗遣患佣x的.平面的基本特征是無(wú)限延展性，很像如來佛的手掌(吳承恩的立體幾何一定不錯(cuò)).②我們的桌面看起來像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時(shí)候我們也可以用圓或三角形等圖形來表示平面，如圖2.平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來，如圖3.圖2圖3平面的表示法有如下幾種：（1）在一個(gè)希臘字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常寫在平行四邊形的一個(gè)銳角內(nèi)(圖4)；（2）用平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面ABCD（圖5）；（3）用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面AC（圖5）.圖4圖5③下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：點(diǎn)A在直線a上（或直線a經(jīng)過點(diǎn)A）A∈a元素與集合間的關(guān)系點(diǎn)A在直線a外（或直線a不經(jīng)過點(diǎn)A）Aa點(diǎn)A在平面α內(nèi)（或平面α經(jīng)過點(diǎn)A）A∈α點(diǎn)A在平面α外（或平面α不經(jīng)過點(diǎn)A）Aα④直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線全部落在平面內(nèi).例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面內(nèi).公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).這是用文字語(yǔ)言描述，我們也可以用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言（圖6）描述.空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語(yǔ)言來表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，而平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示.公理1也可以用符號(hào)語(yǔ)言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,則aα.圖6圖7請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言描述直線與平面相交.若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,則aα.如圖（圖7）.⑤在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀等等.上述事實(shí)和類似的經(jīng)驗(yàn)可以歸納為下面的公理.公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如圖（圖8）.圖8公理2刻畫了平面特有的性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之一.⑥我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？不是，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的.直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無(wú)限延伸的，如果平面是有限的，那么無(wú)限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無(wú)限延展的特征.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無(wú)限延展性來觀察一個(gè)現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看）.問：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？不會(huì)，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn).正因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).那么這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？可見，這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上.這說明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.此時(shí)，就說兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理3.如圖（圖9），用符號(hào)語(yǔ)言表示為：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.圖9公理3告訴我們，如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交，且其交線一定過這個(gè)公共點(diǎn).也就是說，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個(gè)公共點(diǎn)，只要找出這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交線.由此看出公理3不僅給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點(diǎn)在同一條直線上，并給出了找這條交線的方法.⑦描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種語(yǔ)言:文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言.⑧“平面的基本性質(zhì)”小結(jié)：名稱作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)公理2確定一個(gè)平面的依據(jù)公理3兩平面相交的依據(jù)（三）應(yīng)用示例思路1例1如圖10，用符號(hào)語(yǔ)言表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.圖10活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫出（最好用實(shí)物投影儀展示寫的正確的答案）.教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正，并及時(shí)評(píng)價(jià).解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.變式訓(xùn)練1.畫圖表示下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系：(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如圖11.圖112.根據(jù)下列條件，畫出圖形.（1）平面α∩平面β=l，直線ABα，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β=F，F(xiàn)l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.答案：如圖12.圖12點(diǎn)評(píng)：圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題型：(1)根據(jù)圖形，先判斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號(hào)表示出來.(2)根據(jù)符號(hào)，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來.例2已知直線a和直線b相交于點(diǎn)A.求證：過直線a和直線b有且只有一個(gè)平面.圖13證明：如圖13,點(diǎn)A是直線a和直線b的交點(diǎn),在a上取一點(diǎn)B，b上取一點(diǎn)C，根據(jù)公理2經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C有一個(gè)平面α，因?yàn)锳、B在平面α內(nèi)，根據(jù)公理1，直線a在平面α內(nèi),同理直線b在平面α內(nèi)，即平面α是經(jīng)過直線a和直線b的平面.又因?yàn)锳、B在a上，A、C在b上，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面一定經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.于是根據(jù)公理2，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面有且只有一個(gè)，所以經(jīng)過直線a和直線b的平面有且只有一個(gè).變式訓(xùn)練求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi).證明：如圖14，直線a、b、c、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F,圖14∵直線a∩直線b=A,∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α，即a,bα.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面內(nèi).點(diǎn)評(píng)：在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：直線與直線外一點(diǎn).(2)兩條相交直線.(3)兩條平行直線.思路2例1如圖15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC與EF相交，在圖中分別畫出平面ABC與α、β的交線.圖15活動(dòng)：讓學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)作圖不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.解：如圖16所示，連接CB，∵C∈β,B∈β,∴直線CBβ.圖16∵直線CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直線CB.設(shè)直線CB與直線EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直線AD.變式訓(xùn)練1.如圖17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，請(qǐng)畫出直線DE與平面α的交點(diǎn)P，并指出點(diǎn)P與直線BC的位置關(guān)系.圖17解：AD和AC是相交直線，它們確定一個(gè)平面ABC，它與平面α的交線為直線BC，DE平面ABC，∴DE與α的交點(diǎn)P在直線BC上.2.如圖18，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為8cm，M、N、P分別是AB、A1D1、BB1圖18(1)畫出過M、N、P三點(diǎn)的平面與平面A1B1C1D1的交線，以及與平面BB1(2)設(shè)過M、N、P三點(diǎn)的平面與B1C1解：(1)設(shè)M、N、P三點(diǎn)確定的平面為α，則α與平面AA1B1B的交線為直線MP，設(shè)MP∩A1B1=R，則RN是α與平面A1B1C1D1的交線，設(shè)RN∩B1C1=Q，連接PQ，則PQ是所要畫的平面α與平面BB(2)正方體棱長(zhǎng)為8cm，B1R=BM=4cm，又A1N=4cm，B1Q=A1N,∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4cm，B1Q=cm，∴PQ=cm.點(diǎn)評(píng)：公理3給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理3找兩平面的交點(diǎn)和交線.例2已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.解：如圖19,∵A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn),圖19∴過A、B、C有一個(gè)平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,∴點(diǎn)P既在β內(nèi)又在α內(nèi).設(shè)α∩β=l,則P∈l,同理可證：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三點(diǎn)共線.變式訓(xùn)練三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一點(diǎn).已知平面α、β、γ兩兩相交于三條直線l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求證：l1、l2、l3相交于一點(diǎn).證明：如圖20，α∩β=l1，β∩γ=l2