濾波原|X(ej)

(b)|H(ej)

|Y(ej)頻率成分,而使||c的成分"不失真的通過 分類:低通(LP),高通(HP),帶通(BP),帶阻(BS)對數字濾波器,從實現方法上,有IIR濾波FIR濾波器之分,轉移函數分別為FIRIIR

NH(z) h(n)znbbrNH(z) Nk1azkkkp:通帶截止頻率(又稱通帶上限頻率s阻帶下限截止頻p ：通帶允許的最大衰 ：阻帶內應達到的最小20p

|H(ej0)|20lg|H|H(ejp)|H(ej0)

jp)20lg 20lg|H

s) |H(ejs)高通 pp,s,p,）轉換成模擬濾波器的技術指標p,s,p 轉換成模擬低通濾波器的技術指標p,s,p,sH給定模擬低通濾波器的技術指標pp,s設計低通濾波器G(sdds

sN1dG(s) N ccs

sN1c N 使其對數幅頻響應10lg|Gj|2在 處分別達到p,s的要求()10lg|X(j)|210 Y( |G(j)|G(j)|210()p (p)10lg|G(jp)|22 (s)10lg|G(js)2又有G(s)G*(s)G(s)G(s)|sj|G(j由|Gj|2就很容易得到所需要的G(s)將 按不同的原則簡化，可得到不形式的濾波器，即不同的|G(j)|2表達式 |G(j)|2

1C2(2C為待定常數,N為待定的濾波器階次定 C2()cos2(ncos1n|G(j)|2

n1n

2 |G(j)|2 C2( 12 C2(/|G(j)|2

11

22Un ：Jacobian2本書只討論Butterworth和Chebyshev-濾波器的將實際頻率歸一化，得歸一化幅平方|G(j)|2C

1C22

(10

|G(j)

10lg[1C22N有 C22 10()/101C22pC22s

10p/1010s/10

C210p/1010s/1010p10s/1010p/10對Butterworth濾波器，通常 3dB，所C210p/101100.31N

10s

1lg|G(j)|2 12 1(/p)2N系統的轉移函數Gp)Gsjp/

pjj/ps/|G(j)|2 12N

p/G(p)G(p) 1(p/j)2 1(1)Np21(1)Np2N exp[j2kN1 k1,2, 即2N個極點均勻分布在s(p)平面半徑為1的圓上，應取左半平面的N 個予G(p)，右半平面

G( exp[j2kN1 k1,2,, G(p) (pp1)(pp2)(ppN)若N為偶數,pk及pN1k這對共軛極點Gk(p)

(ppk)(ppN1kG(G(p)Gk(kN/p22pcos(2kN1)

N為偶若N為奇數Gp)(N12個二階系統相級聯G(p)G(p)1p(NGk(k得到Gp)后pjj/ps/用s/p代替p,即得實際需要的G(s).G(G(s)G(ps/p了實際 (1). 0,0,|Gj|21,(00,即在0處無衰減;(2).當p,即 1時,|G(jp)|2|G(jp)|0.707,p3 由零增加到1,|Gj|2單調減小()單調增加N越大,|Gj|2減小的越慢,即在通帶內|G(j)|2越平； (4).當,即 時,|G(j)|2也是隨著 的增加而單調減少,但因1,所以這時比通帶內 度加快,N越大 度越(5|Gj|2在0處對2的一階,二階,N1階導數皆為零例：給，設計Butterworthfp5000Hz,fs10000Hz, 3dB, 30 1,s2,p 3dB, 30

C1;N

1030

1lg2

pkexp[j(k2) k1,2,3,4,5G(p)1(pp1)(pp2)(pp3)(pp4)(pG(s)G(

1020(s104)(s")(s"|G(j)|2

n1n

2 多項式的特點C2()cos2(ncos1ncos1 cos Cn()cos(n)Cn1()cos(ncos(n)cos()sin(n)Cn1()cos(ncos(n)cos()sin(n)Cn1()2Cn Cn

2Cn1()Cn2C0()cos(0)C1()cos()C()2C()C()22 C()2C()C() C()2C()C()

的確的確的多821首項首項將頻率歸一化,得歸一化的幅平方特性,|G(j)|2求 和

n1n

2n()10lg[12C2nn2C2(1)10p/10n

n

210p/101利用另外的條s利用另外的條件：sCn()cos(ncos1

Note:s必須不大于因此：1 2C2()10s/101 2cosh2[narcosh(scoshx[exex]/sinhx[exex]/scosh2[nars

)]

10s/10 10p/102則2確定

nararcosh(sG(p)G(p) n12C2(p/n12Cn2(p/j)cos[narcosh(jp)]j sin[(2k

]sinh(最后導出：

kjcos[(2k1)]cosh( 此式求出的2n個極點pk,一半屬于Gp),一半G(p把左半平面的極點賦于Gp),即k1,2,G(G(p)1n(ppkk實際轉移函GG(s)G(p)nppnkn(spkp)p反映了實際模擬高通模擬高通,帶通,給定高通濾波器的技ps,p先作頻率歸一化：p 1,s想辦法實現高通到低通的轉換低通幅 高通幅'0p's'

p0或由 qjj1 得 H(q)G(p) G(1qpqq率,則H(q)G1/ qjj

H(s)G(p) pp/歸一對帶通濾波器，如何實現頻率的歸歸一定義

3有 的轉換。關鍵問題是

2 3 由于31 1,可222pj

22

j(q/j)22(q/22q22

(13 (s/BWpps2s(31) H(s)G(p)

s2s(31N階低通濾波器轉換到帶通后,階次變為帶阻濾波器頻率歸一化方法同帶通濾波定義

3有

2

∵311, 3

222得到Gp)中的p和H(s)中s之間的ps(31)s2 H(s)G(p)

s(31s2給定數字濾波器的技術指標p,s,p,s（

p,s,psH(z)給定數字濾波器的技p,s,p,利用Ts,可將p,s轉換為p,ss,p不變利用上一節的方法，可設計出模擬G( G(s)

H(z)z

s1ln H(z)

s1ln但這樣做H(z)將不再是z的有理多項 令 h(nTs)g(t)|tnTg(t) (tnTH(z)h(nTsH

j)1

sG(jjksTsk基本轉換單G(s)

H(z) sg(t)

1eTss h(nT)sG(s) (s)2

g(t)etsin(t)u(t)

sin(TH(z) sz2 cos(T)]s1s

1eTsG(s)總可由一階和二階系統并聯或級聯而成,故由上面兩式可實現由G(s)到H(z的轉換,該zesTs(1) 利用Ts,將p,s轉換為p,s線性轉換s,線性轉換設計低通模擬濾波器G(s).將G(s)轉換為H(z).|H(ej)|相對于|G(j)|有較大失真, 排除上一節的線性轉換關系，找一種新的和z 和的轉換關系s

2z則Tsz

z1(Ts/2)s1(Ts/j

2ej/2(ej/2ej/2sTej/2(ej/2ej/2sj2sin(/2tan(/T2arctan(T/ss一對一上述 和

的非線性關系又稱為的預變形（Freq. )。例如DF fp100p0.2

fs300 Fs1000 0.6pAF 2tan(/2)685.82ppss2tan(/2)2452.762sss設計AF并不是按給定的技術指標，但再sz后，保證DF的技術要求。 Step1.給定F技術指標p s,p,Step2.頻率轉p 2tan(/ 2tan(/pTT TT

tan(/2)/

/ 設計出AFGp),Gp)G(s)

H(z)G(s)

2zTs zTs因 p

Ts 2z1

z 2tan(p/2)Tsz

tan(p/2)z所以,系數2Ts)可被約掉,所以雙線性Z變換sz z1ztan(2

12DFH(z而言，AF例：計IIRLP p

20DF fp100

fs300

Fs1000AF p2 s2NG(p)

p z12p2 p2

tan(p/2)zH(z)

0.067450.1349z111.143z1幅頻響應曲線見書數字高通Hdhpp,s,p,

Hahpp,s,p,s

Gp,s,p函數Hdhp

szz

Hahp

ps

G(

數字高通濾波器設計

ps通帶頻率范300Hz~400Hz;18dBs阻帶頻率范圍：200Hz、

Fs2000

N

G(p) 2p2 p2 (z1)22(z p

(z20.0201(12z2z4Hdbp(z)11.637z12.237z21.307z3 （1）[NWnbuttord(WpWsRp,Rs)；對應Wp,Ws分別是通帶和阻帶的截止頻率，其值在0～1之間，1對應抽樣頻率的一半(歸一化頻率)。對低通和高通，Wp,Ws都是標量，對帶通和帶阻，Wp,是1×2的向量。Rp,Rs分別是通帶和阻帶的衰減(dB)。N是求出的相應低通濾波器的階次，Wn是求（2）[NWnbuttord(WpWsRpRs,‘s’)：對應式中各個變量的含意和格式（1）相同，但Wp,及Wn的單位為弧度/秒，因此，它們實際上是頻率。[z,p,k]=buttap(N):N是欲設計的低通原型濾波器的階次，z,pk是設計出的極點、零點及增益。lp2lp.m、lp2hp.m、lp2bp.m,lp2bs.m。將模擬低通原[BA]=lp2lp(ba, [BA]=lp2hp(ba,[B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw),[B,A]=lp2bs(b,a,Wo,b,a是AFLP的分子、分母的系數向量，B,A是轉換后的的分子