數學與創新思維

引言

全國科技大會指出：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。…一個沒有創新能力的民族難于屹立于世界民族之林。”“建立創新型國家。”

教育部的一個報告指出：

“實施素質教育重點是改變教育觀念，……尤其是要以培養學生的創新意識和創造精神為主。”

恩格斯指出：“一個民族要想站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維。”

創造性人才的創造活動是在相應的創造性思維的支配下，所進行的一種積極的能動的活動。創造性思維是一切創造活動的核心和靈魂。H·G·格拉斯曼說：“數學除了鍛煉敏銳的理解力，發現真理外，它還有另一個訓練全面考查科學系統的頭腦的開發功能。”赫巴特說：“數學一般通過直接激發創造精神和活躍思維的方式來提供最佳服務。”

因此我認為：數學教學不但應該傳授數學知識，還應該培養學生的創新思維。

講四個問題一、歸納思維二、類比思維三、發散思維四、逆（反）向思維我將結合高等數學和數學史上一些著名問題來講一、歸納思維歸納是人類賴以發現真理的基本的、重要的思維方法。著名數學家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學中許多重大的發現，都歸功于歸納方法…牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納方法的成果。”“在數學里，發現真理的主要工具和手段是歸納和類比。”著名數學家高斯曾說：“我的許多發現都是靠歸納取得的。”

著名數學家沃利斯說：“我把（不完全的）歸納和類比當作一種很好的考察方法，因為這種方法的確使我很容易發現一般規律．”

歸納是在通過多種手段（觀察、實驗、分析、計算……）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，發現其規律，總結出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法。或者說，歸納思維就是要從眾多的事物和現象中找出共性和本質的東西的抽象化思維。也可以說，歸納是在相似中發現規律，由個別中發現一般。從數學的發展可以看出，許多新的數學概念、定理、法則、……的形式，都經歷過積累經驗的過程，從大量觀察、計算……,然后歸納出其共性和本質的東西，例如：哥德巴赫猜想，費馬猜想，素數定理等。歸納的方法①哥德巴赫猜想:3+7=10，3+17=20，13+17=303，7，13，17都是奇素數*。10，20，30都是偶數。是否兩個奇素數之和都是偶數呢？這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個偶數，都能分解為兩個奇素數之和嗎？6=3+38=3+510=3+712=5+714=3+11=7+716=3+13=5+11……這樣下去總是對的嗎？即任何一個大于4的偶數都是兩個奇素數之和？大于4的偶數=奇素數+奇素數？(*)（哥德巴赫猜想）60=3+57（57=19×3，不是素數）60=5+55（55=11×5，不是素數)

？！60=7+53（7和53都是素數）…….

哥德巴赫猜想。起源，演變哥德巴赫觀察到一些具體例子，然后歸納出：“任何大于2的數都是三個素數的和”。（1742.6.7寫信給歐拉，并附上一些他觀察到的例子）歐拉（1742.6.30）回信把它進一步明確化為：“每一偶數是兩個素數的和”(**)（并說：“我認為它正確，但給不出證明）1770（英）華林將(**)發表出來。現代的標準陳述是（*）這一猜想歷200多年至今仍懸而未決（1966，陳景潤，（1+2））。

這是數學向人類智慧的挑戰！但對此猜想的證明過程中，極大的推動了解析數論的發展（特別是篩法，圓法）二項式系數(u+v)1=u+v(u+v)2=u2+2uv+v2(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3(u+v)4=u4+4u3v+6u2v2+4uv3+v4(u+v)5=…….(u+v)n=12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形12345678921111111312345641361015514102061515716819帕斯卡三角形111121133114641151010511615201561

宋朝數學家楊輝1261年寫的《詳解九章算法》*就解釋了上述系數三角形的構造法，并說賈憲用此術。楊輝三角形在高等數學中，許多重要結果的得出，都用到了歸納思維。例如：求某一函數的n階導數，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導數，再歸納出n階導數的表達式。解從而歸納出解因為因而歸納得到科爾莫哥洛夫在《我是如何成為數學家》中說：我在6、7歲時我已經感受到數學歸納發現的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：他的這個發現，后來被刊登在《春燕》雜志上。問題：考察表按照上述算例找出它們的一般規律，并用適當數學式子表示出來，而且試證明它。問題：下述結論是否成立？二、類比思維著名日本物理學家、諾貝爾獎獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創造性思維的形式。”著名哲學家康德指出：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”類比是根據兩個（或多個）對象內部屬性、關系的某些方面相似，而推出它們在其它方面也可能相似的推理。簡單地說，類比就是由此去發現彼（或由彼去發現此）。

類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創造”的天地，使它成為科學研究中非常有創造性的思維形式，從而受到了很多著名科學家的重視與青睞。例如：

著名天文學、數學家開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師它能揭示自然的奧秘……。”著名數學家、教育學家波利亞說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題。”在平面解析幾何中直線的截距式是：在平面解析幾何中,兩點的距離是：在空間解析幾何中,兩點的距離是：

在空間解析幾何中平面的截距式是：在平面解析幾何中圓的方程是：(x-a)2+(y-b)2=R2

在空間解析幾何中球面的方程是:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2等等。②萊布尼茨公式將他們比較可以看出:把①中右端K次冪換成K階導數(零階導數理解為函數本身),把①中u+v換成uv,n次冪換成n階導數既為②.(拉格朗日17歲)牛頓二項式展開公式①費馬猜想：

X2+Y2=Z2的解：X=3,Y=4,Z=5Z=m2+n2,X=m2-n2Y=2mn,m,n是任一整數，n<m;X3+Y3=Z3是否有正整數解？X4+Y4=Z4是否有正整數解？Xn+Yn=Zn,n>2是否有正整數解？

ZZ=====XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3(X,Y,Z為正整數)=====zxy+公元972年阿拉伯人阿爾科但第（Alkhodjidi)Zn=Ｘn+Yn(n>2)(Wiles1994)歐拉猜想：下述方程沒有整數解：沒有人能夠證明它是對的，但是在他提出這個猜想之后的200年內大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個反例：后來人們又發現了一個更簡單的例子：特別應該將牛頓——萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。若將牛頓——萊布尼茨公式視為，它建立了一元函數f(x)在一個區間的定積分與其原函數F(x)在區間邊界的值之間的聯系；通過類比，就可將格林公式視為，它建立了二元函數在一個平面區域D上的二重積分與其“原函數”在區域邊界L的曲線積分之間的聯系；實踐證明：在學習過程中，將新內容與自己已經熟悉的知識。進行類比，不但易于接受、理解、掌握新知識，更重要的是：培養、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發自己的創造力。（費馬猜想）

三、發散思維所謂具有發散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發散思維稱為求異思維。它是一種重要的創造性思維。用“一題多解”，“一題多變”等方式，發散式地思考問題。數學王子—高斯

高斯被譽為：“能從九霄云外的高度按某種觀點掌握星空和深奧數學的天才”和“數學王子”。特別是高斯非常重視培養自己的發散思維，并且善于運用發散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對‘代數基本定理’，先后給出了4種不同的證明；他對數論中的‘二次互反律’，先后給出了8種不同的證明（高斯稱‘二次互反律’是數論中的一塊寶石，數論的酵母，是黃金定理）。

歐拉勒讓德第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導致數論的新方向。其后19世紀多位數論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發展了該理論。有人曾問高斯：“你為什么能對數學作出那樣多的發現？”高斯答道：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數學真理，他也會作出同樣的發現。”高斯還說：“絕對不能以為獲得一個證明以后，研究便告結束，或把另外的證明當作多余的奢侈品。”“有時候一開始你沒有得到最簡和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯想中去。這正是吸引我去繼續研究的主動力，并且最能使我們有所發現。”高斯這些言行，很值得我們學習和深思。因此，我們在高等數學教學中，應利用一題多解、一題多變來培養訓練發散思維，下邊我們舉幾個例子：

一題多解：計算解法１：第一類換元積分法一題多解：計算解法２：第一類換元積分法一題多解：計算解法３：第一類換元積分法一題多解：計算解法４：令第一類換元積分法一題多解：計算解法５：令第二類換元積分法一題多解：計算解法６：令第二類換元積分法一題多解：計算解法７：分部積分法和第一類換元積分法一題多解：計算解法８：分部積分法和第一類換元積分法一題多解：計算解法９：歐拉代換法，令一題多解：計算解法10：歐拉代換法，令通過計算這一個題目，不但使用了多種計算不定積分的方法，把不定積分法學活了，更重要的是培養、訓練了發散式思考問題的思維方法.又如：求極限可以用極限用三角公式變形；用洛必達法則；用無究小量的代換；

用泰勒公式；……等等。又如：證明不等式可以用函數單調性；用中值定理；

用泰勒公式；……等等。四、逆向思維

一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。后來有一位聰明的人勸她：‘老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。’這么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。一則小故事:

逆向思維（又稱反向思維）是相對于習慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點是從已有的思路的反方向去思考問題。它對解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創新的方向，往往能起到積極的作用。（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發生困難時，轉而探討不可能性。下面舉幾個高等數學中的例子:若直接解決困難，想法間接解決。例1：試求解法１：用間接的方法，即轉化為判斷級數級數收斂的必要條件是通項趨向于零，于是解法２:利用夾逼定理例3：將y=xarctanx展成x的冪級數。

若用直接方法，先得求出此函數的各階導數，還得討論余項Rn(x)。

若用間接方法，就很簡便。探討可能性發生困難時，轉而探討不可能性。下面我們例舉數學史上兩個最有名的問題：關于非歐幾何的發現歐幾里得《幾何原本》第一卷中給出了五個公設，其中前四個簡單明了，（前三個是作圖的規定，第四個是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨第五公設不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實也不明顯。

而且只有第5公設涉及到無限,這是人們經驗之外的東西.

此公設是“若一直線和兩條直線相交，所構成的兩同旁內角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長，它們一定在兩內角的一側相交”。

這公設等價于：“在平面上，過直線外一點，只能作一條直線與這條直線平行”。

歐當兩條直線相交于非常遙遠的地方時，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認，于是就有人提出來把它作為定理來證明。但是許多數學家經歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯誤，就是用另一條等價的公理代替了第五公設。

達朗貝爾曾把第五公設的證明稱為“幾何原理中的家丑”。

直到19世紀初，數學家們著手研究它的反問題━━歐幾里得第五公設不可證。特別是德國的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國的羅巴切夫斯基他們各自總結了前人和自己試證第五公設的失敗教訓。高斯(1799,1813)羅巴切夫斯基

(1826,1829)鮑耶（1832）羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分：不依賴于第五公設得到證明的命題（絕對幾何）。依賴于第五公設才能證明的命題。

“在一個平面上，過直線AB外一點至少可以作一條直線與AB不相交”。1.僅可作一條（第五公設）歐氏幾何；2.可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的命題，這就無異于證明了第五公設。可是他不但沒有發現任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。他們首先肯定了歐幾里得第五公設是不能用其它公理作出證明，然后用一個與它相反的命題來代替它。即“在平面上，過直線外一點至少可引兩條直線與已知直線平行。”羅從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。高斯稱之為“反歐幾里得幾何”羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何”后他又稱之為“泛幾何”今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。

后來德國數學家黎曼用一個既與歐幾里德第五公設的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來代替它們，即“在平面上，過直線外一點不可能引一直線與已知直線平行”。黎從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）。現在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統稱為“非歐幾里得幾何”。

黎曼(1854)

20世紀偉大的數學家希爾伯特指出:

“19世紀最富啟發性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發現”。非歐幾里得幾何的創立是幾何學上的革命，它不僅使數學家大開眼界，引起一些重要數學分支的產生，它的重要意義還在于使數學哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數學工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。(太平洋)

歐幾里得：三角形內角和=兩直角,2πr=c，a2+b2=c2

羅巴切夫斯基：三角形內角和<兩直角,

2πr<c，a2+b2<c2

黎曼：三角形內角和>兩直角,2πr>c，a2+b2>c2

后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。1871年克來因關于五次及五次以上代數方程根式求解問題在16世紀之前，數學家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次