4-5證明不等式的基本方法授課設計（人教A版選修4-5）授課札記授課目的：經過實例，領悟反證法的含義、過程與方法，認識反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。授課重點：領悟反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。授課難點：會用反證法證明簡單的命題。授課過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發，經過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式，有時很難直接下手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表示：若必定數題的條件而否定其結論，就會以致矛盾。詳盡地說，反證法不直接證明命題“若p則q”，而是先必定數題的條件p，并否定命題的結論q，爾后經過合理的邏輯推理，而獲取矛盾，從而判斷原來的結論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假設；第三步從條件和假設出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步判斷產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假設不正確，于是原證不等式成立。二、典型例題：例1、已知ab0，求證：nanb（nN且n1）例1、設a3b32，求證ab2.證明：假設ab2，則有a2b，從而a3812b6b2b3,a3b36b212b86(b1)22.因為6(b1)222，所以a3b32，這與題設條件a3b32矛盾，所以，原不等式ab2成立。例2、設二次函數f(x)x2pxq，求證：f(1),f(2),f(3)中最少有一個不小于1.都小于1，則2證明：假設f(1),f(2),f(3)2f(1)2f(2)f(3)2.（1）另一方面，由絕對值不等式的性質，有f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93p（2）q)2（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，最少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，平時是指所推出的結果與已知公義、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假設矛盾等各種情況。試依照上述兩例，談論搜尋矛盾的手段、方法有什么特點？例3、設0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可以能同時大于141(111,證：設(1a)b>,b)c>,(1c)a>444則三式相乘：ab<(1a)b?(1b)c?(1c)a<1①64(1a)2又∵0<a,b,c<1∴0(1a)aa124同理：(1b)b11,(1c)c44c)c≤1以上三式相乘：(1a)a?(1b)b?(1與①矛盾∴原式成立64例4、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0證：設

a<0,

∵abc>0,

∴bc<0

又由

a+b+c>0,

則b+c=a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

與題設矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0同理可證：b>0,c>0三、課堂練習：1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數，并且ab，則ama.bmb2、設0<a,b,c<2，求證：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可以能同時大于13、若x,y>0，且x+y>2，則1y和1x中最少有一個小于2。xy提示：反設1y≥2，1x≥2∵x,y>0，可得x+y≤2與x+y>2矛盾。xy四、課時小結：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假設；第三步從條件和假設